7.1.4. Построение модели авторегрессии и скользящего среднего

Идентификация модели включает:

294

1) визуальный анализ графика временного ряда {xt} с целью выявления "выбросов", "пропусков", структурных изменений, а также признаков нестационарности типа временных трендов и гетероскедастичности;

2) анализ ВАКФ и ВЧАКФ (выборочных оценок АКФ и ЧАКФ) с целью исследования стационарности анализируемого временного ряда {xt} и определения возможных значений параметров р и q\

3) проверка гипотез об отсутствии автокорреляции значений временного ряда {xt} для отдельных лагов с помощью асимптотического теста значимости значений АКФ, основанного на нормальном приближении тестовой статистики [1, 43];

4) проверка гипотез об отсутствии автокорреляции значений временного ряда {xt} на заданном лаговом диапазоне, включающем К>\ лагов, с помощью Q-статистики Льюнга -Бокса1, рассчитываемой на основании значений ВАКФ {рк} по формуле

0 = Т(Т + 2)^р2к/{Т-к).

к=\

Распределение Q-статистики при условии, что верна нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции значений временного ряда на заданном лаговом диапазоне, близко к хи-квадрат распределению с К степенями свободы.

Для статистического оценивания параметров модели ARMA(/?,g) с заданными значениями р и q могут использоваться различные методы [1, 12, 41, 43]: линейный и нелинейный метод наименьших квадратов (МНК), полный и условный метод максимального правдоподобия (ММП), а также метод моментов (ММ).

Тестирование адекватности основано на анализе тестовых статистик и статистической проверке гипотез относительно параметров тестируемой модели (п. 3.5.3).

295

пользуется описанный выше анализ ВАКФ, ВЧАКФ и Q-статистики. Кроме того, модель "должна быть наиболее экономичной (parsimony) из возможных альтернативных моделей", т.е. из нескольких моделей, признанных по результатам тестирования на одном и том же наборе данных адекватными, лучшей считается модель с меньшим числом параметров, т.е. с меньшими значениями р и д. Для выбора наиболее "экономичной" модели могут использоваться у4/С-статистика Акаике (Akaike information criterion) и -УС-статистика Шварца (Schwartz criterion), определяемые по формулам [41]:

где RSS - сумма квадратов остатков (sum of squared residuals); m - число оцениваемых параметров, т.е. m=p+q+8 (?=1, если используется модель со свободным членом, ?=0 в противном случае). В соответствии с данными критериями следует выбирать модели с меньшими значениями статистик AIC и SC.

Наличие автокорреляции остатков может быть следствием сезонных изменений временного ряда, что влечет необходимость построения сезонной ARMA-модели [43]. При относительно монотонном увеличении дисперсии остатков (признаке "безусловной" гетероскедастичности) целесообразно осуществить логарифмическое преобразование временного ряда. Если временной ряд остатков включает периоды с относительно высокой и относительно малой дисперсией, то целесообразно рассмотреть возможность построения модели ARMA с остатками в виде ARCH или GARCH (см. разд. 7.3).