<<
>>

5.3.3. Оптимизация структуры портфеля при возможности безрискового кредитования и заимствования

Пусть наряду с модельными предположениями М.1-М.6 из п. 5.2.1 выполняется следующее условие:

М.7. Существует безрисковая ставка RQ, ПО которой инвесторы могут кредитовать и заимствовать произвольную сумму денег.

Будем полагать, что инвесторы формируют свои портфели сроком на один период владения на множестве активов, включающем N рисковых ценных бумаг и один безрисковый актив, одновременно решая задачу оптимального распределения капитала между рисковыми ценными бумагами.

Прогнозные значения вектора ожидаемых доходностей активов и ковариационной матрицы доходностей активов для рассматриваемого периода равны: //=(///) и Е==Ет={а/,} (сг/рсг^О), причем матрица ? является положительно определенной.

228

Структура комбинированного портфеля инвестора задается величинами XQ, *Ь Х2, х^, которые удовлетворяют условию:

XQ + Х[ + Х2 +..

+ Х]Ч = XQ + ^/=1,

где ЛГ=(х1, Х2, хуу)т - вектор, определяющий структуру рисковой части портфеля, a XQ—X-X^I И l-xo^A^/ - соответственно доли безрисковых и рисковых вложений инвестора.

Поскольку доходность безрискового актива — величина фиксированная (неслучайная), то ее дисперсия, а также кова-риация с доходностями других активов равна нулю. Поэтому дисперсия доходности комбинированного портфеля активов обусловлена только присутствием в портфеле рисковых активов и определяется, как и ранее, по формуле

ар2 = Х*ЪХ. (5.36)

Если заданы значения безрисковой ставки RQ И ожидаемой (приемлемой для инвестора) доходности портфеля /ир, то структура оптимального в смысле подхода "доходность -риск" портфеля будет являться решением следующей задачи, известной как задача Тобина:

а) = ХТ?Х min, (5.37)

х

X^ju + (X-X^l)R0=MP. (5.38)

Данная задача, как и задача Марковица, допускает аналитическое решение с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа. Функционал Лагранжа при этом имеет вид:

Л(Х9Я) = Х^ЪХ + Я(Мр - Хтм -(1 - ХТ1) RQ), (5.39) где Я - неопределенный множитель Лагранжа.

Дифференцируя Л по X и приравнивая к нулю вектор производных, получаем:

2ЪХ-Я{/л -RQI) = 0, откуда с учетом (5.38) следует:

лг=0ц^)Е.1О/_ЛЬЛ) (540) gp

где

g2P = (M-Rol)Tz-l(M-Rol)- (5-41)

229

Оптимальному портфелю со структурой (5.40) соответствует минимальный риск, который с учетом (5.36) равен:

ар =(Х*12Г)1/2=(Мр-Яо)/8р,

откуда следует, что характеристика gp допускает представление:

gp = (Mp - Ro)/*p>0, (5.42)

т.е.

равна величине ожидаемой дополнительной доходности (премии за риск), приходящейся на единицу риска, и может интерпретироваться как цена единицы риска на рассматриваемом множестве (рынке) рисковых ценных бумаг. Представим (5.42) в виде:

Hp-Ro = gpОтсюда следует, что, чем выше цена риска gp, тем больше ожидаемая премия за риск, т.е. тем выгоднее вложения в данный портфель.

Характеристика gj = (//0 известна как отношение Шарпа (Sharpe ratio), или индекс Шарпа, и используется для оценки привлекательности произвольного рискового актива или портфеля D с характеристиками JU^CT^ Очевидно, данная характеристика принимает максимальное значение для эффективных портфелей, т.е. gd

<< | >>
Источник: В.И. Малюгин. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа: Учеб. пособие. -М.: Дело, . - 320 . 2003

Еще по теме 5.3.3. Оптимизация структуры портфеля при возможности безрискового кредитования и заимствования:

  1. 5.3. ФОРМИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЕЙ АКТИВОВ ПРИ ВОЗМОЖНОСТИ БЕЗРИСКОВОГО КРЕДИТОВАНИЯ И ЗАИМСТВОВАНИЯ
  2. 4.5. Определение удельных весов активов в рыночном портфеле при возможности заимствования и кредитования с помощью программы Excel
  3. 6.2.3. Учет различия безрисковых ставок кредитования и заимствования
  4. 4.4. Определение рыночного портфеля при возможности заимствования и кредитования11
  5. 1.1.3. Ожидаемая доходность портфеля при возможности заимствования средств
  6. Приложение 5. Вывод уравнения линии эффективной границы при возможности заимствования и кредитования
  7. П4.3. Оптимизация соотношения между рисковыми и безрисковыми ценными бумагами в портфеле ценных бумаг
  8. 4.6. Определение оптимального портфеля при возможности формирования заемных и кредитных портфелей
  9. 1.1.2. Ожидаемая доходность портфеля при невозможности заимствования средств или осуществления коротких продаж
  10. 2 Оптимизация фондового портфеля при инвестировании в ПАЕВЫЙ ИНВЕСТИЦИОННЫЙ ФОНДы
  11. 5.2. ОПТИМИЗАЦИЯ СТРУКТУРЫ ПОРТФЕЛЯ РИСКОВЫХ ЦЕННЫХ БУМАГ
  12. 5.2.2. Решение задачи оптимизации структуры портфеля
  13. 1.1.4. Ожидаемая доходность портфеля при возможности коротких продаж
  14. 2.3 Внутренний показатель устойчивости как критерий оптимизации структуры инвестиционного портфеля
  15. 6.2.2. Модель САРМ по версии Блэка при отсутствии безрискового актива
  16. 6-5. Пределы международных заимствований и кредитования
  17.               Оптимальный портфель, составленный из безрисковых активов и рискованных активов
  18.               Портфель из совокупности безрискового актива с рискованным активом
  19. Раздел 16. ОПТИМИЗАЦИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ