<<
>>

7.4.4. Алгоритм оптимального стохастического управления портфелем финансовых инструментов, обеспечивающий извлечение потенциально возможной прибыли

Теорема разделимости [5,6,14], справедливая для линейных динамических систем, утверждает, что задача синтеза оптимальной стратегии управления (в нашем случае - это синтез оптимальной спекулятивной стратегии) может решаться по итерационной схеме в два самостоятельных этапа:

195

- оптимального оценивания и прогнозирования вектора состояния динамической системы (финансового рынка);

- динамической оптимизации принимаемых решений с использованием оптимальных (по критерию минимума среднеквадрати-ческой ошибки) оценок вектора «текущего» и «будущего» состояния динамической системы (финансового рынка).

Именно в такой последовательности мы рассмотрим алгоритм решения поставленной задачи.

Попутно заметим, что даже для линейных динамических систем не удается получить решение задачи оптимального управления в замкнутом аналитическом виде, а лишь только в форме алгоритмов вычислений [6].

7.4.4.1. Оптимальное оценивание и прогнозирование вектора состояния финансового рынка

Хорошо известно[5,б], что оптимальным по критерию минимума среднеквадратической ошибки оценивания состояния («текущего», «прошлого» и «будущего») динамической системы является алгоритм, называемый фильтром Р. Калмана. Все любые другие алгоритмы оценивания по точности могут лишь приближаться к точности оценивания, которую обеспечивает фильтр Калмана. Потенциально возможная точность оценивания, достигаемая указанным фильтром, обеспечивается благодаря тому, что структура и параметры указанного алгоритма предварительно настраиваются на «статистический портрет» оцениваемой динамической системы. Именно поэтому необходимо проводить предварительные статистические исследования финансового рынка, чтобы получить адекватную рынку математическую модель в виде системы дифференциальных (разностных) уравнений, и уже затем настроить соответствующий фильтр Калмана на полученную математическую модель финансового рынка.

С учетом уравнения динамической системы (финансового рынка) вида (7.4.2) уравнения канала измерений (вычислений) вида (7.4.3), а также известных результатов теории [5], соответствующие уравнения фильтра Калмана для несмещенного оценивания

196

текущего состояния финансового рынка с минимальной средне-квадратической ошибкой, могут быть записаны в виде:

Х'(г +1) = A(i)X{i) + B(i)m(i), X'{i0) = (7.4.12) (7.4.13),

где - m(i) - оценка вектора математического ожидания случайного процесса эффективности рынка, при этом матрица ковариа-ции ошибок оценивания и матрица усиления фильтра K(i) определяются из рекуррентных уравнений:

Здесь Р(/0) - матрица ковариации начального вектора X(i0).

Она выражает соответствующую априорную информацию по оцениваемой динамической системе.

Оптимальный по критерию минимума среднеквадратической ошибки предсказания линейный многошаговый экстраполятор («предиктор») определяется на основе решения разностного уравнения (7.4.2), определяющего статистическую динамику финансового рынка.

Переходя в указанном уравнении к математическим ожиданиям и рассматривая вместо мгновенного значения оцениваемого процесса его оптимальные оценки а, также используя формулу [5] для решения разностного уравнения с правой частью, получим:

P'(i + \) = A(i)P(i)AT(i) + Q(i) K(i) = P'(i){P\i) + R(i)}'] P(i) = P'(i) - К (i)P'(i)

(7.4.14) (7.4.15) (7.4.16)

Начальные условия определяются выражением

(7.4.17)

197

X(K)=где: ф (...) - фундаментальная матрица решений однородного разностного уравнения, соответствующего уравнению (7.4.2);

X(i + 1) - оптимальная оценка вектора текущего состояния финансового рынка, полученная с помощью фильтра Калмана;

Х(К) - оптимальная оценка «будущего» значения вектора состояния финансового рынка.

Как видно из формулы предсказания (7.4.18) для того чтобы предсказать значение вектора состояния финансового рынка в момент времени «АГ», необходимо знать значения математического ожидания эффективности финансового рынка в моменты времени

т(т),т = / + 1,....., AT - 1, непосредственно предшествующие

предсказываемому моменту времени «АГ».

Покажем далее, как можно получить соответствующие оценки, не входя в противоречие с принципом каузальности (причинности) событий. Для этого рассмотрим одношаговый «предиктор», реализуемый фильтром Калмана [5]:

X(i+Vi) =A(i)X(Ui-l)+B(i)m ®+К®Ш-ЩН-Щ (7-4.19),

где матрица усиления фильтра К'(/') определяется из уравнения (7.4.15), а ковариационная матрица для ошибки экстраполяции может быть получена из решения разностного уравнения вида:

P(i+\)=4i)P(i)J (О-Д/теНО+АСОГ'П^ (f)+Qf), Щ0)=Щ0) (7-4.20).

Уравнение (7.4.20) является дискретным аналогом известного матричного нелинейного дифференциального уравнения типа Рик-кати в задаче фильтрации с непрерывным временем. Последовательно применяя одношаговый «предиктор» (7.4.19), легко доопределить недостающие оценки ш(т), г = i + 1,..., AT - 1 в фор

198

муле (7.4.18) многошаговой экстраполяции («оптимального» предсказания).

Таким образом, выше были полностью определены алгоритмы оптимального оценивания и прогнозирования вектора состояния (эффективности) финансового рынка.

В результате применения указанных алгоритмов может быть синтезирована последовательность векторов предсказаний состояния рынка:

X{ili),X(i + Vi),X(i + 2/i)r..Jt(K/i).

Эта последовательность векторов является исходной информацией для синтеза алгоритма динамической оптимизации принимаемых инвестиционных решений.

7.4.4.2.

Синтез алгоритма динамической оптимизации принимаемых инвестиционных решений

Предварительно заметим, что возможные алгоритмы динамической оптимизации принимаемых решений будут зависеть от моделей использования текущей и прогнозируемой статистической информации по финансовому рынку.

Рассмотрим в связи с этим три возможных алгоритма принятия оптимальных инвестиционных решений.

Первый алгоритм

Указанный алгоритм базируется на основе использования од-ношагового «предиктора» (предсказателя) будущей эффективности финансового рынка. Сам предиктор, на алгоритмическом уровне реализуется с помощью рассмотренного выше фильтра Калмана.

Так как инвестиционные решения должны вырабатываться на основе одношагового предсказания, указанная задача является вырожденным случаем динамической оптимизации принимаемых

199

решений. Применительно к управлению портфелем финансовых инструментов и для случая максимизации приращения стоимости портфеля за определенный период времени указанный алгоритм на каждом шаге принятия решений, будет состоять из следующих алгоритмических шагов:

1) Прогнозирование. Осуществляется одношаговый прогноз будущего состояния финансового рынка. Это означает, что прогнозируются доходности всех обращающихся на рынке финансовых инструментов.

2) Принятие инвестиционных решений. Из всей совокупности финансовых инструментов в оптимальный портфель заранее включаются инструменты (инструмент), имеющие максимальную прогнозируемую эффективность (доходность). Номенклатура включаемых в оптимальный портфель финансовых инструментов и их пропорциональный состав (управление портфелем) на каждом шаге принятия решений зависят от ограничений задачи в части допустимого риска портфеля. Кроме того, решение о заблаговременном включении в портфель тех или иных инструментов принимается с учетом трансакционных издержек, а именно - прогнозируемое приращение стоимости портфеля должно превышать текущие трансакционные издержки, связанные с ротацией портфеля.

3) Рассмотренная выше последовательность алгоритмических шагов по пунктам 1 и 2 повторяется по итерационной схеме для каждого текущего шага принятия решений, вплоть до момента времени завершения процесса управления портфелем.

Второй алгоритм

Указанный алгоритм реализует концепцию оптимального стохастического управления по замкнутому контуру.

Это, как известно^], самая эффективная стратегия управления динамической системой.

Однако для реализации указанной стратегии требуется использовать слишком «длинные» статистические прогнозы. Применительно к оптимальному управлению портфелем финансовых инст

200

рументов «глубина» прогноза должна простираться от любого текущего момента времени и до момента времени завершения процесса управления портфелем.

Совершенно очевидно, что эти требования входят в противоречие со статистической природой процессов, протекающих на финансовом рынке. Если опираться на корреляционную теорию случайных процессов[26] и поставить при этом требование спрогнозировать поведение случайного процесса за периодом времени затухания его корреляционной функции, то совершенно очевидно, что это сделать невозможно. В данном случае ошибка прогнозирования будет равна дисперсии оцениваемого процесса, и само прогнозирование потеряет практический смысл.

Выходом из указанной ситуации является осуществление «коротких» статистически достоверных прогнозов финансового рынка на несколько шагов вперёд и их использование для последующей динамической оптимизации принимаемых решений.

Третий алгоритм

Данный алгоритм принятия оптимальных инвестиционных решений является промежуточным вариантом между «первым» и «вторым» алгоритмами. С нашей точки зрения, он является наиболее перспективным для реализации, так как позволяет использовать, с одной стороны, достоверные статистические прогнозы, а с другой стороны, позволяет использовать оптимизацию принимаемых решений на основе алгоритмов динамического программирования Р. Беллмана.

Указанный алгоритм в полной мере отвечает канонам [6] оптимального стохастического управления динамическими системами. Его использование применительно к инвестиционной (спекулятивной) деятельности как раз и будет означать, что управление портфелем финансовых инструментов осуществляется на базе методов указанной теории, что позволит спекулянту извлекать потенциально возможную для финансового рынка прибыль.

201

Модель принятия решений.

При синтезе алгоритма принятия решений в каждый текущий момент времени используется «короткий» статистический прогноз вектора состояния финансового рынка (например, на 3 - 5 торговых сессий вперед). На основе этого прогноза синтезируется оптимальная последовательность инвестиционных решений и из этой последовательности принимается только первое решение. На следующей торговой сессии поступает новая статистическая информация по финансовому рынку («обратная связь»), которая принципиально может девальвировать ранее сделанный прогноз. В связи с этим, заново синтезируется последовательность оптимальных инвестиционных решений, и из неё опять принимается только первое решение и т. д. по итерационной схеме до момента завершения инвестиционной (спекулятивной) деятельности.

В рамках данной модели, для любого текущего момента времени, оптимальная инвестиционная стратегия может быть синтезирована на основе стандартного алгоритма динамической оптимизации^].

Указанная оптимизация обычно осуществляется с последнего шага к первому по итерационной схеме, при этом первый шаг, в рассматриваемом нами случае соответствует текущему моменту времени принятия решений.

Учитывая сказанное и с учетом выражения функции W (X„X,U,) , определяющей приращение стоимости портфеля,

можно записать:

max {W[ Х(К), U(K -1)] | Х(К - 1), U(K - 2)}} (7.4.21)

U{K-\)

max {max W[X(K),U(K -1)I X(K - 1),

U(K-2) U(K-V)

U(K - 2) I X{K - 2),U(K ~ 3)}

(7.4.22)

202

max {.. max {max W[X(K),U(K - l)]\X(K - 1),

(ДО ЩК-l) У(К-1)

c/(/:-2)|X(/:-2),c/(/:-3)}..}

(7.4.23)

Указанная последовательность решения задач оптимизации должна проводится для каждого i-ro текущего момента времени и повторяется по итерационной схеме вплоть до завершения планируемого периода. Последовательность инвестиционных решений при её рассмотрении от начала планируемого периода и до момента его завершения образует некоторую «траекторию» инвестиционных решений (оптимальное управление портфелем финансовых инструментов).

Синтезированная «траектория» будет являться экстремалью финансового рынка, так как на указанной «траектории» функционал (7.4.5) будет достигать потенциально возможного значения (в смысле математического ожидания функционала).

С учетом сказанного задачу синтеза оптимальной инвестиционной стратегии (оптимального управления портфелем финансовых инструментов) можно считать решенной.

Структурная схема, поясняющая решение задачи извлечения потенциально возможной для финансового рынка прибыли за счёт оптимального управления портфелем финансовых инструментов, представлена на рис.

7.8.

На рис. 7.8. в верхнем пунктирном прямоугольнике изображена блок-схема портфеля финансовых инструментов в виде линейной динамической системы (формирующего фильтра векторного случайного процесса). Задача системы оптимального управления (нижний пунктирный прямоугольник) состоит в том, чтобы на каждом шаге принятия решений сформировать вектор (У, управляющих воздействий на портфель. Если ряд координат вектора Ut будут равны нулю, то это будет означать, что соответствующие координаты будут равны нулю и в выходном векторе X(i), то есть некоторые финансовые инструменты для 1-го шага управления могут отсутствовать.

203

m(i

Портфель финансовых инструментов

Рис. 7.8. Структурная схема решения задачи оптимального управления портфелем финансовых инструментов (в дискретном времени)

и,

Оптимальный предсказатель на базе фильтра Калмана

X{i/i),X(i+Vf),X(i+2/i)7.. да/О

Оптимизатор: max J = М? W{X„X,U,)

и (=0

U^viXf), 0.....,N-l

JT U, = 1

U t = U „ 0{Система оптимального управления портфелем финансовых инструментов

Рис. 7.8. Структурная схема решения задачи оптимального управления портфелем финансовых инструментов (в дискретном времени)

204

Безусловно, что при синтезе вектора управления на каждом шаге принятия решений указанный вектор синтезируется в «оптимизаторе» с учётом выполнения всех ограничений, а также условий нормировки финансовых инструментов. Исходной информацией для «оптимизатора» является последовательность векторов, которые вырабатываются в К - шаговом предсказателе («предикторе»), реализуемом на основе фильтра Калмана.

<< | >>
Источник: В. И. Жижилев . Оптимальные стратегии извлечения прибыли на рынке FOREX и рынке ценных бумаг - М.: Финансовый консультант.-280 с. 2002

Еще по теме 7.4.4. Алгоритм оптимального стохастического управления портфелем финансовых инструментов, обеспечивающий извлечение потенциально возможной прибыли:

  1. 7.4. Оптимальное стохастическое управление портфелем финансовых инструментов
  2. 7.4.3. Математическая постановка задачи извлечения потенциально возможной прибыли на финансовом рынке
  3. 7.2.6. Оптимальное управление портфелем финансовых инструментов по замкнутому контуру
  4. В. И. Жижилев . Оптимальные стратегии извлечения прибыли на рынке FOREX и рынке ценных бумаг - М.: Финансовый консультант.-280 с, 2002
  5. 4.6. Определение оптимального портфеля при возможности формирования заемных и кредитных портфелей
  6. 10.3. МОДЕЛИ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ И ВОЗМОЖНОСТИ ИХ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ
  7. РАЗДЕЛ 9. Экономическая эффективность оптимального управления портфелем ценных бумаг
  8. А.Ф. ЕРЕШКО. МЕТОДЫ ДЕКОМПОЗИЦИИ И ЛОКАЛЬНО - ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ ЦЕННЫХ БУМАГ, 2002
  9. 4.2. Стратегии извлечения прибыли на рынке акций
  10. 6.4.6. Основные рекомендации по формированию портфеля ценных бумаг в рамках «классической» теории оптимального портфеля»
  11. ТЕХНИКА ИЗВЛЕЧЕНИЯ ПРИБЫЛИ
  12. 10.2. Основные стратегии извлечения прибыли на рынке FOREX
  13. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ
  14. Алгоритм синтеза оптимального плана выездных налоговых проверок