<<
>>

3.6.2. Стационарный временной ряд и его характеристики

Временной ряд x^x(f) (/=1, 2, 7) называется строго стационарным или стационарным в узком смысле (strictly stationary), если совместное распределение вероятностей его значений для любого подмножества моментов времени

*ъ *т остается неизменным.

Другими словами, распределение вероятностей т значений x(t\), x(t2), x{tm) временного ряда является таким же, как и распределение вероятностей т других его значений x(t\+k), x(t2+k), x(tm+k), сдвинутых во времени на величину (лаг) к для любых т, t\, t2, tm и /с, т.е.

свойства строго стационарного временного ряда не зависят от начала отсчета времени.

В частности, при т=1 из предположения о строгой стационарности временного ряда следует, что частное (марги

152

нальное) распределение случайной величины xt не зависит от времени /, а значит, не зависят от / и все его основные числовые характеристики. Так, если математические ожидания xt существуют, т.е. Е( )<оо, то математические ожидания и дисперсии xf постоянны:

Е(х,) =/ь D(xt) = ^,/=1,2, Т. (3.66)

Значение /лх определяет некоторый постоянный уровень, относительно которого совершают случайные колебания значения анализируемого временного ряда {xt}, а постоянная величина ах характеризует амплитуду этих колебаний. При анализе финансовых временных рядов величина ох обычно служит мерой риска, связанного с неопределенностью относительно значений ряда, и называется волатильностъю.

Если //7=2, то строгая стационарность случайного процесса означает, что совместные двухмерные распределения для пар случайных величин М*0, x{t2)), МО), x(t2-t\)), (х(к), x(t2-t\+k)) совпадают при любых t\, t2, к и зависят только от разности t2-t\.

Соответственно ковариация Cov(x,, xt^) (или Cov(x,, xt+k)) между значениями х{ и зависит только от "сдвига по

времени", т.е. лага к, и не зависит от времени /:

Cov(x,, *,_*) = Е((хгМх)(х{.к-мх))ш(рь f = l, 2, Т.

(3.67)

Поскольку речь идет о ковариации значений одного и того же временного ряда, то вместо термина "ковариация" используется термин "автоковариация". Автоковариация рассматриваемая как функция от значений лага к, называется автоковариационной функцией.

Очевидно, значение автоковариационной функции для лага, равного нулю (А/=0), представляет собой дисперсию временного ряда:

<ро = 4(*rHx)2) = D(xt) = а\ ,/=1,2, Т. (3.68)

Временной ряд {xt} (/=1, 2, 7), обладающий свойствами (3.66), (3.67), называется слабостационарным (weak stationary) или стационарным в широком смысле (stationary in the wide sense).

Говоря далее о стационарных случайных процессах, будем по умолчании иметь в виду стационарные в широком смысле случайные процессы. Если хотя бы для одной из перечисленных характеристик условия стационарности (3.66), (3.67) не

153

выполняются, то случайный процесс будем называть нестационарным.

Очевидно, строгая стационарность влечет слабую стационарность. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако если случайный процесс является гауссовским, то слабая стационарность влечет строгую стационарность, поскольку первые и вторые моменты однозначно определяют нормальное распределение.

Как известно, взаимная статистическая зависимость значений временного ряда х\, •••> ХТ является одним из важнейших его свойств, отличающим последовательность х\, *2, xj от случайной выборки. По аналогии с парным коэффициентом корреляции двух случайных величин для измерения степени тесноты статистической связи между значениями стационарного временного ряда xt и xhk, отстоящими друг от друга на лаг к, используется коэффициент автокорреляции рк:

где учтено (3.68), т.е. D(xr)=D(x^)=^).

При анализе изменений характеристики рк в зависимости от лага к ее называют автокорреляционной функцией (АКФ). Использование автокорреляционной функции рк вместо автоковариационной функции <рь на практике предпочтительнее, поскольку АКФ рк является безразмерной (—\<рк<\), т.е. не зависит от масштаба измерения анализируемого временного ряда. Из стационарности временного ряда следует, что функции р/с и (р/с являются четными, т.е. рк=р^к. и (рк=(р-к. Это свойство АКФ дает возможность рассматривать лишь положительные значения лага к.

Статистическая оценка АКФ по реализации х\, х2, xj временного ряда называется выборочной автокорреляционной функцией и вычисляется по формуле

<< | >>
Источник: В.И. Малюгин. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа: Учеб. пособие. -М.: Дело, . - 320 . 2003

Еще по теме 3.6.2. Стационарный временной ряд и его характеристики:

  1. 7.1. МОДЕЛИ СТАЦИОНАРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  2. 2.3.5.1. Понятие о стационарных временных рядах
  3. Поправка на временные характеристики долгового обязательства.
  4. 5.3. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ РАБОЧЕГО ВРЕМЕНИ 4 И ЕГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
  5. Построение индексных систем за ряд последовательных периодов
  6. Аудиторские отчеты о финансовой отчетности корпорации за ряд лет
  7. Аудиторские отчеты о финансовой отчетности компании за ряд лет
  8. 5. Спрос, его характеристика
  9. §3.1. Труд и его характеристики
  10. 3| Форма представления товара и его характеристики
  11. 12.1.Экономический цикл и его характеристики
  12. Капитал: его виды и характеристика
  13. Сущность банка и характеристика его видов
  14. 2. Характеристика учетного рынка и его особенности