5.3.3. Оптимизация структуры портфеля при возможности безрискового кредитования и заимствования

М.7. Существует безрисковая ставка RQ, ПО которой инвесторы могут кредитовать и заимствовать произвольную сумму денег.

Будем полагать, что инвесторы формируют свои портфели сроком на один период владения на множестве активов, включающем N рисковых ценных бумаг и один безрисковый актив, одновременно решая задачу оптимального распределения капитала между рисковыми ценными бумагами.

Прогнозные значения вектора ожидаемых доходностей активов и ковариационной матрицы доходностей активов для рассматриваемого периода равны: //=(///) и Е==Ет={а/,} (сг/рсг^О), причем матрица ? является положительно определенной.

228

Структура комбинированного портфеля инвестора задается величинами XQ, *Ь Х2, х^, которые удовлетворяют условию:

XQ + Х[ + Х2 +..

где ЛГ=(х1, Х2, хуу)т - вектор, определяющий структуру рисковой части портфеля, a XQ—X-X^I И l-xo^A^/ - соответственно доли безрисковых и рисковых вложений инвестора.

Поскольку доходность безрискового актива — величина фиксированная (неслучайная), то ее дисперсия, а также кова-риация с доходностями других активов равна нулю. Поэтому дисперсия доходности комбинированного портфеля активов обусловлена только присутствием в портфеле рисковых активов и определяется, как и ранее, по формуле

ар2 = Х*ЪХ. (5.36)

Если заданы значения безрисковой ставки RQ И ожидаемой (приемлемой для инвестора) доходности портфеля /ир, то структура оптимального в смысле подхода "доходность -риск" портфеля будет являться решением следующей задачи, известной как задача Тобина:

а) = ХТ?Х min, (5.37)

х

X^ju + (X-X^l)R0=MP. (5.38)

Данная задача, как и задача Марковица, допускает аналитическое решение с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа. Функционал Лагранжа при этом имеет вид:

Л(Х9Я) = Х^ЪХ + Я(Мр - Хтм -(1 - ХТ1) RQ), (5.39) где Я - неопределенный множитель Лагранжа.

Дифференцируя Л по X и приравнивая к нулю вектор производных, получаем:

2ЪХ-Я{/л -RQI) = 0, откуда с учетом (5.38) следует:

лг=0ц^)Е.1О/_ЛЬЛ) (540) gp

где

g2P = (M-Rol)Tz-l(M-Rol)- (5-41)

229

Оптимальному портфелю со структурой (5.40) соответствует минимальный риск, который с учетом (5.36) равен:

ар =(Х*12Г)1/2=(Мр-Яо)/8р,

откуда следует, что характеристика gp допускает представление:

gp = (Mp - Ro)/*p>0, (5.42)

т.е.

Hp-Ro = gpОтсюда следует, что, чем выше цена риска gp, тем больше ожидаемая премия за риск, т.е. тем выгоднее вложения в данный портфель.

Характеристика gj = (//0 известна как отношение Шарпа (Sharpe ratio), или индекс Шарпа, и используется для оценки привлекательности произвольного рискового актива или портфеля D с характеристиками JU^CT^ Очевидно, данная характеристика принимает максимальное значение для эффективных портфелей, т.е. gd