<<
>>

4.4.1. Случай постоянной ожидаемой доходности

Пусть {Pt} и {Rt} (f=l, 2, ...) - временные ряды цен (рыночных курсов) и доходностей акций или облигаций в последовательные моменты (периоды) времени. Имеется информация вида F2={3,}, где 3, - значения цен (доходностей) ценных бумаг, а также платежей по ним до момента t включительно.
Рассмотрим задачу анализа активов, когда их ожидаемая до

190

ходность постоянна в течение срока обращения, а рынок является эффективным.

Итак, будем считать, что цены активов {Pt} удовлетворяют следующим предположениям:

• справедлива гипотеза о рациональных ожиданиях, т.е.

Лн = ЕХЛ+i) + ?+1 ; (4.53)

• относительно ошибок прогноза {?} выполняются условие ортогональности, т.е. ?+i не зависит от Зь и условие равенства нулю условного математического ожидания:

Е(?+1|з,) = 0. (4.54)

Пусть также ожидаемая доходность ценной бумаги Et(Rt+\) на основе информации F2={3r} постоянна во времени:

Е,(ЯЖ) = ВД+11 Rh /?м, ...) = R >0, V/. (4.55)

Ставку R можно также интерпретировать как ставку доходности вложений с сопоставимой степенью риска. Целью данного пункта является получение в предположениях (4.53) - (4.55) представлений для текущих цен акций и облигаций, а также анализ чувствительности цен к изменениям ожидаемой доходности.

1) Анализ цены акции.

Известно (см. разд. 3.1), что доходность акции за период владения Н-1 (т.е. период между моментами времени t и Н-1) определяется ставками Rt+\ или l+Rt+\ вида:

R,+] 7»--и

1 = P,+i рА+1 • (4.56)

Простые ставки Rt+\ и \+Rf+\ определяют так называемую чистую (net return) и валовую (gross return) доходность актива. Заметим, что значение текущей рыночной цены акции Pt содержится в информации 3/? т.е. не является случайной величиной. Значения цены Pt+\ и дивидендов Dt+[ в будущий период точно неизвестны и рассматриваются как случайные величины.

Вычислим условное математическое ожидание Ег(-)= =Е(-13/) от обеих частей (4.56) и запишем найденное соотношение как уравнение относительно текущей рыночной цены

191

акции Pt.

В итоге получим, что в предположении рациональных ожиданий инвесторов, определяемых условиями (4.53) -(4.54), с учетом (4.55) цена акции в момент времени t определяется выражением:

1 + R

Р,

(4.57)

Согласно (4.57), текущая стоимость акции должна равняться ожидаемому на основании информации, доступной в момент /, значению платежа по акции в будущем периоде, дисконтированному по ставке R.

Учитывая в (4.57) представления для цен акции в будущие моменты t+k

р = Щ+к(Ъ+к+\ + A+*+i) ,?=1,2, К, t+k 1 + R

получим:

(

/}=Е,

Е

V V

7+2

...Е rt+K

't+k

к=\

а

't+k

(] + Rf

(4.58)

(4.59)

Для преобразования формулы (4.59) используем "телескопическое" свойство СЕ.5 условного математического ожидания из п. 4.2.2:

EXEH.I(E/+A(A))) = ЕАХ). С учетом (4.60) из (4.59) следует:

(4.60)

( р Л (1+R)K

+ Е,

г к п л

=/>ДА) +(4.61)

+

где PtA{K), PtB(K) " ожидаемые в периоде / стоимость акции в конце периода владения К и дивидендов за К будущих периодов соответственно.

Если учесть, что акция имеет неограниченный срок обращения, т.е. А^оо, то в (4.61) можно положить, что РДЛ^-^О при А^оо и, следовательно:

Pt=Et

А+А

= ]Г?'^+^!/, (4.62)

т.е. при условии рациональных ожидании инвесторов рыночная цена акции Pt совпадает с ее текущей "фундаментальной"

192

стоимостью (fundamental value) Vh определяемой как сумма всех ожидаемых по акции дивидендов, дисконтированных по ставке, равной ставке ожидаемой доходности акции.

Таким образом, в условиях эффективного рынка рыночные курсы акций Pt достигают равновесных значений на уровне их "фундаментальной" стоимости Vu а внутренняя доходность акций (IRR) при этом соответствует ожидаемой инвесторами доходности R для активов с сопоставимым риском.

Делая различные предположения относительно модели изменения дивидендов в будущем, можно получить различные частные случаи общей формулы (4.62).

Рассмотрим описанные в разд.

2.6 модели изменения дивидендов:

1) модель нулевого роста дивидендов

ЕХА+,) = А, '=1,2, (4.63)

2) модель постоянного роста дивидендов с темпом прироста 0Et(Df+k) = (l+?)E,(iWi) = 0к = 1, 2, ... (4.64)

Аналогично разд. 2.6 на основании (4.62) в случае (4.63) получаем:

р yE,(Aj D, ff 1 )к А

а в случае (4.64) имеем:

р = (1 + g)D, f (U_g_)k _ (l + g)A . (4.65)

1 + Л fo{l + R) {R-g)

Таким образом, описанные ранее, в разд. 2.6, модели нулевого и постоянного роста дивидендов получили строгое обоснование в рамках теории эффективного рынка.

Исследуем чувствительность рыночной цены акции Рь определяемой (4.65), к изменениям ожидаемой доходности акции (или доходности альтернативных вложений с сопоставимой степенью риска) R. Для этой цели определим соответствующий коэффициент эластичности Я:

d(Iog(Pt)) _dPt R _ R

d(log(R)) dR Pt R-g' ^'DD;

Из (4.66) следует, что поскольку коэффициент эластичности Я имеет отрицательный знак, то цена акции (имеется в ви

13 3ак. 7084

193

ду цена покупки) и ожидаемая доходность акции связаны обратной зависимостью. Кроме того, чувствительность цены акции к изменениям ожидаемой доходности акции R усиливается по мере того, как ожидаемая доходность R уменьшается и приближается к темпу прироста дивидендов g. Л->оо при R-^g.

Для практических расчетов при оценке относительного изменения цены акции (по отношению к начальной равновесной стоимости PQ) в случае малых ожидаемых абсолютных изменений доходности акции AR (до 1%) за анализируемый период с учетом (4.66) можно использовать следующую приближенную формулу:

ЛР AR_ R AR_ AR -P-~X-R--R~rg^--Y^g- (46?)

С учетом предыдущего замечания из (4.67) следует, что если R-+g, то даже незначительные колебания ожидаемой доходности акции (доходности альтернативных вложений) могут вызывать высокую изменчивость (волатильность) цен акций.

2) Анализ облигаций.

Исследуем, чему должна равняться рыночная стоимость купонной облигации в предположении рациональных ожиданий в некотором периоде / за Т (Т >1) периодов до погашения облигации.

Для простоты предположим, что ставка ожидаемой доходности облигации за один период владения (или ставка доходности альтернативных вложений с сопоставимой степенью риска) остается постоянной и равна R.

Ожидаемый в момент времени t поток платежей {С,+г} (г=1, 2, 7) включает купонный доход {Qt+T} для всех оставшихся периодов владения и финальную выплату F в последнем периоде t+T в виде номинальной стоимости облигации, т.е. определяется соотношениями:

Jq)+t, т = \,г,...,т-\

QuT + F,r = T.

Доходность облигации в периоде определяемая ставкой 1+/?,+ ь будет равна:

] + R=Pul^L. (4.68)

В предположениях (4.53) - (4.56) на основании (4.68) аналогично предыдущему случаю получаем представление для Pt\

194

и, учитывая, что ЕХЛ+г^Л+Г^, в итоге получаем:

т

у ЕД(?^ + s к (4.69)

fj(\ + R)T (\+R)T

т.е. при сделанных предположениях рыночная цена облигации должна совпадать с ее текущей "фундаментальной" стоимостью. Это говорит о том, что соответствующие формулы из разд. 2.6 справедливы в условиях эффективного финансового рынка (в предположении, что текущий период является нулевым, т.е. /=0).

Исследуем чувствительность цены Pt купонной облигации за Т периодов до погашения к изменению ожидаемой "валовой" доходности 1+/?. Для этого найдем соответствующий коэффициент эластичности, используя представление для Pt вида (4.68):

, rf(log(/>)) _dPt \ + R_

(4.70)

d(\o&\ + R)) dR Pt

= ? E,(C,+r) l + R _ ^ E,(C/+r) = ?

? (i+^r1 /; ^ />,а + Л)г ?

где принято обозначение:

E,(C,+r) >Q yw , (47])

Коэффициент эластичности Я имеет отрицательный знак, поэтому цена облигации (имеется в виду цена покупки) и ожидаемая доходность облигации связаны обратной зависимостью.

Характеристика определяемая по формуле

<4 72)

известна как дюрация {дюрация Маколи) облигации (Macaulay's duration), до погашения которой осталось Г периодов.

Дюрация облигации, согласно (4.72), может интерпретироваться как средневзвешенный срок платежей по облигации. Ве

195

совой коэффициент wr, соответствующий сроку платежа т (г=1, 2, 7), представляет собой долю, которую составляет текущая стоимость платежа в периоде т от текущей стоимости облигации PT при условии, что дисконтирование производится по ставке R. Дюрация DM характеризует величину относительного изменения цены облигации, приходящуюся на единицу относительного изменения ожидаемой "валовой" доходности 1+/? облигации.

Дюрация бескупонной облигации, очевидно, равняется сроку до погашения облигации. Действительно, если Е,(С,+г)=0 (г=1, 2, 74) и E,(C,+7)=F, то w=0 (г=1, 2, ТА) и м>7 = 1, а значит, DM==T ДЛЯ купонной облигации дюрация меньше величины срока до погашения (DMВ практических расчетах при малых абсолютных изменениях ожидаемой доходности облигации AR (до 1%) за анализируемый период времени для оценки соответствующего относительного изменения цены облигации AP/PT может использоваться приближенная формула, основанная на соотношении (4.72):

^-"-DM-^ = -Dmo^R, (4.73)

где Dmoij - модифицированная дюрация (modified duration), определяемая по формуле

_ dP, 1 _ DM Dmod=-lRT,-^R- (4?4)

Зависимость цены облигации от ожидаемой доходности имеет нелинейный вид, поэтому более точная аппроксимация относительного изменения цены облигации может быть получена на основе формулы Тейлора, включающей члены более высоких порядков относительно изменения ожидаемой доходности облигации AR, например член второго порядка:

(4.75)

Р, dR Pt 2 dR2 Р,

= -DmodAR + ±CONV(AR)2,

где CONV - характеристика нелинейности (выпуклости) кривой зависимости цены облигации от ожидаемой доходности, обычно называемая "выпуклостью" облигации (convex

196

ity of a bond). С учетом (4.71), (4.72), (4.74), (4.75) CONV вычисляется по формуле

CONV^ f^.-i- = yr(r-l)wr . dR2 Pt Д

Выпуклость CONV может служить оценкой точности прогноза вида (4.73) относительного изменения цены облигации на основе модифицированной дюрации Dmoj.

<< | >>
Источник: В.И. Малюгин. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа: Учеб. пособие. -М.: Дело, . - 320 . 2003

Еще по теме 4.4.1. Случай постоянной ожидаемой доходности:

  1. Ожидаемая доходность и стандартное отклонение доходности для инвестиционного портфеля, сформированного из более чем двух ценных бумаг
  2. 1.1.1. Ожидаемая доходность актива
  3. 1.1. Ожидаемая доходность портфеля
  4. ОЖИДАЕМАЯ ДОХОДНОСТЬ И РИСК ПОРТФЕЛЯ
  5. Приложение 1. Вывод формулы ожидаемой доходности портфеля
  6. 9.3. Ожидаемые потери портфеля в случае превышения значения VaR
  7. Глава 26 ОЖИДАЕМАЯ ДОХОДНОСТЬ И РИСК ПОРТФЕЛЯ
  8. ГЛАВА 1. ОЖИДАЕМАЯ ДОХОДНОСТЬ И РИСК ПОРТФЕЛЯ
  9. з Анализ доходности, ожидаемой собственниками фирмы
  10. 1.1.4. Ожидаемая доходность портфеля при возможности коротких продаж
  11. 1.1.3. Ожидаемая доходность портфеля при возможности заимствования средств
  12. з Анализ доходности, ожидаемой собственниками фирмы ЗАДАЧИ
  13. 1.1.5. Ожидаемая доходность портфеля при использовании только заемных средств
  14. Ожидаемая доходность заемногорапитала. Расчетімаржи долговыхрбязательств
  15. Пример расчета риска и ожидаемой ДОХОДНОСТИ портфеля из двух ценных бумаг
  16. 1.1.2. Ожидаемая доходность портфеля при невозможности заимствования средств или осуществления коротких продаж
  17. 1.1.6. Использование программы Excel для расчета ожидаемой доходности портфеля
  18. з Анализ доходности, ожидаемой собственниками фирмы ЦЕЛЬ, КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ ТЕМЫ
  19. 3.5 Проблемы анализа доходности, ожидаемой собственниками компаний на развивающихся рынках капитала