4.6. Определение оптимального портфеля при возможности формирования заемных и кредитных портфелей

ар = ®т<Ут (4.24)

Из формулы (4.24) можно найти долю рыночного портфеля в конкретном портфеле, который формирует инвестор:

Она показывает ту долю средств, на которую следует купить рыночный портфель в пропорциях по изложенному в параграфе 4.4 алгоритму. Поясним сказанное на примере.

176

Глава 4. Определение эффективной границы и оптимальных портфелей

Пример 2.

(Сохраняются условия примера 1 параграфа 4.4).

Инвестор хотел бы сформировать кредитный портфель со стандартным отклонением 15,78%. В примере 1 мы определили, что стандартное отклонение рыночного портфеля равно 31,56%. Поэтому уд. вес рыночного портфеля в портфеле инвестора должен составить:

1 S 78

^= — = 0,5 или 50%. т 31,56

Инвестор формирует портфель на общую сумму 200 тыс. руб. Тогда на рыночный портфель приходится:

200000-0,5 = 100000дуб.

В примере 1 рыночный портфель состоял из длинных позиций по первой и третьей бумагам в уд. весах 66,67% и 92,98%, и короткой позиции по второй бумаге в уд. весе 59,64%. Поэтому следует купить первую и третью бумаги соответственно на:

100000 • 0,6667 = 66670руб.

и

100000 • 0,9298 = 92980руб.,

Вторую бумагу надо продать на:

100000 • 0,5964 = 59640руб.

Пусть первая бумага стоит 66 руб., вторая 100 руб., третья 90 руб. Тогда инвестор покупает первую и третью бумаги в количествах:

66610 руб.

66 руб.

= 1010,15 или 1010 штук

= 1033,11 или 1033 штуки.

90 руб.

Вторую бумагу занимает и продает в количестве:

59640руб. .

-^— = 596,4дуб. или 596 штук.

100 руб.

Бумага без риска приобретается на 100 тыс. руб.

Найдем ожидаемую доходность портфеля. Она равна:

0,5 • 5% + 0,5-18,9136 = 11,9568%

Пример 3.

(Сохраняются условия примера 1 параграфа 4.4).

Формируется заемный портфель со стандартным отклонением 47,34%. Уд. вес рыночного портфеля относительно собственных средств инвестора составляет:

177

Глава 4. Определение эффективной границы и оптимальных портфелей

л 47,34 Л Г 31,56

Инвестор располагает 200 тыс. руб. собственных средств и занимает еще 100 тыс. руб. Он покупает первую и третью бумаги на суммы:

150000 • 0,6667 = 100005 руб.

и

150000 • 0,9298 = 139470руб.

Вторую бумагу продает на:

150000 • 0,5964 = 89460руб.

Первая бумага стоит 66 руб., вторая 100 руб., третья 90 руб. Тогда инвестор покупает 1515 штук первой и 1550 штук третьей бумаг и продает 895 штук второй бумаги.

В примерах 2 и 3 инвестор делал выбор на основе стандартного отклонения формируемого портфеля. При выборе конкретного портфеля можно исходить также из желаемого значения ожидаемой доходности. В этом случае уд. вес рыночного портфеля можно определить из формулы его ожидаемой доходности:

Е(гр)=Ь-0я)г,+ОяЕ{гт)

Он равен:

Eirm)-r'

f

ч

Найти оптимальный портфель для требуемого уровня риска при возможности заимствования и кредитования можно также с помощью множителей Лагранжа, как было показано в параграфе 4.2. Приведем пример.

Пример 4.

Пусть все множество рискованных активов представлено только тремя бумагами. Стандартное отклонение доходности первой (в десятичных значениях) равно 0,2, второй - 0,3 , третьей - 0,4. Ковариация первой и второй бумаг составляет 0,048, первой и третьей - 0,056, второй и третьей - 0,108. Ожидаемая доходность первой бумаги (в десятичных значениях) равна 0,12, второй - 0,16, третьей - 0,22, ставка без риска - 0,5.

Решение.

Общее количество бумаг, входящих в портфель, равно четырем: три рискованных и одна без риска. Портфель с требуемым уровнем ожидаемой доходности находим, решая следующую оптимизационную задачу:

3 3

а\=S S в& С0Уи min (4-25>

/=1 У=1

178

Глава 4. Определение эффективной границы и оптимальных портфелей

Ограничения: 1) ожидаемая доходность портфеля (г ) равна:

'г. = г

(4.26)

/=0

2) сумма уд. весов всех активов равна единице:

<=° (4.27)

В уравнении (4.25) общее количество бумаг равно трем, так как риск кредитного портфеля определяется только его рискованной частью. В уравнениях (4.26) и (4.27) учтено общее количество бумаг в портфеле (индекс i считается от нуля). Нулевой индекс у бумаги без риска. Составим функцию Лагранжа:

i=l j=l \i=0 J \i=0

Запишем ее в развернутом виде:

L = 0ха\ + 02а2 + в]а\ + 20х02 cov, 2+ 20Х0Ъ cov, 3 +

+ 20203 cov2 з+Л, (в0г0 + 0хгх + в2г2 + вггъ - гр)

+л2(е0 + вх+е2+вг-\)

Найдем частные производные функции Лагранжа по 0t:

' 8L

+

дв0

dL

двх

dL

дв2

dL

двг dL

d\ dL

d\

= 20xax2 + 2вг cov, 2+ 203 cov,3+ Л,^ + X\ = 0

= 2020-1 + Щ C0V1,2+ 2^3 COV2,3+ 4*2 +^2=0

= 20га\ + 20x cov, з+ 202 cov2 3 + + = 0

0oro + 0xrx + 02r2 + 03r} -rp=0

0o + 0x+02 +03-\ = O

(4.28)

179

Глава 4. Определение эффективной границы и оптимальных портфелей

Подставим в систему уравнений (4.28) цифровые значения задачи:

' ^ 0,05 + Л2 =0 2(9,0,22 + 202 0,048 + 20г 0,056 + 4 0,12 + ^ = 0 202О,32 + 20,0,048 + 2<930,108 + Л, 0,16 + ^ = 0 203 0,42 + 20,0,056 + 202ОДО8 + ^0,22 + ^ = 0

0О 0,05 + 0, ОД 2 + 02 0,16 + 03 0,22 - 0,1195 62 = 0

0о+0,+02 +03 -1 = О

или

0,05^+^ =0

0,040, + О,О4802 + О,О560з + °>06Л + = 0 0,0480, + О,О902 + ОД О803 + °>08Л + °>5Я2 = 0 * 0,0560, + О,1О802 + ОД603 + ОД Ц + 0,5^ = 0

О,О50О + 0,120, + О,1602 + О,220з = ОД 1962 0о + 0,+02 +03 =1

Решив систему, получаем: 0О = 0,5; 0, = 0,3333; 02 = -0,2982; 03 = 0,4692.