1.2.9. Эффективный набор портфелей

с

Рис. 1.21. Варианты портфелей из двух активов, корреляция доходностей которых изменяется от -1 до +1

53

Глава 1. Ожидаемая доходность и риск портфеля

располагаются внутри треугольника XZY. Таким образом, пространство треугольника XZY представляет собой все возможное множество портфелей, состоящих из двух бумаг, в пределах корреляции доходности активов от -1 до +1.

На практике подавляющая часть активов имеет корреляцию отличную от -1 и +1, и большинство активов имеют положительную корреляцию. Если построить график, на котором бы располагались портфели, состоящие из бумаг X и F, при меньшей корреляции, чем +1, он примет выпуклый вид, как показано на рис. 1.22 сплошной линией.

Е(г)

Z

о

Рис. 1.22. Варианты портфелей из двух активов при корреляции доходностей меньше +1

Чем меньше корреляция между доходностями активов, тем более выпуклой будет график. На рис. 1.23 линия 2 представляет меньшую корреляцию доходностей активов X и Y по сравнению с линией 1. Как видно из рисунка, чем меньше корреляция доходностей активов, тем более они привлекательны для формирования портфеля, поскольку инвестор может получить тот же уровень ожидаемой доходности при меньшем уровне риска. Так, портфель Р2 на рис. 1.23 имеет то же значение ожидаемой доходности г,, что и портфель Рх, однако его риск меньше и равен о2, в то время как первого портфеля - ох.

Как показано на рис. 1.24, если активы имеют корреляцию меньше +1, инвестор может сформировать любой портфель, который бы располагался на кривой XAY.

имеют риск равный <т,, но ожидаемая доходность портфеля Р2 больше ожидае-

54

Глава 1. Ожидаемая доходность и риск портфеля

Рис. 1.23. Варианты портфелей из двух активов с различной степенью корреляции доходности

Рис. 1.24. Варианты портфелей из двух активов с корреляцией доходности меньше +1

мой доходности портфеля Рх. Поэтому инвестор предпочтет остановить выбор на портфеле Р2.

Если инвестор формирует портфель из двух бумаг, X и Г, как показано на рис. 1.24, в точке А он может получить для сочетания данных активов портфель с наименьшим уровнем риска. Его именуют глобальным портфелем. Чтобы по

55

Глава 1. Ожидаемая доходность и риск портфеля

строить такой портфель, необходимо найти удельные веса в портфеле бумаг X и F. Это можно сделать, продифференцировав уравнения (1.20) или (1.22) по вх и приравняв их к нулю при условии, что вх = \-0у. Вопрос определения уд. весов такого портфеля был рассмотрен в параграфе 1.2.5.4. Если объединить в портфель некоторое число активов: А, Е, D и С, корреляция доходностей которых лежит в промежутке от -1 до +1, то, в зависимости от их удельных весов, можно построить множество портфе-лей с различными параметрами риска и доходности, которые расположены в рамках фигуры ABCDE, как показано на рис. 1.25. Рациональный инвестор будет стремиться минимизировать риск и увеличить доходность, поэтому всем возможным портфелям, представленным на рис. 1.25, вкладчик предпочтет только те, которые расположены на отрезке ВС, поскольку они являются доминирующими по отношению к портфелям с тем же уровнем риска или с той же доходностью. Набор портфелей на отрезке ВС называют эффективным набором.

^=IZ^C0V^ (1-42)

М /=1

рассчитать удельные веса активов в портфеле, при которых минимизируется значение его дисперсии для каждого данного уровня доходности при условии,

что^Г^.г; = Е\гр) и ^Г#. = 1. Данный метод называется методом Марковца. Ес-

i=i i=i

ли накладывается условие не отрицательности уд. весов активов в портфеле,

56

Глава 1. Ожидаемая доходность и риск портфеля

т.е. в, > 0, то это задача квадратичного программирования, т. к. в целевую

функцию (1.42) уд. веса входят во второй степени. При возможности коротких продаж уд. веса активов могут быть отрицательными, и задача определения эффективных портфелей решается с помощью метода множителей Лагранжа.23

Неудобство метода Марковца состоит в том, что для определения эффективной границы портфелей, включающих много активов, необходимо произвести большое количество вычислений. Если портфель состоит из п активов, то следует определить п ожидаемых доходностей и стандартных отклонений и

п(п - \) „

—^—- ковариации. В результате для построения эффективной границы необ-

п(п + 3)

ходимо рассчитать —^—- отдельных показателей ожидаемой доходности,

дисперсий и ковариации. Так, если мы определяем эффективную границу для портфеля из 5 активов, необходимо получить 20 исходных данных, для 10 активов - уже 65 данных, для 20 активов - 230 данных, а для 30 активов - 495 данных и т.д. Таким образом, большое количество вычислений делает модель Марковца не очень удобной для решения задачи определения эффективной границы. Данная проблема в более простой форме была решена в модели У.Шарпа, которая будет представлена в главе 3.

Подход Г.Марковца к выбору эффективных портфелей называют средне-дисперсионным анализом, поскольку их построение основано на учете ожидаемой, т.е.

где ?[?/(г)] - ожидаемая полезность от инвестиций;

Решение данной задачи приводится в главе 4.

24 О фактическом распределении доходности ценных бумаг и портфелей ценных бумаг см. в книге А.Н.Буренина "Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов", М., "Научно-техническое общество им. академика С.И.Вавилова", 2002, глава 9.3.

25 О функции полезности см. главу 8.

(1.43)

57

Глава 1. Ожидаемая доходность и риск портфеля

U(г) - функция полезности инвестора; г - ожидаемая доходность инвестиций; а2 - дисперсия доходности инвестиций; Ь - константа.

Из формулы (1.43) следует: из двух портфелей с одинаковой ожидаемой доходностью инвестор выберет портфель с меньшей дисперсией; из двух портфелей с равной дисперсией - портфель с большей ожидаемой доходность.

В заключение данного параграфа следует остановиться на вопросе, почему форма эффективной границы выпукла вверх.

Р{; для доходности г2 при корреляции +1 соответствует портфель Р2У для

меньшей корреляции - портфель Р2 и т.д. Таким образом, если рассматривать две бумаги, все возможные комбинации портфелей должны располагаться или на прямой линии - для корреляции +1, или на выпуклой - при меньшей корреляции.

Е(г) ................................. Y MP

2 ......................1АЪ X*| j а2 а2 а\ а, а

Рис. 1.26. Варианты портфелей из двух активов

Допустим теперь, что точки X и Y на рис. 1.26 представляют собой не отдельные бумаги, а портфели. Каждый из них сформирован из нескольких бумаг. Эти портфели можно рассматривать как отдельные активы, поскольку они характеризуются определенной доходностью и риском. Если объединить их в один портфель, то получится такой же результат, как и в случае двух отдельных

58

Глава 1. Ожидаемая доходность и риск портфеля

бумаг: все возможные комбинации новых портфелей будут располагаться на прямой линии при корреляции доходностей портфелей X и F+1 или левее данной линии при меньшей корреляции. Поскольку бумаги имеют обычно корреляцию меньше чем +1, то эффективная граница портфелей, составленная из большого количества бумаг, будет иметь выпуклую форму.

На рис. 1.25 линия ВА имеет вогнутую форму. Такая конфигурация объясняется аналогичным образом, как и выпуклость эффективной границы. В данном случае разница состоит только в том, что актив (портфель) А характеризуется большим риском и меньшей ожидаемой доходностью по сравнению с портфелем В. Поэтому при корреляции их доходностей меньше чем +1 все возможные комбинации портфелей будут располагаться левее прямой линии, соединяющей данные активы, поскольку для каждого уровня ожидаемой доходности их риск меньше риска портфелей при корреляции +1.