2. Математические модели оценки акций
С точки зрения постановки проблемы, задача правильной оценки акции проста: цена акции должна равняться ее экономической стоимости, которая, в свою очередь, определяется приведенной стоимостью всех денежных потоков, обеспечиваемых акцией.
Акция предоставляет инвестору денежные доходы двух типов: дивиденды, выплачиваемые регулярно по результатам работы компании, и суммы денег, равные цене акции в момент ее продажи (ликвидации). Значит, чтобы найти рыночную цену акции в любой момент времени, необходимо дисконтировать поток дивидендов и ликвидационную сумму на интересующий нас момент времени.Существуют три теоретические модели оценки акций: дисконтирования потока дивидендов, дисконтирования потока доходов и дисконтирования потока денег. Если используемые в этих моделях переменные величины подобраны правильным способом, то все модели дадут один и тот же результат. Наиболее часто используется модель дисконтирования дивидендов. Рассмотрим ее.
Представим, что в исходный момент времени Ї = 0 цена акции составляла Ро руб. По прошествии холдингового периода цена акции возросла до Рі руб., и владельцу акции выплачивается дивиденд в размере Бі руб. Тогда доходность (к) акции за холдинговый период:
Рі + Бі — Ро
к = . (4.4)
Ро
Эту формулу можно преобразовать и найти величину Ро:
Б1 Р1
Ро = + . (4.5)
(1 + к) (1 + к)
Доходность, которая в формуле 4.5 служит ставкой дисконта для вычисления приведенной стоимости акции, называется рыночной ставкой капитализации. В условиях эффективного рынка став- 72 ка капитализации отражает издержки упущенной возможности размещения денег в акцию.
Строго говоря, формула дисконтирования позволяет утверждать, что приведенная стоимость акции (PV) (что и определяет цену акции в исходный момент времени) может быть представлена в виде:
Di D2 D3 Dn PV = Po = + + + ...
+ , (4.6)(1 + ki)1 (1 + k2)2 (1 + кз)3 (1 + kn)n
где: D1, D2, D3, ..., Dn - денежные потоки в момент 1, 2, 3, ..., n;
k, k2, k3, ..., kn - рыночные ставки капитализации в момент 1, 2, 3, ..., n;
n - количество лет, в течение которых инвестор предполагает владеть акцией.
Формула 4.6 предполагает, что инвестор должен задать прогнозируемые величины денежных потоков (Di) и ставок дисконта (ki) на n лет вперед, что делает задачу вычисления Po практически невыполнимой. Поэтому для построения приемлемой математической модели необходимо пойти на ряд существенных допущений и упрощений: 1.
Будем считать, что k1 = k2 = ... = k. Иными словами, в любой момент инвесторы всегда одинаково оценивают риск, связанный с данной акцией. Это допущение не столь жесткое, поскольку аналогичное делается и при оценке, например, реальных средств. 2.
Предполагается, что любая величина Dt = Dt-1 х (1 + gt), где gt - ставка прироста ежегодных выплат в год t, Dt - сумма, выплачиваемая в год t, Dt-1 - сумма, выплачиваемая по акции годом раньше.
Наиболее простая модель оценки стоимости акции предложена американским экономистом Майроном Гордоном (Myron J.Gordon) в 1962 году. Для ее построения Гордон пошел на другие упрощения: •
Во-первых, поскольку, срок действия акции теоретически не ограничен, то считаем, что поток денежных выплат представляет собой бесконечный поток дивидендов (ликвидационной суммы уже не будет, так как акция существует бесконечно долго). Иными словами, с учетом уже сделанных упрощений, формулу (4.6) можно представить так:
D1 D2 D3
PV = Po = + + + ... (4.7)
(1 + k)1 (1 + k)2 (1 + k)3 • Во-вторых, Гордон предложил считать все величины gi равными друг другу, то есть дивиденды возрастают ежегодно в (1 + g) раз, причем величина б не меняется до бесконечности. Иными словами, в модели Гордона:
Б2 = Б1 х (1 + б),
Бз = Б2 х (1 + g) = Бх х (1 + б)2,
Б4 = Бз х (1 + g) = Б2 х (1 + б)2 = Б1 х (1 + g)3 и т.д.
С учетом этого допущения, формула 4.7 примет вид:
Б1 Б1 х (1 + б)2 Бгх(1 + g)3
РУ = Ро = + + + ... (4.8)
(1 + к)1 (1 + к)2 (1 + к)3
Если же считать, что дивиденд Б1 = Б0х(1 + g), где Бо - дивиденд, выплачиваемый годом раньше, то формула (4.8) может быть записана так:
Бо х (1 + g)l Бо х (1 + g)2 Бо х (1 + g)3
РУ = Ро = + + + ... (4.9)
(1 + к)1 (1 + к)2 (1 + к)3
Выражение (4.9) представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Сумма членов такой прогрессии:
Б1
Б = Ро = . (4.10)
к - g
Итак, согласно модели Гордона, приведенная стоимость акции (Ро) определяется делением величины ожидаемого по результатам текущего года дивиденда (Б1) на разность между рыночной ставкой капитализации (к) и ожидаемой ставкой прироста дивиденда (б).
Еще по теме 2. Математические модели оценки акций:
- Математические модели оценки риска
- Методы согласования экономической и математической составляющих экономико-математической модели
- 4.4. Модели оценки акций
- Глава IV. МОДЕЛИ ОЦЕНКИ ОБЛИГАЦИЙ И АКЦИЙ
- Количественная модель оценки скидки за недостаточную ликвидность акций (QMDM)
- 4.3.4. Экономико-математическая модель
- Метод построения факторно-стоимостных математических моделей
- 4 Новая модель Математическая оптимизация
- Раздел X ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ ВЭД
- 3.3.2. Математические модели прогнозирования
- Математические методы в оценке
- 7.4. ЛОЗАННСКАЯ ШКОЛА - МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАВНОВЕСИЯ
- 4.1. Назначение и математическая модель бизнес-плана
- Математические модели прогноза населения
- Математические модели систем социальной защиты
- Математические модели динамики экономических показателей
- 12.3. Экономико-математическая модель управления финансовой активностью
- 4.6. Математическая модель предложения денег типа