Приложение 6. Определение геометрической формы границы Марковца
Ожидаемая доходность и риск портфеля равны:
гр=вхгх+е2г2; (пл.п)
°l = +в1(т22 +26х62(тха2соггха ? (П.
1.12)где гр - ожидаемая доходность портфеля;
гх, г2 - ожидаемая доходность первого и второго активов. Выразим уд. вес второго актива через первый:
в2=1-вх (ПЛ.13)
Подставим значение в2 из (П. 1.13) в (П. 1.11) и найдем вх:
у — у
вх=-Ц—г (П. 1.14)
гх -г2
Подставим в равенство (П. 1.12) значение в2 из (П. 1.13) и вх из (П. 1.14):
( г„ - Г,
V Г1 - Г2
<х,2 +
V Г1"Г2
у _ у ( у _ f*_ ^
+ 2-^-
гх-гг
г -г.
rX~r2j
GXG2COrrX2
ИЛИ
69
Глава 1. Ожидаемая доходность и риск портфеля
или
"(й "г2)2сг2р + (rp -r2}a? + (,j -r2)V2 -+ 2fe -r2)ft -r^o^cor^ "2fe - F2 У vxcr2corrx2 = 0 ,
-(rx - f2)2a2p + (erf + cr2 - 2axa2corrX2)r* +
+ 2[(й2 +r22)cr1o-1corr12 - пег2 -г2а?Ур + (П. 1.15)
+ (п2^2 ~ 2^^a,,a,2corrU2 + r22cr12)= 0
Уравнение (П. 1.15) описывает кривую второго порядка на плоскости в координатах [Е(Г\ а]. Переменными являются гр и ар .
В общей форме уравнение кривой второго порядка записывается как:
аххх2 + 2аХ2ху + а22у2 + ахзх + а22у + а22 = 0, (П. 1.16)
где х9 у - переменные;
atj - коэффициенты, аП9 а129 а22 одновременно не равны нулю; аъъ - свободный член.
В уравнении (П. 1.16) первые три слагаемых имеют вторую степень относительно переменных х и у, и их сумма образует так называемую квадратичную форму:
f{x9y)= аххх2 + 2аХ2ху + а22у2 (П. 1.17)
Матрица данной квадратичной формы симметрическая и имеет вид:
А =
(ахх аХ2^
\а\2 a22j
В аналитической геометрии доказывается, что если определитель матрицы квадратичной формы (П.
1.17) отрицательный, то уравнение (П. 1.16) описывает фигуру гиперболического типа. В связи со сказанным составим квадратичную форму уравнения (П. 1.15) и найдем знак ее определителя. Квадратичная форма имеет вид:f{<7p,rp)=-h-r2)2cr2p+2-0-CTprp +
/22 \, (ПЛ.18)
+{ «11 =-(^-F2)2
а22 = сг,2 + «г22 - 2crx Глава 1. Ожидаемая доходность и риск портфеля
Определитель матрицы квадратичной формы (П. 1.18) равен:
(ПЛ.19)
В определителе (П. 1.19) квадрат первой скобки есть число положительное. Вторая скобка при сг, * сг2 или corrn < 1 также дает положительное число. Поэтому определитель квадратичной формы отрицателен. Это означает, что исходное уравнение (П. 1.15) является гиперболой. График гиперболы представлен на рис. П. 1.2.
Е(г)
а
Рис. П. 1.2. Гипербола
В координатах рис. П. 1.3).
граница Марковца является параболой (см.
Е(г)
Рис. П. 1.3. Парабола
71
Глава 1. Ожидаемая доходность и риск портфеля
Когда граница Марковца строится на основе большого количества бумаг, то она представляет комбинацию большого количества соединенных между собой кусочков парабол.
С помощью программы Excel легко построить график границы Марковца портфелей, состоящих из двух активов. Данный вопрос мы рассмотрим в Приложении 7.
Еще по теме Приложение 6. Определение геометрической формы границы Марковца:
- Приложение 7. Использование программы Excel для построения графика границы Марковца портфелей из двух активов
- 4.2. Определение эффективной границы Марковца методом множителей Лагранжа
- 1.2.10. Граница Марковца при возможности коротких продаж
- Оценочное среднее геометрическое (или как дисперсия исходов влияет на геометрический рост)
- Приложение 1. Определение формы функции полезности инвестора
- Определение границ группы
- Определение границ грейдов — аналитический подход
- ГЛАВА 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОЙ ГРАНИЦЫ И ОПТИМАЛЬНЫХ ПОРТФЕЛЕЙ
- ГЛАВА 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦ ПРЕМИИ ОПЦИОНОВ НА АКЦИИ
- Приложение 2. Зависимость между бетами и ожидаемыми доходностями активов для случая, когда беты определяются относительно любого портфеля на эффективной границе Марковца25
- 4.1. Определение эффективной границы с помощью кривых изосредних и изодисперсий
- ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦ ПРЕМИИ ОПЦИОНОВ НА ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ
- Приложение 5. Вывод уравнения линии эффективной границы при возможности заимствования и кредитования
- 1| Размытость границ при определении товаров и услуг
- Выбор формы защиты трансакции при принятии решений о размерах и границах фирмы
- Использование выбора формы защиты трансакции при принятии решений о размерах и границах фирмы
- 4.3. Определение удельных весов активов в оптимальных портфелях и эффективной границы с помощью программы Excel
- 8.1.3. Премия за риск Марковца
- Системное геометрическое пространство
- Геометрические методы в управлении качеством