<<
>>

Приложение 6. Определение геометрической формы границы Марковца

В параграфе 1.2.10. было сказано, что график общей границы Марковца в координатах \Е(Г\ а] представляет собой гиперболу. Докажем данное положение на примере портфеля, состоящего из двух активов.

Ожидаемая доходность и риск портфеля равны:

гр=вхгх+е2г2; (пл.п)

°l = +в1(т22 +26х62(тха2соггха ? (П.

1.12)

где гр - ожидаемая доходность портфеля;

гх, г2 - ожидаемая доходность первого и второго активов. Выразим уд. вес второго актива через первый:

в2=1-вх (ПЛ.13)

Подставим значение в2 из (П. 1.13) в (П. 1.11) и найдем вх:

у — у

вх=-Ц—г (П. 1.14)

гх -г2

Подставим в равенство (П. 1.12) значение в2 из (П. 1.13) и вх из (П. 1.14):

( г„ - Г,

V Г1 - Г2

<х,2 +

V Г1"Г2

у _ у ( у _ f*_ ^

+ 2-^-

гх-гг

г -г.

rX~r2j

GXG2COrrX2

ИЛИ

69

Глава 1. Ожидаемая доходность и риск портфеля

или

"(й "г2)2сг2р + (rp -r2}a? + (,j -r2)V2 -+ 2fe -r2)ft -r^o^cor^ "2fe - F2 У vxcr2corrx2 = 0 ,

-(rx - f2)2a2p + (erf + cr2 - 2axa2corrX2)r* +

+ 2[(й2 +r22)cr1o-1corr12 - пег2 -г2а?Ур + (П. 1.15)

+ (п2^2 ~ 2^^a,,a,2corrU2 + r22cr12)= 0

Уравнение (П. 1.15) описывает кривую второго порядка на плоскости в координатах [Е(Г\ а]. Переменными являются гр и ар .

В общей форме уравнение кривой второго порядка записывается как:

аххх2 + 2аХ2ху + а22у2 + ахзх + а22у + а22 = 0, (П. 1.16)

где х9 у - переменные;

atj - коэффициенты, аП9 а129 а22 одновременно не равны нулю; аъъ - свободный член.

В уравнении (П. 1.16) первые три слагаемых имеют вторую степень относительно переменных х и у, и их сумма образует так называемую квадратичную форму:

f{x9y)= аххх2 + 2аХ2ху + а22у2 (П. 1.17)

Матрица данной квадратичной формы симметрическая и имеет вид:

А =

(ахх аХ2^

\а\2 a22j

В аналитической геометрии доказывается, что если определитель матрицы квадратичной формы (П.

1.17) отрицательный, то уравнение (П. 1.16) описывает фигуру гиперболического типа. В связи со сказанным составим квадратичную форму уравнения (П. 1.15) и найдем знак ее определителя. Квадратичная форма имеет вид:

f{<7p,rp)=-h-r2)2cr2p+2-0-CTprp +

/22 \, (ПЛ.18)

+{В уравнении (П. 1.18):

«11 =-(^-F2)2

а22 = сг,2 + «г22 - 2crx70

Глава 1. Ожидаемая доходность и риск портфеля

Определитель матрицы квадратичной формы (П. 1.18) равен:

(ПЛ.19)

В определителе (П. 1.19) квадрат первой скобки есть число положительное. Вторая скобка при сг, * сг2 или corrn < 1 также дает положительное число. Поэтому определитель квадратичной формы отрицателен. Это означает, что исходное уравнение (П. 1.15) является гиперболой. График гиперболы представлен на рис. П. 1.2.

Е(г)

а

Рис. П. 1.2. Гипербола

В координатах рис. П. 1.3).

граница Марковца является параболой (см.

Е(г)

Рис. П. 1.3. Парабола

71

Глава 1. Ожидаемая доходность и риск портфеля

Когда граница Марковца строится на основе большого количества бумаг, то она представляет комбинацию большого количества соединенных между собой кусочков парабол.

С помощью программы Excel легко построить график границы Марковца портфелей, состоящих из двух активов. Данный вопрос мы рассмотрим в Приложении 7.

<< | >>
Источник: А.Н. Буренин. Управление портфелем ценных бумаг. 2-е издание, исправленное и дополненное. Научно-техническое общество имени академика СИ. Вавилова . 2008

Еще по теме Приложение 6. Определение геометрической формы границы Марковца:

  1. Приложение 7. Использование программы Excel для построения графика границы Марковца портфелей из двух активов
  2. 4.2. Определение эффективной границы Марковца методом множителей Лагранжа
  3. 1.2.10. Граница Марковца при возможности коротких продаж
  4. Оценочное среднее геометрическое (или как дисперсия исходов влияет на геометрический рост)
  5. Приложение 1. Определение формы функции полезности инвестора
  6. Определение границ группы
  7. Определение границ грейдов — аналитический подход
  8. ГЛАВА 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОЙ ГРАНИЦЫ И ОПТИМАЛЬНЫХ ПОРТФЕЛЕЙ
  9. ГЛАВА 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦ ПРЕМИИ ОПЦИОНОВ НА АКЦИИ
  10. Приложение 2. Зависимость между бетами и ожидаемыми доходностями активов для случая, когда беты определяются относительно любого портфеля на эффективной границе Марковца25
  11. 4.1. Определение эффективной границы с помощью кривых изосредних и изодисперсий
  12. ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦ ПРЕМИИ ОПЦИОНОВ НА ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ
  13. Приложение 5. Вывод уравнения линии эффективной границы при возможности заимствования и кредитования
  14. 1| Размытость границ при определении товаров и услуг
  15. Выбор формы защиты трансакции при принятии решений о размерах и границах фирмы
  16. Использование выбора формы защиты трансакции при принятии решений о размерах и границах фирмы
  17. 4.3. Определение удельных весов активов в оптимальных портфелях и эффективной границы с помощью программы Excel
  18. 8.1.3. Премия за риск Марковца
  19. Системное геометрическое пространство
  20. Геометрические методы в управлении качеством