<<
>>

2.5.5. Форвардные ставки и цены облигаций

Во многих практических задачах, например при покупке или продаже облигаций на фьючерсных рынках, появляется необходимость в определении стоимости и ожидаемой доходности облигаций в будущие периоды.

В связи с этим возникает еще один тип процентных ставок, известных как форвардные ставки.

1 Платеж за последний период также можно рассматривать как "портфель" из двух бескупонных облигаций, соответствующих купонному доходу и финальной выплате.

96

1) Форвардные ставки.

Форвардными ставками (forward rates) в широком смысле принято называть ставки, которые фиксируются в текущий момент относительно займов или кредитов, которые должны быть получены или предоставлены в некоторый будущий период.

Применительно к долговым ценным бумагам под форвардной ставкой будем иметь в виду ставку, которая устанавливается в текущий момент и характеризует доходность к погашению ценной бумаги, соответствующую некоторому будущему периоду владения.

Обозначим: ставка доходности к погашению в периоде / бескупонной облигации со сроком обращения, равным Т-периодам.

Пусть известна временная структура процентных ставок в виде последовательности спот-ставок {о^}, /=1, 2, Т.

Тогда ставки {tRj}, удовлетворяющие условию

{\^RT)T=(\^Rt)\\+tRT)T-t ^ t=x9 2, 74, Г>1, (2.57)

называются форвардными.

Заметим, что условие (2.57) - это условие эквивалентности двух альтернативных стратегий инвестирования, исключающее возможность получения гарантированного дохода без каких-либо инвестиций, т.е. исключающее арбитражные возможности (см. разд. 6.3).

Первая стратегия (ей соответствует правая часть соотношения (2.59)) заключается в инвестировании средств сначала на t периоды, а затем реинвестировании полученной суммы на оставшийся до погашения срок, равный T-t периодам владения. На первом и втором этапах инвестирования используются соответственно спот-ставка oRt для /-периодных вложений и форвардная ставка tRj, соответствующая периоду t.

Вторая стратегия (левая часть соотношения (2.59)) состоит в инвестировании средств сразу на весь срок, оставшийся до погашения облигации под ставку §Rj (более подробный комментарий можно найти в [19]).

Из соотношения (2.57) может быть найдено представление для форвардных ставок в случае капитализации дохода с использованием формулы сложных процентов. Это представление определяется формулой (2.58), которая позволяет вычислить по заданным значениям спот-ставок {oRt}, а также комбинациям значений t и Т все необходимые для анализа форвардные ставки:

7 Зак. 7084

97

AT —

T-t

-1.

(2.58)

В случае непрерывно начисляемых процентов с учетом обозначения trj= \og{\+tR*j) получаем:

trT-

T-t

С учетом (2.55), (2.57) текущая стоимость купонной облигации может быть представлена в виде

Г/ _ , ^1

• + ...+

U0R{ (l+o^)(l+I R2) (l+0/?i)(l+i/?2) • - ? O+r-i^r)"

(2.59)

Воспользуемся формулами (2.58) и (2.59) для нахождения форвардных цен облигаций, т.е. ожидаемых в текущий момент цен облигаций в будущие периоды.

2) Форвардные цены облигаций.

Пусть Vt (t=l, 2, 7) - цена облигации в конце /-го периода владения после выплат по ней всех предусмотренных платежей. Поскольку данные цены соответствуют будущим периодам времени, их принято называть форвардными ценами облигации.

Форвардные цены Ут-\, У\ ДЛЯ Г-периодной купонной облигации при известных форвардных ставках {fRt+\} (/=1, 2, Т-\) могут быть определены с помощью следующей рекуррентной формулы:

V*= Vt?*fM >t = T-\,T1. (2.60)

Рекуррентная формула (2.60) основывается на интерпретации текущей стоимости ценной бумаги как некоторой суммы, которая может быть вложена на определенный срок под соответствующую данному сроку и риску вложений ставку. Предполагается, что полученная по окончании срока вложений сумма будет равна стоимости потока платежей по ценной бумаге, представленного на рис. 2.4.

98

С] С2 С, C/+i С711 с

Текущий <«.................* Дата

момент М-й период погашения

Рис.

2.4. Схема потока платежей по облигации

В соответствии с указанным принципом стоимость облигации после ее погашения в момент времени Т равна нулю, поскольку после погашения по облигации не ожидается никаких платежей. Таким образом, можно положить Vf=0.

В начале последнего периода по облигации ожидается платеж, равный Cj, поэтому в момент времени Т-\ стоимость облигации должна удовлетворять соотношению:

Утл 0+ тл&т) = СУ,

откуда следует:

Для цены облигации в момент времени Т-2 (т.е. в начале Г-1-го периода) имеем:

Vj_2 О"'" T-2^T-\) = УтЛ ~^^ТЛ-

Аналогично для момента времени t, являющегося началом произвольного Н-1-го периода (t = 74, Т-2, 1), получаем:

^(1+/Дж)=Кж+ Сн-ь

что влечет (2.60).

При t=0 формула (2.60) эквивалентна формуле (2.59) и приводит к вычислению текущей стоимости облигации. Приведем некоторые частные случаи формулы (2.60):

• для купонных облигаций с потоком платежей вида Ct-qF, f=l, 2, 74; Cj^qF+Fполучаем выражение вида:

К'= Vi+lt9f ,t = T-l,T-2,...9V9VT = F, где с целью сохранения общности формально положено

• для бескупонных облигаций, полагая в предыдущем выражении #=0, получаем:

99

I_i_i_i_i_i_1-

01 2 ... t t+\ ... 74 ;

t = T-l,T-2,...9l;VT = F.

3) Интерпретация кривой доходности.

Форвардные ставки существенно используются в рамках различных теорий временной структуры процентных ставок. Например, в соответствии с теорией чистых ожиданий при отсутствии на рынке арбитражных возможностей устанавливаемые в текущий момент форвардные ставки для будущих периодов должны быть равны ожидаемым в соответствующих будущих периодах спот-ставкам с аналогичными сроками инвестирования. Другими словами (используя терминологию вероятностного подхода (гл. 3)), форвардные ставки должны равняться математическому ожиданию соответствующих спот-ставок.

На данном предположении основана интерпретация формы кривой доходности в рамках теории чистых ожиданий.

В качестве примера рассмотрим две стратегии инвестирования на два периода. Первая заключается в покупке двухпериодной бескупонной облигации, доходность к погашению которой определяется спот-ставкой о^2. Вторая стратегия представляет собой так называемую стратегию возобновления (rollover strategy) и состоит в последовательной., покупке однопериодных бескупонных облигаций. Доходность к погашению первой однопериодной облигации определяется однопериодной спот-ставкой о^ь а доходность второй облигации - форвардной однопериодной ставкой {{Яг}-

Предположение об отсутствии арбитражных возможностей приводит по аналогии с (2.57) к тождеству

в котором в соответствии с теорией чистых ожиданий учтено, что форвардная ставка ] 7?2 равна ожидаемой в будущем периоде спот-ставке \{ER)2. Представим данное соотношение в более удобном для интерпретации виде:

На основании (2.61) можно сделать следующие выводы о форме кривой доходности (см. рис. 2.3):

1) если кривая доходности имеет наклон вверх, т.е. o/?i то i(?7?)2>o^i. Это означает, что инвесторы ожидают

о+оДоа+даы^а+оДг)2,

1+1(?Л)2 _(U0R2

(2.61)

100

в будущем периоде роста краткосрочных (однопериодных) ставок;

2) если кривая доходности имеет наклон вниз, т.е. QR{>QR2, то i(?Y?)23) если кривая доходности параллельна оси абсцисс, т.е. о/?1=о#ь то i(?7?)2=o^b и> следовательно, в будущем инвесторы ожидают, что краткосрочные ставки не изменятся.

Очевидно, аналогичные рассуждения могут быть проведены и для произвольного срока инвестирования.

<< | >>
Источник: В.И. Малюгин. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа: Учеб. пособие. -М.: Дело, . - 320 . 2003

Еще по теме 2.5.5. Форвардные ставки и цены облигаций:

  1. ЦЕНЫ ОБЛИГАЦИЙ И ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИЯМ
  2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРВАРДНОЙ ЦЕНЫ И ЦЕНЫ ФОРВАРДНОГО КОНТРАКТА
  3. ФОРВАРДНЫЕ СТАВКИ
  4. 11.6. Соглашение о форвардной ставке (FRA)
  5. Глава 7 ФОРВАРДНЫЕ СТАВКИ
  6. Хеджирование соглашений о форвардной ставке и процентных свопов
  7. 1.3.2. Определение форвардной цены акции
  8. Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам. Внутренняя ставка доходности
  9. ЦЕНЫ НА ОБЛИГАЦИИ
  10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФЬЮЧЕРСНОЙ ЦЕНЫ ОБЛИГАЦИИ И АРБИТРАЖ
  11. Цены на промышленные облигации
  12. 4.3. Анализ влияния факторов на изменение цены облигаций
  13. Котировка и определение цены казначейских облигаций
  14. Определение цены облигации, приобретаемой не в день выплаты
  15. 4.3.3. Взаимосвязь между ценой облигации, купонной выплатой, ставкой дисконта и сроком погашения
  16. Определение фьючерсной цены облигации, по которой выплачиваются купоны в течение действия контракта