<<
>>

3.6.1. Определение и основные свойства временных рядов

Временным рядом обычно называют ряд значений х\, Х2, xj анализируемой случайной величины, полученных в последовательные моменты времени t=\, 2, Т.

Будем рассматривать временные ряды с равноотстоящими моментами наблюдения.

Именно такими являются временные ряды цен и доходностей активов, а также других экономических и финансовых переменных.

Временной ряд можно интерпретировать как реализацию некоторого случайного процесса, рассматриваемого как семейство вещественнозначных случайных величин {Xt}, где параметр / интерпретируется как дискретное время: /=1,2, Т (см. п. 3.2.2).

Для удобства далее будем использовать одни и те же обозначения для временного ряда и соответствующего "порождающего" его случайного процесса.

Случайный процесс {xt} (/=1, 2, 7) может быть описан с помощью Г-мерного распределения вероятностей, и, таким образом, отношение между временным рядом и случайным процессом можно рассматривать как отношение между случайной выборкой и "генеральной совокупностью". Однако существуют два принципиальных различия между моделью "случайная выборка" и моделью "временной ряд". Эти различия связаны с нарушением для моделей временных рядов предположений типа Р.1 и Р.2 (см. п. 3.4.2) и состоят в следующем:

150

• значения х\, х2, xj временного ряда не являются статистически независимыми;

• значения х\, х2, xj временного ряда не являются одинаково распределенными.

С одной стороны, это означает, что методы статистического анализа пространственных данных, описываемых моделью "случайная выборка", неприменимы для анализа временных рядов. С другой стороны, зависимость между х\, х2, xj открывает новые возможности для исследования динамики и прогнозирования временных рядов. При этом, исследуя временные ряды значений отдельных финансовых переменных, часто абстрагируются от "перекрестных" связей между ними, вводя предположения типа Р.4, что приводит к одномерным моделям временных рядов.

Для простоты изложения будем рассматривать одномерные случайные процессы и временные ряды.

Самой общей моделью временного ряда х\, Х2, xj является совместная функция распределения F() случайных величин х\, х2, x-f, определяемая соотношением1:

F(xu хъ xf) = F\(xx) F2(x2\xi)-

(3.65)

'F3(x3\xhx2) -Fj(xT\xh x2, ...,xT),

где F\(x\) - частная (маргинальная) функция распределения случайной величины х\\ Ft{xt\x\, х2, xt_\) - условная функция распределения случайной величины xt при условии, что значения х\, х2, xt_\ являются фиксированными (/=2, 3, 7).

Представление (3.65) учитывает оба свойства временного ряда, т.е. взаимную зависимость и неодинаковую распределенность случайных величин х\, х2, xj. Однако модель временного ряда Х\, х2, xj, определяемая функцией совместного распределения F(x\, х2, х?), как правило, не пригодна для практического применения, поскольку функция F{x\, JC2, хт) обычно неизвестна. Поэтому при описании временных рядов обычно принимаются во внимание лишь первые начальные и вторые центральные моменты совместного распределения F(x\, х2, хт), т.е. математические ожидания E(JC/), а также дисперсии D(xt) и ковариации Cov(xr, хТ) (*г, U 2, 7).

1 Для упрощения записи здесь и далее обозначение неслучайных аргументов функций распределения совпадает с обозначениями соответствующих случайных величин.

151

Заметим, что если совместное распределение любых подмножеств случайных величин из х\,х2,...,хт является нормальным, то указанное множество параметров полностью характеризует свойства временного ряда. Соответствующий случайный процесс принято называть гауссовским.

Заметим, что даже при таком упрощенном описании модели временного ряда с помощью набора числовых характеристик (параметров) {E(x,)},{D(x,)},{Cov(.x:,, хг)}(Кг, /, г=1, 2, 7) задача идентификации модели, т.е. оценивания указанных параметров по одной реализации хь х2, xj временного ряда, оказывается неразрешимой. Это связано с тем, что число оцениваемых параметров равно Т+Т+ЦГ-1)/2=Г(Г+3)/2, что на порядок больше числа наблюдений Т. К тому же предположение "гауссовости" не выполняется для многих экономических и финансовых временных рядов.

Возникает необходимость введения дополнительных упрощающих предположений с целью уменьшения числа неизвестных параметров модели. По этой причине обычно используется предположение о том, что исследуемый случайный процесс является линейным в том смысле, что текущее значение случайного процесса генерируется посредством линейной комбинации предшествующих значений самого процесса, а также текущих и прошлых значений других процессов, соответствующих экзогенным (внешним) факторам. Оказывается, что в данном случае указанный выше набор числовых характеристик также отражает основные свойства случайного процесса. В этом смысле важным является предположение о стационарности случайного процесса (временного ряда).

<< | >>
Источник: В.И. Малюгин. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа: Учеб. пособие. -М.: Дело, . - 320 . 2003

Еще по теме 3.6.1. Определение и основные свойства временных рядов:

  1. Определение и характеристики основных свойств систем
  2. 7.1. МОДЕЛИ СТАЦИОНАРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  3. 7.2. МОДЕЛИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  4. 3.6. МОДЕЛИ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  5. 2.3. Моделирование и прогноз временных рядов
  6. Компоненты временных рядов
  7. 7.2.2. Модели интегрированных временных рядов
  8. ГЛАВА 7 ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  9. КЛАЙВ У. ДЖ. ГРЭЙНДЖЕР ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  10. 2.3.5. Выделение циклических составляющих временных рядов