<<
>>

5.1.2.4. Хеджирование портфеля облигаций с помощью показателей дюрации и кривизны

Хеджирование с помощью показателя дюрации страхует позицию инвестора только от небольших изменений процентной ставки. При значительных изменениях конъюнктуры необходимо наряду с дюрацией использовать и показатель кривизны15.
Для этого формируют хеджирующий портфель, в который входит первоначальный портфель инвестора и, по крайней мере, два хеджирующих актива. Обозначим стоимость, модифицированную дюрацию и кривизну первоначального портфеля через Р0, Dm0 и conv0, а стоимости, модифицированные дюрации и кривизну хеджирующих активов соответственно через Рх и Р2, DmX и Dm2 и convx и conv2. Актив инвестора будет иммунизирован от изменения процентной ставки, если в результате ее изменения стоимость хеджирующего портфеля останется неизменной. Поэтому можно записать:

dPp = dP0 + hxdPx + h2dP2 = 0, (5.22)

где dPp - изменение стоимости хеджирующего портфеля;

hx - количество первой облигации в хеджирующем портфеле; h2 - количество второй облигации в хеджирующем портфеле.

15 Характеристику показателя кривизны см. в А.Н.Буренин "Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов", М., Научно-техническое общество им. акад. С.И.Вавилова, 2002, глава 5.1.5.

214

Глава 5. Стратегии в управлении портфелем

Представим изменения стоимости портфеля инвестора и хеджирующих облигаций с помощью показателей дюрации и кривизны16:

dPx = -DmXPxdrx + ±ConvxPx{drx)\

dP2 = -Dm2P2dr2 + conv2P2 (dr2 )2 Подставим данные формулы в формулу (5.22):

" Аио^сА +1conv0P0(dr0 f - hxDmXPxdrx +hx^convxPx(drx)2 -

1 / 42 (5.23)

- h2Dm2P2dr2 + h2 — conv2P2 [dr2) = 0

На основе равенства (5.23) составим два равенства, объединив в первое слагаемые, содержащие показатели дюрации, а во второе - показатели кривизны:

- Dm0P0dr0 - hxDmXPxdrx - h2Dm2P2dr2 = 0 , (5.24)

?^conv0P0(dr0)2 +\\^convxPx{dr^f + h2-^conv2P2(dr2)2 =0 (5.25)

Допустим, что при изменении процентных ставок кривые доходности смещаются параллельно, т.е.

dr0 = drx = dr2. Тогда равенства (5.24) и (5.25) можно переписать как:

\hxDmXPx + h2Dm2P2 = -Dm0P0 (5

[hxconvxPx + h2conv2P2 = -conv0P0

Стоимость хеджирующего портфеля зависит от уд. весов хеджирующих облигаций, которые определяем из системы (5.26).

Пример 1.

В портфель входят сто облигаций номиналом 1000 руб., купоны выплачиваются один раз в год. До погашения облигаций 8 лет, купон 12%, доходность до погашения 11%, цена 1051,46 руб., модифицированная дюрация 5,07, кривизна 39,05.

Инвестор хеджирует портфель с помощью двух облигаций номиналом 1000 руб. До погашения первой бумаги 4 года, купон 10%, доходность до погашения 10%, цена 1000 руб., модифицированная дюрация 3,17, кривизна 13,72. Вторая облигация погашается через 10 лет, купон 14%, доходность до погашения 12%, цена 1113,0 руб., модифицированная дюрация 5,49, кривизна 44,26. Предполагается, что

16 Вывод данной формулы см. в А.Н.Буренин "Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов", М., Научно-техническое общество им. акад. С.И.Вави-лова, 2002, глава 5.1.5.

215

Глава 5. Стратегии в управлении портфелем

кривая доходности будет смещаться параллельно. Необходимо определить количество хеджирующих облигаций в хеджирующем портфеле. Решение.

Подставим данные задачи в систему уравнений (5.26):

Г 3,17-1000^+5,49-1113*2 =-5,07-105146 [13,72 • 1000/*, + 44,26 • 1113*2 = -3 9,05 • 105146

или

Г 3170*, +6110,37Л2 =-533090,22

[13720*, +49261,38*2 =-4105951,3

Систему уравнений (5.27) удобно решить в матричной форме. В матричной форме систему можно записать как:

Ah = B

Ее решение имеет вид;

* = А~1В ,

где А~] обратная матрица к матрице А. В нашем примере:

(5.27)

(5.28)

А =

3170 6110,37

В =

•533090,22 -4105951,3

h =

yh2

13720 49261,38 Поэтому уравнение (5.28) можно представить как;

' / _ (- 533090,22

ч13720 49261,381 Соответственно его решение равно:17

(К\ Г 3170 6110,37 YY- 533090,22^1 ("-16,2031Л 13720 49261,38

-4105951,3

\k2j

-4105951,3

-78,8375

Полученный ответ говорит о том, что для формирования хеджирующего портфеля следует продать первую и вторую облигации в количествах соответственно 16,2031 и 78,8375 штук.

Поскольку нельзя дробить облигации, то надо продать 16 первых облигаций и 79 вторых облигаций. Стоимость хеджирующих облигаций в портфеле инвестора в сумме составит:

1000руб. ? 16 +1113 руб. ? 79 = 103927руб.

Допустим, что в примере 1 инвестор хотел бы, чтобы сумма стоимости хеджирующих облигаций в портфеле равнялась стоимости первоначального

Решение системы линейных уравнений в матричной форме с помощью программы Excel приводится в приложении 1 к настоящей главе.

216

Глава 5. Стратегии в управлении портфелем

портфеля. Тогда необходимо использовать еще одну облигацию, и решить следующую систему уравнений:

\DmA +h2Dm2P2+h,Dm,P, =-Dm0P0 hxconvxPx +h2conv2P2 +h3conv3P3 =-conv0P0

где P3 - цена третьей облигации;

Dm3 - модифицированная дюрация третьей облигации; conv3 - кривизна третьей облигации;

h3 - количество третьей облигации в хеджирующем портфеле.

(5.29)

Пример 2.

В портфель входят сто облигаций номиналом 1000 руб., купоны выплачиваются один раз в год. До погашения облигаций 8 лет, купон 12%, доходность до погашения 11%, цена 1051,46 руб., модифицированная дюрация 5,07, кривизна 39,05.

Инвестор хеджирует портфель с помощью трех облигаций номиналом 1000 руб. До погашения первой бумаги 4 года, купон 10%, доходность до погашения 10%, цена 1000 руб., модифицированная дюрация 3,17, кривизна 13,72. До погашения второй бумаги 5 лет, купон 10%, доходность до погашения 10,2%, цена 992,46 руб., модифицированная дюрация 3,78, кривизна 19,28. Третья облигация погашается через 10 лет, купон 14%, доходность до погашения 12%, цена 1113,0 руб., модифицированная дюрация 5,49, кривизна 44,26. Предполагается, что кривая доходности будет смещаться параллельно. Необходимо определить количество хеджирующих облигаций, если стоимость хеджирующего портфеля должна остаться равной стоимости портфеля инвестора.

Решение.

Подставим данные задачи в систему уравнений (5.29):

' 1 000*, + 992,46*2 +111 З^з = -105 Г46

- 3,17-1 000*, + 3,78• 992,46*2 + 5,49-1113^= -5,07-105146 13,72.1000^ +19,28-992,46*2 +44,26 11Щ =-39,05-105146

или

'1000Й, + 992,46*2 +1113*3 =-105146

3170/*! +3751,5*2+6110,37*3 =-533090,22 13720/^ +19134,63*2 +49261,38*3 =-4105951,3 Решим систему уравнений (5.30) в матричной форме:

(5.30)

^ 1000 992,46 1113 3170 3751,5 6110,37 13720 19134,63 49261,38

*2

-105146 ^ -533090,22 -4105951,3

217

Глава 5. Стратегии в управлении портфелем

или '1000 992,46 1113 " -i f -105146 > '-29,038" к - = 3170 3751,5 6110,37 -533090,22 - 13,674 v13720 1913463 49261,38, v-410595l3y v-80,574y Полученный ответ говорит о том, что для формирования хеджирующего портфеля следует продать первую и третью облигации в количестве соответственно 29,038 и 80,574 штук и купить 13,674 штук второй облигации. Поскольку нельзя дробить облигации, то надо продать 29 первых облигаций и 81 третью облигацию и купить 14 вторых облигаций.

<< | >>
Источник: А.Н. Буренин. Управление портфелем ценных бумаг. 2-е издание, исправленное и дополненное. Научно-техническое общество имени академика СИ. Вавилова . 2008

Еще по теме 5.1.2.4. Хеджирование портфеля облигаций с помощью показателей дюрации и кривизны:

  1. 5.1.2.3. Хеджирование портфеля облигаций с помощью показателя дюрации
  2. 5.1.1.5. Определение дюрации Маколея и модифицированной дюрации облигации с помощью программы Excel
  3. ХЕДЖИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ОБЛИГАЦИЙ
  4. УПРАВЛЕНИЕ ПОРТФЕЛЕМ ОБЛИГАЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ФЬЮЧЕРСНОГО КОНТРАКТА
  5. 5.1. Волатильность и дюрация облигаций
  6. 8.1. Волатильность и дюрация облигаций
  7. 5.2.1.3. Оценка величины не хеджируемого риска портфеля. Определение коэффициента детерминации портфеля с помощью программы Excel
  8. ХЕДЖИРОВАНИЕ ФЬЮЧЕРСНЫМ КОНТРАКТОМ НА ОБЛИГАЦИЮ
  9. ХЕДЖИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ опционов
  10. Глава 42 ХЕДЖИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ опционов
  11. > Хеджирование при помощи LME фьючерсов.
  12. ХЕДЖИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ВНЕБИРЖЕВЫХ ОПЦИОНОВ
  13.              Хеджирование валютного риска с помощью свопа
  14. ХЕДЖИРОВАНИЕ МЕЖДУ ОБЛИГАЦИЯМИ И АКЦИЯМИ
  15. ИММУНИЗАЦИЯ ПОРТФЕЛЯ ОБЛИГАЦИЙ
  16. 5.2.1. Хеджирование портфеля ценных бумаг, стоимость которого выражена в долларах США
  17. ХЕДЖИРОВАНИЕ ОТКРЫТЫХ ПОЗИЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ОПЦИОНОВ CALL И PUT
  18. 5.1. Хеджирование портфеля акций, на которые торгуются отдельные фьючерсные контракты