<<
>>

7.3.1. Модель ARCH и ее применение для описания финансовых временных рядов

Говорят, что случайный процесс {?} описывается моделью ARCH порядка q>\, обозначается ARCH(^), если:

• распределение вероятностей случайных величин ? (/=1, 2, ...) является условно-гауссовским, т.е.

Мб l3M}=N(//„ о-А (7.57)

где 3o={0,Q} - тривиальная информация; 3,_i - доступная к моменту времени и относящаяся к делу информация, включающая все прошлые значения отклонений ?i, ?2, ^-1 для f>2;

• условное математическое ожидание ? при условии, что имеется информация 3,_i, равно нулю:

//,= Е(6|3,_,)=0; (7.58)

• имеет место условная гетероскедастичность (непостоянство дисперсии) {^} вида:

а2 = Е(6?|3М) =ао+?а,-?2/-/ , t=l, 2, (7.59)

где ?0 ~ начальные значения, которые обычно

полагаются константами; {«/>0} (/=0, 1, q) - параметры модели, удовлетворяющие условиям:

а0>0, ^>0, /=1, 2, д, (7.60)

которые обеспечивают неотрицательность значений {оу2}.

Случайную последовательность {^} можно рассматривать как последовательность, порождаемую стандартным гауссов-ским "белым шумом" {t]t} по формуле: ^ortr/h где {rjt} (/=1, 2, ...) - последовательность независимых случайных величин, распределенных по стандартному нормальному закону N,(0,1).

Из (7.59) следует, что дисперсии (волатильности) at2 могут быть предсказаны по прошлым значениям ?2,_ь E*-t_q.

При этом большие (малые) значения ?2М- приводят к большим (малым) значениям 310

вслед за некоторой серией малых значений обусловлено появлением малого значения т\ь и наоборот. Таким образом, ARCH-модели позволяют объяснить "эффект кластерное™".

Полагая, что w^^t2~at2=crt2{rjt-\), получаем представление модели (7.59) в виде:

?2= ao+i>,-?2/-/ + w„ (7.61)

/=1

где

E(wr|3M) = E(fi?|3M)-c7^=0. (7.62)

В силу (7.61), (7.62) модель ARCH(#) может рассматриваться как "негауссовская" авторегрессионая модель AR(q) для квадратов инноваций Поэтому условием стационар-

ности (в широком смысле) случайного процесса {?,2} является условие стационарности АЯ(#)-модели: корни характеристического уравнения вида (7.7) лежат вне единичного круга.

Однако в отличие от "обычной" авторегрессионной модели "инновации" {wt} для модели (7.61) являются гетероскеда-стичными.

Используя оператор сдвига L и обозначение

a(L)=(l -axL -a2L2 -...-арЩ, (7.63)

представим (7.61) в виде:

(1 -axL -a2L2 -...-(ZpL/Otf =CCQ + wt. (7.64)

Если процесс {?,2} является стационарным, т.е. а\+а2+...+ад<\, то, согласно (7.58) и (7.62)-(7.64), безусловные математическое ожидание и дисперсия ? определяются по формулам:

Е(?)=0, (7.65)

D(?) = Е(^)= а°--, />0. (7.66)

i-^j+... + ^;

Свойство (7.66) означает безусловную гомоскедастичность случайных величин {?}. Таким образом, свойства (7.65), (7.66), традиционно предполагаемые при определении модели случайного блуждания, сохраняются в рамках мартингальной модели цен активов.

В качестве иллюстрации основных свойств ARCH-модели перечислим основные характеристики случайного процесса

311

{?2}, описываемого моделью ARCH(i), в предположении, что выполняется условие ее стационарности 0<Имеют место следующие соотношения для характеристик случайного процесса {?,2}:

• математическое ожидание

1 - «1 1 - «]

дисперсия1

-> (

а° I , />0;

1 - а,

• автокорреляционная функция для лага \Рк =Щк\ (7-67)

• коэффициент эксцесса

К2=т^ (7-68)

Согласно (7.67) случайные процессы ARCH(l) и AR(1) имеют, как и следовало ожидать, одинаковую автокорреляционную функцию. Из (7.68) и условия За\2<1 следует положительность коэффициента эксцесса к2, причем его величина тем больше, чем больше а\, т.е. чем сильнее корреляция между ? и Учитывая, что для нормального распределения к2=0, положительные значения /с2>0 означают, что кривая плотности распределения имеет более "острую" и "высокую" вершину, а также более "тяжелые хвосты", чем кривая плотности нормального распределения. Это свойство ARCH-модели является еще одним ее достоинством, поскольку для большинства финансовых активов коэффициент эксцесса является положительным [50].

Модель ARCH(#) вида (7.59), (7.60) позволяет предсказывать величины $+1 или \%t+i\ на ^1 шагов вперед, т.е. строить прогнозы в виде условного математического ожидания |т?+/=Е(<^+/ |3т) (где 3 т включает значения ?2 для прошлых моментов времени /=1, 2, 7). В частности, для ARCH(l) имеет место следующая прогнозная функция:

312

7?2 s\ 2 l-\ \ I *2 i — Ct] I „9

&+/ = «оП + а] +«]+... + «! ) + a)?T =a0——'— + а}?Т9

1 - #j

где предполагается, что «о, а\ - статистические оценки соответствующих параметров по реализации анализируемого временного ряда длиной Г. Однако модель ARCH не дает ответа на вопрос, в каком направлении будет изменяться моделируемый показатель, поскольку знак величины остается неизвестным. Укажем на некоторые модификации модели ARCH О).

<< | >>
Источник: В.И. Малюгин. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа: Учеб. пособие. -М.: Дело, . - 320 . 2003

Еще по теме 7.3.1. Модель ARCH и ее применение для описания финансовых временных рядов:

  1. 3.6. МОДЕЛИ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  2. 7.3. МОДЕЛИ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С УСЛОВНОЙ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТЬЮ
  3. 7.2. МОДЕЛИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  4. 7.1. МОДЕЛИ СТАЦИОНАРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  5. 7.2.2. Модели интегрированных временных рядов
  6. 7.2.1. Модели временных рядов с детерминированным трендом
  7. 1.1.3.2. Модель вычислимого общего равновесия в непрерывном времени Описание методологии используемых моделей
  8. ГЛАВА 7 ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  9. 7.3.2. Модификации модели ARCH: модели GARCH и EGARCH
  10. 2.3. Моделирование и прогноз временных рядов
  11. 3.6.1. Определение и основные свойства временных рядов
  12. Компоненты временных рядов
  13. 2.3.5. Выделение циклических составляющих временных рядов
  14. КЛАЙВ У. ДЖ. ГРЭЙНДЖЕР ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ