<<
>>

4.4. Определение рыночного портфеля при возможности заимствования и кредитования11

При возможности заимствования и кредитования эффективная граница превращается в прямую линию, касательную к эффективной границе Марковца, как показано на рис. 4.17. Обозначим ее через Н.
Она проходит через две точки: ставку без риска и рыночный портфель М. Чтобы найти портфель Л/, необходимо рассчитать уд. веса входящих в него активов. Решить задачу можно следующим образом. Рыночный портфель расположен на касательной к эффективной границе Марковца. Это значит, что угол наклона линии Н к горизонтальной оси графика является наибольшим по сравнению с другими линиями, которые можно провести через ставку без риска и остальные портфели на границе Марковца. Обозначим угловой коэффициент прямой Н через <р. Он равен отношению премии за риск рыночного портфеля к его риску:

(4.16)

Чтобы найти уд. веса активов в портфеле Л/, необходимо максимизировать зна-

п

чение целевой функции <р при условии, что = 1. Решим данную задачу для

i=i

случая, когда короткие продажи разрешены.

С

Рис. 4.17. Эффективная граница при возможности заимствования и кредитования

11 В данном параграфе задача оптимизации решается в соответствии с подходом, изложенном в E.Elton, M.Gruber, S.Brown, W.Goetzmann "Modern Portfolio Theory and Investment Analysis", Wiley, 2003, Chapter 6.

170

Глава 4. Определение эффективной границы и оптимальных портфелей

В функции (4.16) риск портфеля равен:

<*т =

ZZ'A

\i=\ j=\

1

,с/, cov/y

Запишем его как:

/=1

1=1 j=\

Для нахождения максимума функции (4.16) необходимо учесть ограничение.

п

Поскольку оно имеет вид 0.? = 19 то включим его непосредственно в числи-

/=i

тель уравнения (4.16) следующим образом:

( п \ ( п

rf=l-rf =

2>. Ь = Z*.

V /=1 /

/=1

Также учтем, что rm - ^Oft . Функция (4.16) принимает вид:

I^,2+ZI^cov,

/=1

1=1 j=\

ИЛИ

1

Л "2

1=1

1=1 j=\

(4.17)

Чтобы определить максимум функции (4.17), надо найти ее частные производные по в{ и приравнять их к нулю.

Найдем производную функции <р по вк в общем виде:

171

Глава 4.

Определение эффективной границы и оптимальных портфелей

дер 2

/=1

1=1 у=1

2вка2к+2^соу

7=1

2>,6->>)1=<>

V /=1 )

Умножим (4.18) на

дер

/=1 i у=1

и преобразуем:

/=1

1=1 1=1 j=\

7*

У=1

=0

или

^2k+^Z0JcowJ

У=1

= 0

(4.18)

(4.19)

rm - rf

В равенстве (4.19) величина-2— является константой, поскольку это премия

т

за риск рыночного портфеля, деленная на его риск, измеренный дисперсией. Обозначим ее через Л. Тогда:

дер ~двк

= (rk-rf)-Я вка\ + X cov,

y=i

= 0

или

дер

7=1

ИЛИ

172

Глава 4. Определение эффективной границы и оптимальных портфелей

'k

.2

-Я^3СОУ3,-Д^СГ, -...-A^cov^O, (4 20)

к - 1,2....,и

Обозначим величины Л019 А029...9АОп через zl9 z29...9zn. Тогда (4.20) запишется как:

дер

двк

,2cov2,-

= {п -rf)~z\ C0V1*"Z2

(4.21)

- z3 cov3,... - zkak... - z„ cov„k = 0

На основе равенства (4.21) для n бумаг составляем систему из п уравнений с п неизвестными:

zxa\ + z2 cov21+ z3 cov31... + zn cov„, =rl-r/ z, cov12 + z2z, cov13 + z2 cov23 + z3cr3 +... + zn covn3 =r3-rf (4.22)

.2 -

Z, COV, + Z-,COV, +Z, COV, ... + z cr =r — r

1 In 2 2и 3 Зл nn и j

Решив данную систему уравнений получим значения zf. Согласно определению значений zi они пропорциональны величинам в.. Коэффициент пропорциональности - это Л. Поэтому определить уд. веса активов в рыночном портфеле можно из отношения:

1=1

Поясним представленный алгоритм определения рыночного портфеля на примере для трех бумаг.

Пример 1.

Пусть все множество рискованных активов представлено только тремя бумагами. Стандартное отклонение доходности первой (в десятичных значениях) равно 0,2, второй - 0,3 , третьей - 0,4. Ковариация доходностей первой и второй бумаг составляет 0,048, первой и третьей - 0,056, второй и третьей - 0,108.

Ожидаемая доходность первой бумаги равна 12%, второй - 16%, третьей - 22%, ставка без риска - 5%. Определить уд. веса бумаг в рыночном портфеле.

173

Глава 4. Определение эффективной границы и оптимальных портфелей

Решение.

Запишем систему уравнений (4.22):

z, 0,22 + z2 0,048 + z3 0,056 = 0,12 - 0,05

z, 0,048 + z2 0,32 + z3 0,108 = 0,16 - 0,05

z, 0,056 + z2 0,108 + z3 0,42 = 0,22 - 0,05

или

z, 0,04 + z2 0,048 + z3 0,056 = 0,07

z, 0,048 + z2 0,09 + z3 0,108 = 0,11 (4.23)

z, 0,056+z2 0,108 + z3 0,16 = 0,17 Решая систему (4.23) получаем:

zt =0,9314; z2 =-0,8333; z3 = 1,2990

з

]T z = 0,9314 - 0,8333 +1,2990 = 1,3971

ы

n 0,9314 Л,,,_ n -0,8333 ncn/r. Л 1,2990 ЛГЛ„по

0, =--=0,6667, 6> = —!-= -0,5964 0, = --=0,9298

1 1,3971 2 1,3971 3 1,3971

Таким образом, первую и третью бумаги следует купить в уд. весах 66,67% и 92,98%, а вторую продать в уд. весе 59,64%. Ожидаемая доходность и риск рыночного портфеля составят:

гт = 0,6667-12% + (-0,5964) • 16%+0,9298- 22% = 18,9136%

о-2 =(0,6667 -0,5964 0,9298) X

f 0,22 0,048 0,05бУ 0,6667 Л 0,048 0,32 0,108 -0,5964 0,056 0,108 0,42 I 0,9298

= 0,0996

ат = д/0,0996 = 0,3156 или 31,56%.

174

Глава 4. Определение эффективной границы и оптимальных портфелей

<< | >>
Источник: А.Н. Буренин. Управление портфелем ценных бумаг. 2-е издание, исправленное и дополненное. Научно-техническое общество имени академика СИ. Вавилова . 2008

Еще по теме 4.4. Определение рыночного портфеля при возможности заимствования и кредитования11:

  1. 4.5. Определение удельных весов активов в рыночном портфеле при возможности заимствования и кредитования с помощью программы Excel
  2. 1.1.3. Ожидаемая доходность портфеля при возможности заимствования средств
  3. 5.3. ФОРМИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЕЙ АКТИВОВ ПРИ ВОЗМОЖНОСТИ БЕЗРИСКОВОГО КРЕДИТОВАНИЯ И ЗАИМСТВОВАНИЯ
  4. 5.3.3. Оптимизация структуры портфеля при возможности безрискового кредитования и заимствования
  5. 4.6. Определение оптимального портфеля при возможности формирования заемных и кредитных портфелей
  6. 1.1.2. Ожидаемая доходность портфеля при невозможности заимствования средств или осуществления коротких продаж
  7. Приложение 5. Вывод уравнения линии эффективной границы при возможности заимствования и кредитования
  8. 1.1.4. Ожидаемая доходность портфеля при возможности коротких продаж
  9. 5.1.1.2. Определение оптимального портфеля при копировании индекса с помощью программы Excel
  10. Определение износа и остаточной рыночной стоимости при массовой оценке
  11. Определение стоимости объекта недвижимости при рыночном (сравнительном) подходе
  12. 38.5. ОСОБЕННОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РЫНОЧНОЙ СТОИМОСТИ ПРИ ПЕРЕОЦЕНКЕ, ЛИКВИДАЦИИ, УТИЛИЗАЦИИ И ЛИЗИНГЕ ОСНОВНЫХ СРЕДСТВ
  13. 5.2.1.3. Оценка величины не хеджируемого риска портфеля. Определение коэффициента детерминации портфеля с помощью программы Excel
  14. 10.3. МОДЕЛИ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ И ВОЗМОЖНОСТИ ИХ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ