<<
>>

6.4.1. Тестирование САРМ на основе модели многомерной линейной регрессии

Поскольку речь идет о проблеме эмпирической проверки адекватности САРМ по реальным статистическим данным, то необходимо конкретизировать ряд понятий: интервал наблюдения данных тр, доходность рыночного портфеля RMU без

269

рисковая ставка RQ, если используется стандартная САРМ; период времени rconst, в течение которого структура САРМ полагается неизменной, т.е.

параметры "альфа" и "бета" модели можно считать постоянными.

Обычно при проведении эмпирических исследований адекватности модели САРМ [37, 39, 45] делают следующие предположения.

1. Интервал наблюдения данных тр равен одному месяцу.

2. В качестве характеристики доходности рыночного портфеля R]tft используется некоторый фондовый индекс, характеризующий состояние анализируемого рынка (п. 1.3.2).

3. В качестве безрисковой ставки используются изменяющиеся во времени фондовые индексы RQ{ рынков краткосрочных долговых обязательств, например Nikkei Short-term Bond Index на японском фондовом рынке [45].

4. Период rconst, в течение которого структура модели САРМ полагается неизменной, равен пяти годам; при этом объем выборки в пределах одного предполагаемого периода постоянства параметров равен Т=\2'ТсоШ=60 (выбор данной характеристики определяется компромиссом между получением объема выборки Т, необходимого для оценивания неизвестных параметров, и требованием постоянства параметров модели).

Заметим, что САРМ с постоянными параметрами традиционно используется в приложениях, хотя, как показывают некоторые исследования [37, 39, 45], предположение о постоянстве параметров является слишком строгим и не всегда подтверждается на практике. Альтернативой в данном случае являются версии САРМ со случайными параметрами (random coefficient САРМ), т.е. модели САРМ с параметрами, изменяющимися во времени в соответствии с определенными вероятностными моделями [45].

Перейдем к описанию методов тестирования САРМ.

Предположим для определенности, что объектом исследования является стандартная модель САРМ (разд. 6.1) с постоянными параметрами.

1) Эконометрическое представление САРМ и оценивание параметров.

Согласно (6.11) модель САРМ для актива / (/=1, 2, N) допускает эконометрическое представление в виде модели простой линейной регрессии:

RIT-R0T = а,- + p?RMt - Rot) + t=l, 2, Т. (6.48)

270

Будем предполагать, что параметры модели (6.48)

остаются постоянными на анализируемом интервале времени *const и Для каждого момента (периода) времени / известно значение безрисковой ставки R$t. Чтобы упростить запись модели (6.48), сделаем замену переменных. Для периода / (/=1, 2, 7) обозначим:

yit= RirRQt- премия за риск актива /;

ZMt- R-Mt-Rot- премия за риск рыночного портфеля;

Я =E(yit) - ожидаемая премия за риск актива /;

/им =E(zMt) ~~ ожидаемая премия за риск рыночного порт-

tplf =Е(хмГ;им)2>0 - дисперсия премии за риск рыночного портфеля.

Тогда модель (6.48) может быть представлена в виде:

yit=<*i+fiZMt+Zit, /=1, 2, ...Л *=1, 2, Г, (6.49)

где tit ~ случайное отклонение фактической премии за риск актива от ожидаемой при заданном значении доходности рыночного портфеля.

Будем использовать векторы:

УГШеЯ", М=(мд**н, а=(а,)еЯ", /ИА)еЯ", tt=(tit)^N,

тогда система из N регрессионных уравнений (6.49) может быть записана в виде модели многомерной линейной регрессии с одним фактором:

где а и р - это векторы, образованные из коэффициентов "альфа" и "бета" активов, a tt - случайный вектор откло-

В п. 3.3.3 приводится описание общего случая модели многомерной линейной регрессии с произвольным числом К>\ факторов, в которой вместо вектора р используется (УУхА)-матрица коэффициентов регрессии В. При А=1 матрица В имеет размерность Nxl, т.е. является вектором, и для удобства записи в формуле (6.50) обозначается р.

Будем предполагать, что относительно векторов {Q (/=1,2, 7) выполняются традиционные предположения типа ?.1-?.3 из п.3.5.1, т.е.

феля;

yt=a+pZMt +6, *=1, 2, Т,

(6.50)

нений.

Е(6)=0ЕИ",

(6.51)

Е(??т)=5/Г% М*0, (/,г=1, 2, 7),

(6.52)

271

где 8,r - символ Кронекера, 4/=Cov(^,, ?,) - положительно определенная ковариационная матрица случайного вектора &

Cov(zM, 6)=0е*", (6.53)

ВД = NN(0, Ч»), (6.54)

т-е- {&} - это гауссовские случайные векторы, которые имеют нулевое среднее значение, являются взаимно некоррелированными и не коррелируют с используемым в модели фактором.

Поскольку случайные векторы имеют нормальное распределение, то из взаимной некоррелированности следует их взаимная независимость, т.е.

~ н.о.р.с.в. NN(0, ?), что влечет условную гауссовость и независимость случайных векторов {ут}\

{yt}~ н.о:р.с.в. NN(a +/fcM, У) (/ =1, 2, 7). (6.55)

Для нахождения статистических оценок параметров а, Д ? модели (6.50) могут использоваться различные методы, например метод наименьших квадратов (МНК) и метод максимального правдоподобия (ММП). При нахождении оценок параметров по методу наименьших квадратов предположение (6.54) не требуется, однако существенно используется при построении статистических тестов адекватности модели.

В данном разделе для нахождения оценок параметров модели (6.48) используется метод максимального правдоподобия, поэтому предположение (6.54) существенно используется при вычислении функции правдоподобия для параметров а, Д ? по выборке значений {yt ZMt) (^h 2, 7).

Функция правдоподобия для параметров а, Д ? имеет вид условной плотности совместного распределения случайных векторов {yt} при условии, что {z^} - некоторые известные значения фактора. На основании (6.55) условная плотность распределения случайного вектора yt является плотностью TV-мерного нормального распределения и имеет вид (п. 3.2.3):

AythMt) = {2K)-N/1 l^l-^expl-i^-^T.

В силу взаимной независимости {yt} их совместная условная плотность распределения определяется как произведение условных плотностей J[y\ z^t) (/=1, 2, 7). Поэтому с учетом (6.56) получаем, что соответствующая логарифмическая функ

272

функция правдоподобия относительно параметров а, Д ? имеет вид:

( Т ^

Ца, Д V) = log

Y\fbt\zMt)

ТУГ

log(2/r)-^log |*| (yra-frMtF^iyra-frMt).

Решая задачу максимизации

L(a, Д *F) => max,

находим оценки максимального правдоподобия (МП-оценки) для параметров а, Д ? [36]:

a=Ji-p ]йм, т

?(У/ -v\zMt ~Мм)

X "МмY /=1

1 ^

^ =-fTj^t-S-PZMt}^t-S-pZMtJ /=i

где

1 /=1 1 t=\

Оценка параметра срм имеет вид:

<Рм ^-^Yu^Mt-Мм)2 >°-

(6.57) (6.58)

(6.59) (6.60)

(6.61)

Известно [36], что математическое ожидание и ковариационная матрица случайного вектора а соответственно имеют вид:

Щ3) = а, (6.62)

1

?а = Cov( а, а) =

( ~2 ^ Фм

(6.63)

где рми фм вычисляются по формулам (6.60), (6.61).

18 3ак. 7084 273

Соотношения (6.62), (6.63) означают, что статистика а , определяемая по формуле (6.57), является несмещенной и состоятельной в среднеквадратическом смысле оценкой вектора альфа-коэффициентов в модели САРМ. Кроме того, случайный вектор а имеет условное нормальное распределение, т.е.

L(5) = Njv(a, Ze).

Оценка вектора бета-коэффициентов р , определяемая по

формуле (6.58), также имеет условное нормальное распределение вида:

п

h(P) = NN(p~

1

а случайная матрица T*F вида (6.59) - условное распределение Уишарта [2, 36] с ковариационной матрицей ? и числом степеней свободы, равным Т-2, т.е.

L(7V) = VfN(T-2, У).

2) Тесты адекватности САРМ.

Гипотеза об адекватности САРМ эквивалентна предположению о том, что рынок находится в состоянии равновесия, т.е. коэффициенты "альфа" активов равны нулю, и, следовательно, в терминах теории статистической проверки гипотез (гл. 3) данное предположение может быть сформулировано в виде:

Г#о : а = О (САРМ адекватна),

I л (6.64)

[#i: а * О (САРМ неадекватна).

Предположим, что коэффициенты регрессии {/?,} (/=1, 2, N) являются статистически значимыми и регрессионная модель (6.50) адекватна в статистическом смысле. Эти свойства модели устанавливаются с помощью статистических тестов значимости {/?,-} и анализа остатков {dit} (/=1, 2, N, /=], 2, 7) (см. п. 3.5.3, а также [1, 12]). Вектор остатков df=(djt)e9{N при этом определяется по формуле

dt = Ш= У/- У/ =У/-(*+Д*лД 2> т>

где , ^} — наблюдаемые, у,- прогнозные значения переменных.

Для принятия решения относительно гипотез #о, Н\ вида (6.64) может быть сформулирован следующий тест:

274

[не отклоняется, если \JT\ < a(S) гипотеза Щ \ ?' ?' / \ (6.65)

[отклоняется, если \JT\ > Ays),

где Jj — статистика критерия с условной функцией распределения FJT\HO(U), (меЖ1) при условии, что гипотеза #о верна;

^) = ^|я0(1-§) (6-66)

- критическое значение статистики (порог критерия), равное квантили распределения статистики Jj уровня 1-б/2, где Б - заданный уровень значимости критерия (0<гК0.5).

Укажем на некоторые возможные способы определения статистики Jj и соответствующие тесты проверки гипотез (6.64).

Тест Вальда [37]. Статистика критерия в тесте Вальда имеет вид:

или с учетом (6.63):

Jr= Т

JT = CXTI,C( la

Г ~2

1+м_

\

ат^ха . (6.67)

Известно, что статистика критерия Jj вида (6.67) при условии, что гипотеза Щ верна, имеет распределение хи-квадрат с TV степенями свободы, и, таким образом, в рассматриваемом случае порог критерия A(s) вида (6.66) - это квантиль уровня l-s/2 распределения хи-квадрат с TV степенями свободы.

Однако непосредственно воспользоваться критерием (6.65)-(6.67) не представляется возможным, поскольку неизвестна матрица 4/. Поэтому используется модификация критерия Вальда, в которой вместо неизвестного истинного значения данной матрицы используется ее состоятельная оценка, например МП-оценка Ф вида (6.59). В данном случае распределение статистики Jj при условии, что гипотеза Щ верна, асимптотически приближается к хи-квадрат распределению с TV степенями свободы при Г->оо.

Тест, использующий конечную выборку. Недостатком описанного выше теста является требование асимптотически большого объема выборки, что, как известно, сопряжено с

275

нарушением предположения о постоянстве параметров модели. В связи с этим одновременно несколькими авторами1 была предложена модификация теста Вальда, применимого в случае выборки ограниченного объема Г<оо. Данный тест основан на статистике вида [37]:

1 N

1 +

2\

(6.68)

Показано, что если верна гипотеза Щ, то статистика /у имеет F-распределение Фишера с N и Т-N-l степенями свободы.

<< | >>
Источник: В.И. Малюгин. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа: Учеб. пособие. -М.: Дело, . - 320 . 2003

Еще по теме 6.4.1. Тестирование САРМ на основе модели многомерной линейной регрессии:

  1. § 16.4. ПРЕДСКАЗАНИЯ И ПРОГНОЗЫ НА ОСНОВЕ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ
  2. § 16.7.2. Испытание гипотезы для оценки линейности связи на основе показателя наклона линейной регрессии
  3. § 16.1. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ
  4. § 16.5. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ МОДЕЛИ ПАРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ
  5. 2.4.2. Оценка точности прогноза на основе уравнения многофакторной линейной регрессии
  6. Глава 16 ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ
  7. 6.4.2. Двухэтапная процедура тестирования адекватности САРМ
  8. 2.4.1. Оценка параметров линейной регрессии с помощью метода наименьших квадратов
  9. Раздел 6. МНОГОМЕРНЫЕ ИНВЕСТИЦИОННЫЕ МОДЕЛИ
  10. Многомерные модели