ПОРТФЕЛЬ ИЗ РИСКОВАННЫХ АКТИВОВ

Пусть портфель состоит из активов а и b, wa — доля вложенных в актив а средств, wb — доля вложенных в актив Ъ средств, wa + wb = 1.

Предположим, что возможны п состояний экономической ситуации, вероятности которых равны ри р2, р„.

Возможные доходности актива а в этих состояниях экономики обозначим аь а2,а„ соответственно.

Возможные доходности актива Ъ в этих состояниях экономики равны Ьь Ь2, Ь„ соответственно.

Тогда ожидаемые доходности активов а и Ъ определяются по фор-

п п

мулам Е{а) = Ир,а,н E(b) = 2Zp,b, соответственно.

1=1 i=i

мая доходность портфеля равна Е = waE(a) + w^b).

Дисперсии ожидаемых доходностей активов а и b определяются

я л

по формулам о.2 = ?р.а,2 - (Е(а))2 и ab2 = Ир.Ь2 - (?(Ь))2соответст-

1=1 i=i

венно.

Ковариацияактивов ан bопределяется по формуле: COV(a, b) =

= tpxa-mm-щ)).

1=1

Тогда дисперсия ожидаемой доходности портфеля определяется по формуле ст2 = w2a2 + wb2ab2 + 2wawbCOV(a, b). Отсюда стандартное отклонение ожидаемой доходности портфеля равно а = "Уо2.

Пример 124. По данным таблицы определим ожидаемую доходность и стандартное отклонение ожидаемой доходности портфеля, состоящего из активов а и Ь. Доли средств, вложенных в активы а и й, равны соответственно wa = 0,6 и wb = 0,4.

181

Состояние экономики Вероятность Возможная доходность актива а, % Возможная доходность актива Ь, % Экономический бум 0,3 20 15 Нормальное развитие 0,4 10 5 Экономический спад 0,3 -10 -12 Заполним таблицу. Сценарий 1 Сценарий 2 Сценарий 3 Сумма р, 0,3 0,4 0,3 1 а, 20 10 -10 — ъ, 15 5 -12 — РА 6 4 -3 7 Р,Ь, 4,5 2 -3,6 2,9 РА2 120 40 30 190 рМ 67,5 10 43,2 120,7 а,-Е(а) 13 3 -17 — Ь,-Е(Ь) 12,1 2Д -14,9 — (а-Е{а)){Ь-Е{Ь)) 157,3 6,3 253,3 — Pl(a- Ща)КЬ- Е(Ъ)) 47,19 2,52 75,99 125,7 Поясним, как заполняется таблица. Значения первых четырех строк взяты из условия.

п

Ожидаемая доходность актива а равна Е(а) = YiP,a, = 7%. Ожида-

п

емая доходность актива Ъ равна E{b) = 2Zp,b, = 2,9%.

1=1

Из каждого числа 3-й (4-й) строки вычитаем Е(а) = 7 (Е(Ь) = 2,9) и результат пишем в 9-й (10-й) строке. 11-я (12-я) строка равна произведению 9-й и 10-й (2-й и 11-й) строк.

Ожидаемая доходность портфеля составляет Е= waE(a) + w^ib) = = 0,6X7 + 0,4X2,9 = 5,36%.

Я

Дисперсия ожидаемой доходности актива а равна а„2 = Xр,а? —

i=i

— (Е(а))2 = 190 — 72 = 141%2. Дисперсия ожидаемой доходности акти-

п

ва Ь составляет а„2 = ?p,b? - (E(b)f = 120,7 - 2,92 = 112,29%2.

Ковариация активов а и b равна COV(a, b) = ZP,(A, — Е(а))х

i=i

x(b, - ЕЩ) = 125,7%2.

182

Дисперсия ожидаемой доходности портфеля составляет о2 = w02o-a2 + + wfeb2 + 2wawbCOV(a, b) = 0,62X141 + 0,42x 112,29 + 2X0,6x0,4X125,7 ~ « 129,1%2.

Тогда стандартное отклонение ожидаемой доходности портфеля равно а = Vo2"= V 129,1 ~ 11,4%.

Задача 124. По данным таблицы определить ожидаемую доходность и стандартное отклонение ожидаемой доходности портфеля, состоящего из активов а и Ь. Доли средств, вложенных в активы а и Ь, равны соответственно wa = 0,7 и wb = 0,3. Состояние экономики Вероятность Возможная доходность актива а, % Возможная доходность актива Ь, % Экономический бум 0,3 18 16 Нормальное развитие 0,5 12 7 Экономический спад 0,2 -9 -14