<<
>>

7.2.2. Модели интегрированных временных рядов

Нестационарные временные ряды, которые после выделения тренда с помощью МНК приводят к стационарному ряду остатков, называются стационарными относительно тренда (trend stationary time series) [41, 43].

Существует альтернативный тип нестационарных временных рядов, которые можно привести к стационарному виду путем применения к временному ряду метода последовательного вычисления разностей определенного порядка d, т.е.

его дифференцированием. Такие временные ряды называются стационарными относительно взятия разностей (difference stationary time series), или интегрированными временными рядами (integrated time series). Широкий класс моделей интегрированных временных рядов известен как класс моделей авторегрессии интегрированного скользящего среднего (autoregressive integrated moving average models - ARIMA model), предложенный Дж. Боксом и Дж. Дженкинсом [3]. Дадим краткую характеристику свойств и методов построения моделей данного типа.

Нестационарный случайный процесс {xt} называется интегрированным порядка d>\ (integrated of order d), если слу-

(г=1,2,

100).

250

0

299

чайный процесс разностей Adxt является стационарным, т.е. если операция вычисления разностей порядка d приводит нестационарный случайный процесс xt к стационарному виду впервые при данном значении порядка разностей. Для интегрированного порядка d случайного процесса будем использовать обозначение 1(d).

На использовании понятия "интегрированный случайный процесс" основывается определение модели ARIMA.

Говорят, что нестационарный временной ряд {xt} описывается моделью ARIMA(p, d, q), если временной ряд {xt} является интегрированным порядка d>l, а случайный процесс Adxt является стационарным и описывается моделью ARMA(/?, q).

Таким образом, с учетом обозначений (7.30) модель ARIMA(p, d, q) может быть описана соотношением:

af,L)Adxt=ab+){L)rib (7.41)

где {rjt} - процесс "белого шума".

Вводя обозначение w^Adxt из (7.41), получаем более удобное для вычисления прогнозов представление модели ARlMA(p,d,q):

wt =a{wt_i+a2Wt-2+...+apWt-p+ao+?iry\ilt-\- /у 42)

Понятие "интегрированный процесс" становится очевидным, если ввести обратный к оператору А оператор интегрирования (или суммирования) S.

S= (1+L+L2+...) = (1-L)-1 = А~К

Тогда с учетом (7.42) для d>\ имеем:

х=& wh (7.43)

т.е. интегрированный процесс {xt} получается суммированием (интегрированием) стационарного процесса {wt} d раз.

В практических задачах построения моделей финансовых временных рядов типичными значениями параметров /?, d, q являются значения от 0 до 2. При этом через 1(0) обозначается стационарный случайный процесс, который в результате однократного "суммирования" превращается в нестационарный процесс типа 1(1).

Построение модели ARIMA включает два этапа:

1) определение порядка d интегрированности нестационарного временного ряда {xt} и получение временного ряда разностей Wf=Adxt;

300

2) выбор наилучшей модели для стационарного временного ряда разностей {wt} в классе моделей ARMA.

На первом этапе для проверки стационарности временного ряда и определения порядка интегрированное™ d для нестационарного временного ряда используются тесты "единичного корня" (см. п. 7.2.3). На втором этапе для построения и выбора модели ARMA используется методология Бокса-Джен-кинса, описанная в п. 7.1.3.

В качестве иллюстрации модели AR1MA и возможностей подхода Бокса-Дженкинса рассмотрим некоторые примеры моделей нестационарных временных рядов.

1) Модель с детерминированным линейным трендом.

Исследуем вначале возможность исключения детерминированного тренда с помощью метода взятия разностей. Рассмотрим модель временного ряда {xt} с детерминированным линейным трендом (рис. 7.5), которая получается из (7.39), если d=l, а инновации описываются процессом "белого шума" {?]t}:

*t=Po + P\t +Пь t=h 2, ... (7.44)

Применяя оператор вычисления разностей первого порядка к обеим частям соотношения (7.44), получаем:

*/-*м =А+?/- т-\ О7-45)

или

WfEEAXf = (l-L)xt =р\ + Arjt.

Разностное уравнение (7.45) описывает модель ARMA (1,1) вида (7.36), у которой a\=ri=l9 а а^р\.

Характеристические уравнения для AR- и МА-компонент ARMA-модели имеют единичные корни (unit roots), и, следовательно, модель (7.45) является нестационарной и необратимой. Случайный процесс первых разностей wt описывается стационарной, но необратимой моделью МА(1). Это говорит о неприемлемости метода взятия разностей для исключения детерминированных трендов.

Известно [43], что применение МНК к временным рядам "стационарным относительно взятия разностей" также не приводит к желаемым результатам, т.е. не позволяет получить стационарные ряды остатков. Таким образом, первоочередной задачей анализа нестационарных временных рядов является задача определения типа нестационарности. Ее решению посвящены многочисленные исследования, инициированные

301

работами Нельсона - Плоссера1 и Перрона2, которые позволяют заключить, что временные ряды макроэкономических и финансовых переменных содержат, как правило, стохастические тренды.

2) Модель "интегрированного скользящего среднего".

Рассмотрим процесс ARMА( 1,1) вида:

xt- axxtA =ао+/7/- YWt-h 2, ... (7.46)

Если в (7.46) положить, что а\->\, то в пределе имеет место процесс вида:

w^Ax, =a0+?it-nr]t_{. (7.47)

Согласно (7.47) случайный процесс {wt} описывается моделью МА(1), поэтому является стационарным. Если 1л1<1> то процесс {wt} обладает свойством обратимости. С учетом (7.43) предельный процесс {xt} типа ARIMA(0,1,1) является результатом "интегрирования" (суммирования) процесса скользящего среднего {w,}, что дает основание говорить о нем как о процессе "интегрированного скользящего среднего".

В [3] данная модель используется для описания курса акций IBM (см. рис. 7.6).

290 270

250 I-.-.-.-?---.-?-.-

1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100

Рис. 7.6. Динамика курса акций корпорации IBM

3) Нарушение условия стационарности модели ARMA.

К альтернативному способу описания нестационарных временных рядов по сравнению с моделями, содержащими

302

детерминированный тренд, приводят ARMA-модели при нарушении условия стационарности.

В качестве примера рассмотрим временной ряд {xt}9 описываемый моделью типа авторегрессии первого порядка AR(1) (которую можно рассматривать как модель ARMА( 1,0)):

xt=a\XT_[ +77,, /=1,2, ... (7.48)

при условии, что а\>\, a {rjt} - процесс "белого шума".

Если /70, XQ - заданные начальные значения, то разностное уравнение (7.48) имеет следующее решение:

*/ = *o«i • (7-49)

/=0

Модель (7.48) при а\>1 интерпретируется как модель временного ряда, содержащая стохастический тренд. Интерпретация основывается на представлении (7.49).

Тренд в (7.49) содержит детерминированный и стохастический компоненты. Детерминированный компонент в виде экспоненциально возрастающей функции времени х$а\1 можно рассматривать как условное математическое ожидание xt в начальный момент времени: Щх^х^)=х^а\К

Стохастический компонент тренда представляет собой условное математическое ожидание xt для моментов времени 1, 2, /-1.

Условные математические ожидания xt являются случайными величинами, так как зависят от случайных инноваций ?7(Ь 1и ?Ь-\ (т?ГХГа ]Xj-\ ):

E(x(\xot хх)=х^ахг +а\т, E(x,U0, хих2)

/-1

/=1

Дисперсия xt с учетом (7.49) и формулы для суммы геометрической прогрессии определяется выражением:

А2(/+1) _ |

D(x,)= 1 2 1 а2,

ах -1

из которого следует, что при /->оо дисперсия xt неограниченно возрастает: D(x/)->oo.

Таким образом, временной ряд {xt} является нестационарным как по среднему значению, так и по дисперсии, причем рост xt имеет "взрывной" характер (explosive behavior).

303

Временной ряд, график которого приведен на рис. 7.7, описывается моделью со стохастическим трендом вида: xf=\tiAxt_\+rit, хо=0. Реализация временного ряда получена с помощью статистического моделирования при условии, что {77,}~н.о.р.с.в. NK0, 9) (/=1, 2, 100).

1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 Рис. 7.7. Модель со стохастическим "взрывным" трендом

4) Случайные процессы единичного корня и модель случайного блуждания.

Рассмотрим, как и в предыдущем случае, модель типа AR(1) со свободным членом и "белым шумом" в качестве инноваций {rjt}\

xt=ao + a{xt_i + rjt, t=\, 2, ...

(7.50)

Как отмечалось ранее, временной ряд {xt} является стационарным при 0<а\<\1 и нестационарным (имеет "взрывной" характер роста) при а\>\. Рассмотрим промежуточный случай, когда а\—\. В данном случае модель (7.50) принимает вид:

xt=ao + х,_\ + rjh t=l, 2, ... (7.51)

и известна как модель случайного блуждания с дискретным временем, которая рассматривалась в разд. 4.1. Соотношение (7.51) описывает модель случайного блуждания со "сносом", если OQ^O, и без "сноса", если OQ=0.

Если XQ - заданное начальное значение, то решение разностного уравнения (7.51) имеет вид:

/

Xt= XQ + tOQ +Х7?/ > <7-52)

/=1

что оц>0.

304

откуда следует:

jux>t =Е(х,)= XQ + too, о2*, ,=D(x, )=tcrn2, (pKr{t-k)cr2,

t-k

(t>k>0).

Таким образом, если / значительно больше к, то значения АКФ pkft принимают значения, близкие к единице (pk,r>l при k/t-^О), вследствие чего временной ряд представляется сильно сглаженным, хотя и является нестационарным как по среднему значению, так и по дисперсии.

Процесс случайного блуждания является примером интегрированного процесса 1(1). Действительно модель (7.51) может быть представлена в виде:

Axt=ao+ 7,, г=1, 2, ...

Поскольку "белый шум" является стационарным процессом, то и процесс Axt является также стационарным, т.е. вычисление разностей первого порядка для временного ряда {х,} приводит к стационарному процессу.

Условие а\ = 1 для модели (7.50) означает, что корень z\ соответствующего характеристического уравнения l-a\Z\=0 равен 1. По этой причине процессы 1(1) типа (7.51) часто называют процессами единичного корня (unit root process). График реализации такого процесса в виде модели случайного блуждания без "сноса" (ао=0) приведен на рис. 7.7. Реализация получена с помощью статистического моделирования при следующих условиях: XQ=10, {77,} - н.о.р.с.в. - Nj(0, 9) (/=1,2, 100).

' 60 1-1

о

1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 Рис. 7.8. Процесс единичного корня

20 Зак. 7084 3 05

<< | >>
Источник: В.И. Малюгин. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа: Учеб. пособие. -М.: Дело, . - 320 . 2003

Еще по теме 7.2.2. Модели интегрированных временных рядов:

  1. 7.2. МОДЕЛИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  2. 7.1. МОДЕЛИ СТАЦИОНАРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  3. 3.6. МОДЕЛИ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  4. 7.2.1. Модели временных рядов с детерминированным трендом
  5. 7.3. МОДЕЛИ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С УСЛОВНОЙ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТЬЮ
  6. 7.3.1. Модель ARCH и ее применение для описания финансовых временных рядов
  7. 2.3. Моделирование и прогноз временных рядов
  8. Компоненты временных рядов
  9. 3.6.1. Определение и основные свойства временных рядов
  10. 2.3.5. Выделение циклических составляющих временных рядов
  11. ГЛАВА 7 ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  12. КЛАЙВ У. ДЖ. ГРЭЙНДЖЕР ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  13. 2.3.1. Особенности представления и моделирования временных рядов
  14. 2.3.2. Основы тестирования временных рядов
  15. 2.3.3. Моделирование и прогноз временных рядов методами сглаживания
  16. 2.3.3.2. Аналитические методы сглаживания временных рядов
  17. 2.3.4. Выделение сезонной составляющей временных рядов
  18. 2.3.3.1. Алгоритмические методы сглаживания временных рядов
  19. Сглаживание временных рядов с помощью скользящей средней
  20. 2.3.5.3. Прогнозирование циклических составляющих временных рядов