7.1.2. Модели скользящего среднего
ъ=м + т-пт-\ -пт-г ---удъ-я, t=l9 2,...
(7.17)Учитывая, что y(L)=l -y{L -j^L2 -...-ygL^, получаем:
xt =м + (1 -nL -nL2 -...-пНОъ (7.18)
или
где ju, {%} (k=l, 2, q) - параметры модели (коэффициенты скользящего среднего); г/\.д, г/2-д, 770- начальные условия.
1) Модель МА(1) и ее свойства.
В частном случае, когда q=l, имеет место модель скользящего среднего первого порядка МА(1) вида:
xt=H+ т-пт-ь ^=1, 2,... (7.19)
Заметим, что в отличие от АЯ(р)-моделей для обеспечения стационарности МА(#)-моделей не требуется налагать каких-либо ограничений на параметры. Ряды вида (7.18) стационарны для любых вещественных значений параметров {%} (fc=l, 2, q). Однако если, например, в модели (7.19) будет иметь место | у\ 1^1 > то текущее значение xt анализируемого ряда, согласно (7.20), будет зависеть от своих прошлых значений xt_\, xt_2, которые берутся с весами, бесконечно растущими по мере удаления в прошлое. Чтобы избежать подобной ситуации, неестественной с практической точки зрения, для МА(#)-моделей вводятся так называемые условия обратимости. Определим данные условия.
Любая модель AR(j?) (1Коо) может быть представлена в виде модели скользящего среднего бесконечного порядка МА(оо). В частности, для модели AR(1) такое представление имеет вид (7.12). Оказывается, что при определенных услови
19 3ак. 7084
289
ях возможно и обратное представление, т.е. представление модели MA(q) (1<<7<оо) в виде модели авторегрессии бесконечного порядка AR(oo).
Получим данное представление для МА(1). Согласно (7.19) имеем:
?Ь = -/и + xt +у\Ъ-\=-Ц + х, +У\(-М + *м +Л nt-i) =
= -ju + xt +y\{-ju + *м + xt +у\(-м + х,_2 +...))) =
= -// (1 + у\ + Л2 +...) + xt + л *м + Л2 *г-2 + лЧ-3+ ».,
откуда может быть получено так называемое обращенное разложение:
00
*t=M 0 + Л + Л2 +.-) -5>V* + ' (7-2°)
к=\
Модель МА(1) называется обратимой, если в обращенном разложении (7.18) бесконечный ряд весов при хх.^ (к=\, 2, ...) сходится.
Условие обратимости для модели МА(1), очевидно, состоит в следующем: 1я |<1.
В этом случае (7.20) принимает вид AR(oo):00
?*/ = Т^--(7.21)
В общем случае для модели MA(q) (1<д<оо) условие обратимости формулируется в терминах характеристического уравнения модели (7.21): все корни {^} характеристического уравнения
1-лг-^2-...-^ = 0 (7.22)
лежат вне единичного круга, т.е. \zi \ >1 для всех ?=1,2,
2) Вероятностные характеристики модели скользящего среднего.
Вероятностные характеристики случайного процесса, описываемого моделью MA(q) (q>\) вида (7.17), определяются соотношениями:
• математическое ожидание и дисперсия:
Е(х,) =7/, (Т,2=«,=(1+Й2+Й2+...+^2)^. (7.23)
• ковариационная функция для к>\ (в предположении, что Y0-1):
290
^=J^/Z^+y>ecjlM k<(? П24)
О, если к > q.
На основании (7.23), (7.24) вероятностные характеристики для случайного процесса МА(1) вида (7.19) определяются соотношениями:
• математическое ожидание и дисперсия xt соответственно равны:
мх=м, • ковариационная функция временного ряда {xt} для лага к>1:
f-Л^если * = 1 (у26)
[0, если к > 1;
• автокорреляционная функция (АКФ) временного ряда {xt} с учетом (7.25), (7.26) принимает вид:
Л - 9к -Рк~ ~--
^ если к = 1
0, если к > 1.
Таким образом, АКФ процесса MA(q) (q>\) принимает нулевые значения для лагов, больших порядка скользящего среднего, т.е. для k>q. Поэтому значения процесса {xt}, разделенные на более чем q периодов, являются независимыми. В случае модели МА(1) АКФ вида (7.13) равна нулю для всех к>\. Это свойство используется для определения порядка скользящего среднего q в модели МА(#). При этом вместо неизвестной истинной АКФ используется ее статистическая оценка - выборочная автокорреляционная функция: т
?(х, -x){xt_k -х) Рк--TZZf ' /с - i, z,
где х,а2 имеют вид (7.16).
Графическая иллюстрация модели МА(1) дана на рис. 7.3, 7.4. Реализации временных рядов получены с помощью статистического моделирования при следующих значениях характеристик модели: «о=0, XQ=0, {/^-н.о.р.с.в.
Nj(0, 25) (/=1, 2, 100). Модели различаются знаком параметра р\\ Д=0.7 (рис. 7.3), А= -0.7 (рис. 7.4).291
7.1.3. Модель авторегрессии и скользящего среднего
Временной ряд {xt} описывается моделью авторегрессии и скользящего среднего порядков р и q (/?, q>\) соответственно (обозначается - ARMA (p,q))> если
(7.28)
хГа\Х,_ \-a2xt_2-.. .-CCpKt_p= OQ+ Г)Г7\ lt-\-Tl lt-2~' • --Yqm-q, /=1,2, ... или
a(L)xt=ao+y{L)rit. (7.29)
В соотношении (7.29) полагается
a(L)=(l -a\L -a2L2 -...-apD>), ALMl-nL-nL2 -...-rgW,
(7.30)
292
где {«/}(/=1, 2, /?), {ук} (fc=l, 2, #) - параметры модели;
х\-р9 х2-р, XQ9 щ-а, 7]2-д, /70- начальные условия.
Формальным обращением из (7.29) в предположении1, что а\+...+арф\ и у\+..Лу^\, получаем:
X'-f+tjni""- т-г^-Т <7-31>
a(L) 1 - (я, + ... + а )
либо
, , а(Ь) , а0
(7.32)
В частном случае, когда p=q=l, из (7.28) получаем представление для модели ARMA(1,1):
xt-a{xt_i =ао + rit-nm-u *=h 2, ... (7.33)
Условиями стационарности и обратимости модели ARMA(p, q) являются соответствующие условия для ассоциированных с ней моделей AR(p) и MA(q): все корни характеристического уравнения (7.7) лежат вне единичного круга (условие стационарности); все корни характеристического уравнения (7.22) лежат вне единичного круга (условие обратимости). Проиллюстрируем это на примере ARMA(1,1).
Получим представления ARMA(1,1) в виде МА(оо) и AR(oo) моделей. Учитывая в (7.31), что a(L)=l-a\L, y(L)=l-y\L, а также свойства оператора I, получаем МА(оо)-представление:
1 Г f со \
xt = —^— +-^-77,
1 - ах 1 - a{L 1 - ах
^Lk {\-yxL)nt =
U=o )
Аналогично на основании (7.32) можно получить AR(oo)-представление:
*/ = т^ + («1 -ri)f>*~V* -"7/. (7.35)
Для сходимости рядов в (7.34), (7.35) необходимо, чтобы выполнялись соответственно условия: |eq| 293
Из (7.34) непосредственно следуют выражения для математического ожидания и дисперсии случайного процесса ARMA (1,1):
Мх - b(xt) ---, сгх- = Щ----5-