<<
>>

7.1.2. Модели скользящего среднего

Временной ряд {xt} описывается моделью скользящего среднего порядка q>\ (обозначается - МА(#)), если его значения формируются на основе "белого шума" {77,}, по формуле:

ъ=м + т-пт-\ -пт-г ---удъ-я, t=l9 2,...

(7.17)

Учитывая, что y(L)=l -y{L -j^L2 -...-ygL^, получаем:

xt =м + (1 -nL -nL2 -...-пНОъ (7.18)

или

где ju, {%} (k=l, 2, q) - параметры модели (коэффициенты скользящего среднего); г/\.д, г/2-д, 770- начальные условия.

1) Модель МА(1) и ее свойства.

В частном случае, когда q=l, имеет место модель скользящего среднего первого порядка МА(1) вида:

xt=H+ т-пт-ь ^=1, 2,... (7.19)

Заметим, что в отличие от АЯ(р)-моделей для обеспечения стационарности МА(#)-моделей не требуется налагать каких-либо ограничений на параметры. Ряды вида (7.18) стационарны для любых вещественных значений параметров {%} (fc=l, 2, q). Однако если, например, в модели (7.19) будет иметь место | у\ 1^1 > то текущее значение xt анализируемого ряда, согласно (7.20), будет зависеть от своих прошлых значений xt_\, xt_2, которые берутся с весами, бесконечно растущими по мере удаления в прошлое. Чтобы избежать подобной ситуации, неестественной с практической точки зрения, для МА(#)-моделей вводятся так называемые условия обратимости. Определим данные условия.

Любая модель AR(j?) (119 3ак. 7084

289

ях возможно и обратное представление, т.е. представление модели MA(q) (1<<7<оо) в виде модели авторегрессии бесконечного порядка AR(oo).

Получим данное представление для МА(1). Согласно (7.19) имеем:

?Ь = -/и + xt +у\Ъ-\=-Ц + х, +У\(-М + *м +Л nt-i) =

= -ju + xt +y\{-ju + *м + xt +у\(-м + х,_2 +...))) =

= -// (1 + у\ + Л2 +...) + xt + л *м + Л2 *г-2 + лЧ-3+ ».,

откуда может быть получено так называемое обращенное разложение:

00

*t=M 0 + Л + Л2 +.-) -5>V* + ' (7-2°)

к=\

Модель МА(1) называется обратимой, если в обращенном разложении (7.18) бесконечный ряд весов при хх.^ (к=\, 2, ...) сходится.

Условие обратимости для модели МА(1), очевидно, состоит в следующем: 1я |<1.

В этом случае (7.20) принимает вид AR(oo):

00

?*/ = Т^--(7.21)

В общем случае для модели MA(q) (1<д<оо) условие обратимости формулируется в терминах характеристического уравнения модели (7.21): все корни {^} характеристического уравнения

1-лг-^2-...-^ = 0 (7.22)

лежат вне единичного круга, т.е. \zi \ >1 для всех ?=1,2,

2) Вероятностные характеристики модели скользящего среднего.

Вероятностные характеристики случайного процесса, описываемого моделью MA(q) (q>\) вида (7.17), определяются соотношениями:

• математическое ожидание и дисперсия:

Е(х,) =7/, (Т,2=«,=(1+Й2+Й2+...+^2)^. (7.23)

• ковариационная функция для к>\ (в предположении, что Y0-1):

290

^=J^/Z^+y>ecjlM k<(? П24)

О, если к > q.

На основании (7.23), (7.24) вероятностные характеристики для случайного процесса МА(1) вида (7.19) определяются соотношениями:

• математическое ожидание и дисперсия xt соответственно равны:

мх=м, • ковариационная функция временного ряда {xt} для лага к>1:

f-Л^если * = 1 (у26)

[0, если к > 1;

• автокорреляционная функция (АКФ) временного ряда {xt} с учетом (7.25), (7.26) принимает вид:

Л - 9к -Рк~ ~--

^ если к = 1

0, если к > 1.

Таким образом, АКФ процесса MA(q) (q>\) принимает нулевые значения для лагов, больших порядка скользящего среднего, т.е. для k>q. Поэтому значения процесса {xt}, разделенные на более чем q периодов, являются независимыми. В случае модели МА(1) АКФ вида (7.13) равна нулю для всех к>\. Это свойство используется для определения порядка скользящего среднего q в модели МА(#). При этом вместо неизвестной истинной АКФ используется ее статистическая оценка - выборочная автокорреляционная функция: т

?(х, -x){xt_k -х) Рк--TZZf ' /с - i, z,

где х,а2 имеют вид (7.16).

Графическая иллюстрация модели МА(1) дана на рис. 7.3, 7.4. Реализации временных рядов получены с помощью статистического моделирования при следующих значениях характеристик модели: «о=0, XQ=0, {/^-н.о.р.с.в.

Nj(0, 25) (/=1, 2, 100). Модели различаются знаком параметра р\\ Д=0.7 (рис. 7.3), А= -0.7 (рис. 7.4).

291

7.1.3. Модель авторегрессии и скользящего среднего

Временной ряд {xt} описывается моделью авторегрессии и скользящего среднего порядков р и q (/?, q>\) соответственно (обозначается - ARMA (p,q))> если

(7.28)

хГа\Х,_ \-a2xt_2-.. .-CCpKt_p= OQ+ Г)Г7\ lt-\-Tl lt-2~' • --Yqm-q, /=1,2, ... или

a(L)xt=ao+y{L)rit. (7.29)

В соотношении (7.29) полагается

a(L)=(l -a\L -a2L2 -...-apD>), ALMl-nL-nL2 -...-rgW,

(7.30)

292

где {«/}(/=1, 2, /?), {ук} (fc=l, 2, #) - параметры модели;

х\-р9 х2-р, XQ9 щ-а, 7]2-д, /70- начальные условия.

Формальным обращением из (7.29) в предположении1, что а\+...+арф\ и у\+..Лу^\, получаем:

X'-f+tjni""- т-г^-Т <7-31>

a(L) 1 - (я, + ... + а )

либо

, , а(Ь) , а0

(7.32)

В частном случае, когда p=q=l, из (7.28) получаем представление для модели ARMA(1,1):

xt-a{xt_i =ао + rit-nm-u *=h 2, ... (7.33)

Условиями стационарности и обратимости модели ARMA(p, q) являются соответствующие условия для ассоциированных с ней моделей AR(p) и MA(q): все корни характеристического уравнения (7.7) лежат вне единичного круга (условие стационарности); все корни характеристического уравнения (7.22) лежат вне единичного круга (условие обратимости). Проиллюстрируем это на примере ARMA(1,1).

Получим представления ARMA(1,1) в виде МА(оо) и AR(oo) моделей. Учитывая в (7.31), что a(L)=l-a\L, y(L)=l-y\L, а также свойства оператора I, получаем МА(оо)-представление:

1 Г f со \

xt = —^— +-^-77,

1 - ах 1 - a{L 1 - ах

^Lk {\-yxL)nt =

U=o )

Аналогично на основании (7.32) можно получить AR(oo)-представление:

*/ = т^ + («1 -ri)f>*~V* -"7/. (7.35)

Для сходимости рядов в (7.34), (7.35) необходимо, чтобы выполнялись соответственно условия: |eq|модели ARMA(p, q).

293

Из (7.34) непосредственно следуют выражения для математического ожидания и дисперсии случайного процесса ARMA (1,1):

Мх - b(xt) ---, сгх- = Щ----5-1 - щ \-а{

Получим представление для автокорреляционной функции случайного процесса ARMA (1,1). Согласно (7.34) значения xt_\ не зависят от значений rjt+i (1>0), соответствующих будущим моментам времени, т.е. E(xt_\?]t+i)=0. С учетом этого и независимости {rjt} из (7.33) следует, что E(xtrjt)=an2, а автоковариационная функция допускает представление:

<Рк =а\(рк-\ - YiE(/7Mx,_*),

откуда следует:

<Р\ = ^l^o-Yi0";/2? если к=1,

Фк — а\Фк-и если к>2

и, следовательно, автокорреляционная функция определяется соотношениями:

Р\= ° " a]rj)(a] ~Г]\ Рк=ахРк^а^х Ри если к>2. (7.37) 1 + п ~ 2а]Г]

Таким образом, согласно (7.37) АКФ процесса ARMA (1,1) экспоненциально убывает при А;-»оо от некоторого начального значения р\ до нуля (рк-^0 при /:->оо): монотонно при а\>0, либо знакопеременно совершая колебания относительно нулевого значения при а\<0. Известно [1], что ЧАКФ процесса ARMA (1,1) ведет себя аналогичным образом, однако характер убывания определяется знаком параметра у\\ ЧАКФ убывает от некоторого начального значения монотонно при у\>0 и знакопеременно при л<0.

<< | >>
Источник: В.И. Малюгин. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа: Учеб. пособие. -М.: Дело, . - 320 . 2003

Еще по теме 7.1.2. Модели скользящего среднего:

  1. ГЛАВА 6 Модели, основанные на скользящих средних
  2. ВИДЫ МОДЕЛЕЙ С ВХОДОМ, ОСНОВАННЫМ НА СКОЛЬЗЯЩЕМ СРЕДНЕМ
  3. 7.1.4. Построение модели авторегрессии и скользящего среднего
  4. 4.3.2.2. Пересечение скользящих средних
  5. ЗАЧЕМ НУЖНЫ СКОЛЬЗЯЩИЕ СРЕДНИЕ
  6. Глава 25 Скользящие средние
  7. ЧТО ТАКОЕ СКОЛЬЗЯЩЕЕ СРЕДНЕЕ?
  8. ВИДЫ СКОЛЬЗЯЩИХ СРЕДНИХ
  9. Скользящие средние
  10. АНАЛИЗ СКОЛЬЗЯЩЕЙ СРЕДНЕЙ КАПИТАЛА
  11. Индикаторы. Скользящая средняя
  12. ХАРАКТЕРИСТИКИ ВХОДОВ, ОСНОВАННЫХ НА СКОЛЬЗЯЩИХ СРЕДНИХ
  13. 4.3.1. Индикаторы тенденций 4.3.1.1. Скользящие средние
  14. Простые и экспоненциальные скользящие средние
  15. 4.24. Множественные скользящие средние