4.4. Определение рыночного портфеля при возможности заимствования и кредитования11

(4.16)

Чтобы найти уд. веса активов в портфеле Л/, необходимо максимизировать зна-

п

чение целевой функции <р при условии, что = 1. Решим данную задачу для

i=i

случая, когда короткие продажи разрешены.

С

Рис. 4.17. Эффективная граница при возможности заимствования и кредитования

11 В данном параграфе задача оптимизации решается в соответствии с подходом, изложенном в E.Elton, M.Gruber, S.Brown, W.Goetzmann "Modern Portfolio Theory and Investment Analysis", Wiley, 2003, Chapter 6.

170

Глава 4. Определение эффективной границы и оптимальных портфелей

В функции (4.16) риск портфеля равен:

<*т =

ZZ'A

\i=\ j=\

1

,с/, cov/y

Запишем его как:

/=1

1=1 j=\

Для нахождения максимума функции (4.16) необходимо учесть ограничение.

п

Поскольку оно имеет вид 0.? = 19 то включим его непосредственно в числи-

/=i

тель уравнения (4.16) следующим образом:

( п \ ( п

rf=l-rf =

2>. Ь = Z*.

V /=1 /

/=1

Также учтем, что rm - ^Oft . Функция (4.16) принимает вид:

I^,2+ZI^cov,

/=1

1=1 j=\

ИЛИ

1

Л "2

1=1

1=1 j=\

(4.17)

Чтобы определить максимум функции (4.17), надо найти ее частные производные по в{ и приравнять их к нулю.

Найдем производную функции <р по вк в общем виде:

171

Глава 4.

дер 2

/=1

1=1 у=1

2вка2к+2^соу

7=1

2>,6->>)1=<>

V /=1 )

Умножим (4.18) на

дер

/=1 i у=1

и преобразуем:

/=1

1=1 1=1 j=\

7*

У=1

=0

или

^2k+^Z0JcowJ

У=1

= 0

(4.18)

(4.19)

rm - rf

В равенстве (4.19) величина-2— является константой, поскольку это премия

т

за риск рыночного портфеля, деленная на его риск, измеренный дисперсией. Обозначим ее через Л. Тогда:

дер ~двк

= (rk-rf)-Я вка\ + X cov,

y=i

= 0

или

дер

7=1

ИЛИ

172

Глава 4. Определение эффективной границы и оптимальных портфелей

'k

.2

-Я^3СОУ3,-Д^СГ, -...-A^cov^O, (4 20)

к - 1,2....,и

Обозначим величины Л019 А029...9АОп через zl9 z29...9zn. Тогда (4.20) запишется как:

дер

двк

,2cov2,-

= {п -rf)~z\ C0V1*"Z2

(4.21)

- z3 cov3,... - zkak... - z„ cov„k = 0

На основе равенства (4.21) для n бумаг составляем систему из п уравнений с п неизвестными:

zxa\ + z2 cov21+ z3 cov31... + zn cov„, =rl-r/ z, cov12 + z2z, cov13 + z2 cov23 + z3cr3 +... + zn covn3 =r3-rf (4.22)

.2 -

Z, COV, + Z-,COV, +Z, COV, ... + z cr =r — r

1 In 2 2и 3 Зл nn и j

Решив данную систему уравнений получим значения zf. Согласно определению значений zi они пропорциональны величинам в.. Коэффициент пропорциональности - это Л. Поэтому определить уд. веса активов в рыночном портфеле можно из отношения:

1=1

Поясним представленный алгоритм определения рыночного портфеля на примере для трех бумаг.

Пример 1.

Пусть все множество рискованных активов представлено только тремя бумагами. Стандартное отклонение доходности первой (в десятичных значениях) равно 0,2, второй - 0,3 , третьей - 0,4. Ковариация доходностей первой и второй бумаг составляет 0,048, первой и третьей - 0,056, второй и третьей - 0,108.

173

Глава 4. Определение эффективной границы и оптимальных портфелей

Решение.

Запишем систему уравнений (4.22):

z, 0,22 + z2 0,048 + z3 0,056 = 0,12 - 0,05

z, 0,048 + z2 0,32 + z3 0,108 = 0,16 - 0,05

z, 0,056 + z2 0,108 + z3 0,42 = 0,22 - 0,05

или

z, 0,04 + z2 0,048 + z3 0,056 = 0,07

z, 0,048 + z2 0,09 + z3 0,108 = 0,11 (4.23)

z, 0,056+z2 0,108 + z3 0,16 = 0,17 Решая систему (4.23) получаем:

zt =0,9314; z2 =-0,8333; z3 = 1,2990

з

]T z = 0,9314 - 0,8333 +1,2990 = 1,3971

ы

n 0,9314 Л,,,_ n -0,8333 ncn/r. Л 1,2990 ЛГЛ„по

0, =--=0,6667, 6> = —!-= -0,5964 0, = --=0,9298

1 1,3971 2 1,3971 3 1,3971

Таким образом, первую и третью бумаги следует купить в уд. весах 66,67% и 92,98%, а вторую продать в уд. весе 59,64%. Ожидаемая доходность и риск рыночного портфеля составят:

гт = 0,6667-12% + (-0,5964) • 16%+0,9298- 22% = 18,9136%

о-2 =(0,6667 -0,5964 0,9298) X

f 0,22 0,048 0,05бУ 0,6667 Л 0,048 0,32 0,108 -0,5964 0,056 0,108 0,42 I 0,9298

= 0,0996

ат = д/0,0996 = 0,3156 или 31,56%.

174

Глава 4. Определение эффективной границы и оптимальных портфелей