7.1.1. Модель авторегрессии

xt=ao+ a\xt.\ + a2xt_2+...+ арХ;_р + rjt, t=\, 2, (7.3)

или

xra\XtA -a2xt_2 -...-ctpXt.p = OQ +ijt9

что с учетом свойств оператора L и обозначения (7.2) эквивалентно представлениям:

(1 -a\L -a2L2 -...-apLP)xt =ссо + r\t (7.4)

или

a(L)xf=ao + rjt.

Параметры модели {#/} (/=1, 2, р) называются коэффициентами авторегрессии, параметр OQ - свободным членом (часто полагается равным нулю).

Для полного описания модели AR(p) необходимо задание начальных значений временного ряда х\_р, х2_р, XQ. Проблема задания начальных значений особенно актуальна при использовании "коротких" временных рядов. Обычно их считают случайными величинами, не зависящими от последовательности значений {t]t} (/=1, 2, ...). В "эргодических" случаях, когда поведение {xt} при t-^oo не зависит от начальных значений, конкретный вид начальных значений не играет существенной роли, поэтому часто полагают: XI_P=X2_P=..=XQ=0. В дальнейшем для упрощения анализа будем предполагать, что начальные значения временного ряда принимают некоторые фиксированные значения.

Разностному уравнению (7.3) можно поставить в соответствие так называемое характеристическое уравнение вида:

AP-aiAP-l-...-ap_iZ-ap=0. (7.5)

Модель AR(p) описывает стационарный случайный процесс, если корни {Я/} (/=1, 2, р) уравнения (7.5) удовлетворяют условию:

Ц/| <1, /=1,2,..., р. (7.6)

284

Можно показать, что Xf=zi К где {zj} (/=1, 2, р) - корни характеристического уравнения в виде:

\-axz-a2Z2-...-apzP =0. (7.7)

Поэтому условие стационарности модели АЩр) вида (7.6) эквивалентно следующему: к/1>1 (/=1, 2, р), означающему, что все корни характеристического уравнения (7.7) лежат вне единичного круга1.

В предположении стационарности временного ряда {xt} вида (7.3) его вероятностные характеристики имеют вид (\• математическое ожидание: E(xt)=jux,

а0

где Мх = 1—т—--г;

• ковариационная функция для лага к:

9к = Co\(xhxt.k) =а{(рк-\ + а2(рк-2+~'+ар(рк-р\ (7-8)

• дисперсия:

ах2 - D(xt) = щ ==а{(р\+а2<р2+...+ар(рр+сг712.

Достаточно полное описание модели AR(p) можно найти в [1, 34]. Поэтому из-за ограниченности объема настоящего учебного пособия приведем более детальное исследование свойств частного случая модели AR(/?), когда р=\.

1) Модель авторегрессии первого порядка и ее характеристики.

Модель AR(1) упоминается в различных разделах данного пособия и является (наряду с моделью AR(2)) наиболее часто используемым на практике вариантом авторегрессионной модели. Из (7.3) следует, что модель AR(1) временного ряда {xt} имеет вид:

xt=ao + a\xt.\ + rjt (7.10)

или

(l-a\L)xt=ctQ+ 77/. (7.11)

Характеристическое уравнение (7.5) в рассматриваемом случае принимает вид Я-а[=0. Поэтому условие стационарно

285

сти (7.6) для модели AR(1) состоит в следующем: |aj|Модель AR(1) допускает представление в виде модели скользящего среднего бесконечного порядка МА(оо). Действительно, на основании свойств оператора L из (7.10) следует:

х,= (1 -a,L)-1(oo+ rid = (l + a]L+al2L2+...)(cc0 + т) =

= ao(l+ai + ai2+...) + (т+<*\т-\ +«i27/-2+-),

откуда в предположении, что модель AR(1) соответствует стационарному временному ряду (т.е. | а\ I <1), с учетом свойства суммы бесконечной геометрической прогрессии получаем представление в виде модели МА(оо):

00

*f = T^ + EaV/. (7.12)

Определим вероятностные характеристики временного ряда fx,}. Используя свойства "белого шума" {rjt}9 а также свойства математического ожидания и дисперсии, на основании (7.10), (7.12) получаем следующие соотношения:

• математическое ожидание и дисперсия xt имеют вид:

Л=Т^,РХ2-«)=75Ч- ; <7-13>

1 - «1 1 - а{

• автоковариационная функция временного ряда {xt} для к>\\

ст2ак

<Рк=^2= <*\а\\ (7.14)

• автокорреляционная функция (АКФ) временного ряда {xt} с учетом (7.13), (7.14) принимает вид:

РкЛ=ахК (7.15)

Из (7.15) следует вероятностная интерпретация параметра а\ как коэффициента парной корреляции между двумя соседними наблюдениями временного ряда: а\=р\. Согласно (7.13) если значение \а\\ близко к единице, то ах2 значительно больше а2, т.е.

286

В качестве примеров на рис. 7.1, 7.2 приведены графики стационарных временных рядов, описываемых моделью AR(1). Реализации временного ряда получены с помощью статистического моделирования при следующих значениях характеристик модели: ао=0, XQ=Q, {r/t} ~ н.о.р.с.в. Ni(0, 25) (/=1, 2, 100). Модели отличаются знаком параметра а\, который имеет смысл коэффициента парной корреляции между соседними наблюдениями временного ряда. Рассматриваются два случая: случай положительной автокорреляции при cq=0.6 (рис. 7.1) и случай отрицательной автокорреляции при а\= -0.6 (рис. 7.2).

20 ,-.

-15 '--1

1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100

Рис 7.1. Модель AR(1): положительная автокорреляция

15

-15

1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100

Рис. 7.2. Модель AR(1): отрицательная автокорреляция

2) Свойства АКФ и ЧАКФ случайного процесса AR(1).

Отметим свойства АКФ р^ вида (7.15) стационарного временного ряда {xt}, описываемого моделью AR(1):

1) если а\>0, то при А;->оо, причем автокорреляцион-

ная функция убывает монотонно (говорят, что имеет место "экспоненциальное затухание" автокорреляционной функции);

287

2) если «!<0, то рк также убывает до нуля при &->оо, однако при этом значения АКФ "осциллируют", совершая колебания относительно нулевого значения.

В обоих случаях АКФ "затухает" тем быстрее, чем меньше по модулю значение коэффициента авторегрессии щ. Таким образом, зависимость между значениями xt и хи^ стационарного временного ряда, описываемого моделью AR(1), убывает по мере увеличения временного периода (fc-w), разделяющего моменты наблюдения этих значений. Характер убывания зависит от знака коэффициента авторегрессии а\

Известно [1, 12, 34], что если модель AR(/?) (р>\) является адекватной моделью стационарного временного ряда {xt}, то частная автокорреляционная функция (ЧАКФ) принимает нулевые значения для лагов, больших порядка авторегрессии, т.е.

Как и следовало ожидать, характеристики jux и ах2 стационарного случайного процесса {xt} типа AR(1), определяемые по формулам (7.13), не зависят от времени /. Их статистические оценки в виде выборочного среднего значения х и выборочной дисперсии а2 по реализации временного ряда {xt} (/=1, 2, 7) определяются соотношениями:

Определим статистические оценки параметров а\ и а2 модели AR(1), предполагая для простоты, что ао=0. Для идентификации AR-моделей, т.е. для построения статистических оценок параметров моделей, могут использоваться различные методы: метод наименьших квадратов или метод моментов и метод максимального правдоподобия в случае гауссовского "белого шума" (т) [1, 12, 41, 43].

Статистическая оценка коэффициента авторегрессии а\ с учетом (7.16) может быть записана в виде:

(7.16)

т

?(*,-! -Х)(Х, -X)

щ =

288

Оценка дисперсии о,}, согласно (7.11), может быть вычислена по формуле

а2=(1-а2)а2.