1.2.6. Риск портфеля, состоящего из нескольких активов

Рассмотрим, как определяется риск портфеля, состоящего из нескольких бумаг.

1=1 7=1

где ар - риск портфеля;

в; - уд. вес /-го актива в портфеле;

вj - уд. вес j -го актива в портфеле;

cov/y - ковариация доходностей / -го и j -го активов.

п п

В формуле (1.30) стоит знак двойной суммы . Это означает, что,

раскрывая его, мы должны вначале взять значение / = 1 и умножить на него все значения j от 1 до п. Затем повторить данную операцию, но уже для / = 2, и т.д. В итоге получим п2 слагаемых. Чтобы проиллюстрировать использование данной формулы, рассчитаем риск портфеля, состоящего из трех бумаг. Если портфель будет состоять из большего количества активов, техника расчета останется такой же.

Пример 1.

Портфель состоит из трех бумаг - А, В, С. Уд. вес бумаги А равен 0,2, бумаги В - 0,3, бумаги С - 0,5; аА = 30%; ав = 20%; ас = 10%; covAB = 3,8; covAC = 2,5; covBA = 3,8; covBC = 5,5; covCA = 2,5; covCB = 5,5.

Определить риск портфеля.

Решение.

Дисперсия портфеля равна:

а2р =0,2.0,2-30-30 +0,2-0,3-3,8+ 0,2-0,5-2,5 +

+ 0,3-0,2- 3,8 + 0,3-0,3 -20-20 + 0,3-0,5- 5,5 +

0,5 - 0,2 - 2,5 + 0,5 • 0,3 • 5,5 + 0,5 • 0,5 • 10 • 10 = 99,606

Стандартное отклонение портфеля составляет:

ар =д/99>606=9,98%

44

Глава 1. Ожидаемая доходность и риск портфеля

Как было отмечено выше, для портфеля, состоящего из двух активов с корреляцией доходностей +1, риск представляет собой средневзвешенный риск входящих в него активов. Поэтому для такого случая не наблюдается уменьшение риска, т.е. уменьшение его дисперсии, а происходит только его усреднение.

Если портфель состоит из активов с корреляцией равной нулю, его риск рассчитывается по формулам:

и

(1.31)

(1.32)

/=1

Когда бумаги имеют одинаковую дисперсию и уд. вес, формулу (1.31) можно преобразовать следующим образом:

1

1

ПО-

ИЛИ

<г;=— (1.зз)

п

Соответственно формула (1.32) принимает вид:

Как следует из формул (1.33) и (1.34), риск портфеля убывает по мере увеличения количества входящих в него активов.

Формулу (1.30) можно переписать в следующей форме:

(1.35)

/=1

1=1 y=i

Если в портфель включить бумаги в равном удельном весе, формула (1.35) запишется как:

п f \ \2 п п \ \

i=\ j=U*j

п п

или

п

п п

п п \ \

+Е Е —cov

/=1 ./=1,1*/

п п

У

45

Глава 1. Ожидаемая доходность и риск портфеля

или

П /=1 7=1,7*/ п п

где — - удельный вес бумаги в портфеле; п

— = с2 - средняя дисперсия активов в портфеле.

п

Умножим и разделим второе слагаемое формулы (1.36) на (л —l) и преобразуем его:

1 1 Л-1 1 1

LL—C0V* ="-г2.2.--соу// =

;_, ;-\ПП ft — 1 ;_i ;_l ft ft

i=l 7=1 " 1 i=l y=l

cov.

(1.37)

n ~f~{n(n-l) n n{n-\)

J*'

n n

SScov(,

1=1 7=1

В выражении (1.37) величина у представляет собой среднюю ко-

вариацию доходностей активов, входящих в портфель, так как в ее числителе стоит сумма ковариации, а в знаменателе - их число. Обозначим среднюю ко-вариацию через covjy. Тогда формулу (1.35) можно записать как:

? о"2 п-\ —

<гр= — +-cov^. (1.38)

ft п

При увеличении количества активов в портфеле значение первого слагаемого в формуле (1.38) будет уменьшаться и при большом значении п оно при-

п-\ ^

близится к нулю. У второго слагаемого выражение - будет стремиться к

п

единице. Поэтому формула (1.38) принимает вид:

а\ * cov..

Таким образом, при включении в портфель большого количества бумаг и при условии, что их уд.

В настоящей главе мы рассчитывали риск портфеля на основе формулы (1.30). Однако следует отметить, что в современной литературе вместо данной формулы часто используется ее аналог, записанный в матричной форме. По

46

Глава 1. Ожидаемая доходность и риск портфеля

этому рассмотрим вопрос расчета риска портфеля с помощью матриц. Необходимые сведения из матричного исчисления приведены в приложении 4 к настоящей главе.

Риск портфеля ценных бумаг, представленный дисперсией его доходности, с помощью матриц можно записать как:

а2р=еТое, (1.39)

где <у2р - риск портфеля;

0 - матрица-столбец уд. весов активов в портфеле;

0Г - транспонированная матрица-столбец уд. весов активов в портфеле, т.е. матрица-строка уд. весов;

Q - матрица ковариации доходностей активов в портфеле. В качестве иллюстрации использования формулы (1.39) возьмем условия примера 1 настоящего параграфа. Запишем состав каждой матрицы:

( - Л (0,2) зо2 3,8 2,5 0Г=(О,2 0,3 0,5), 0 = 0,3 , Q = 3,8 202 5,5 ,0.5) 2,5 5,5 102 В матрице Q по диагонали расположены дисперсии доходностей активов, а оставшиеся элементы представляют собой ковариации доходностей бумаг между собой. Риск портфеля равен:

o-J=(o,2 0,3 0,5 зо2 3,8 2,5 f°'2l 3,8 202 5,5 0,3 2,5 5,5 102 ,0,5, V

J

Осуществим вычисления в формуле (1.40) последовательно:

(1.40) 302 3,8 2,5 0,3 0,5 3,8 202 5,5 — 2,5 5,5 102 ) зо2 + 0,3-3,8 + 0,5 2,5 0,2-3,8 +0,3-202 +0,5-5,5 0,2-2,5 + 0,3-5,5 + 0,5-10' =

182,39 123,51 52,15

47

Глава 1. Ожидаемая доходность и риск портфеля

182,39 123,51 52,15

(0,2^ 0,3 v0,5y

= (l 82,39 -0,2 + 123,51 • 0,3 + 52,15 • 0,5) = 99,606 Таким образом, сг2р = 99,606 Стандартное отклонение составляет:

ар = ^99,606 = 9,98%

Матрица ковариации Q равна ЕРЕ, где Р - корреляционная матрица размера пхп ; Е - матрица стандартных отклонений размера пхп; п - количество активов в портфеле. Поэтому формулу (1.39) можно представить еще следующим образом:

al = 0rZPZ0

Данная формула для двух активов раскрывается следующим образом:

0

v

2 У

1

21

Р\2 1

V

о

'2J

(1.41)

где 9Х, в2 - уд. веса первого и второго активов;

сг,, аг - стандартные отклонения первого и второго активов;

Р\2' Рг\ _ коэффициенты корреляции доходностей первого и второго акти-

вов.

В заключение следует сказать, что матрицу столбец также часто называют

вектором. Поэтому можно сказать, что в формуле (1.41) выражение пред-

ставляет собой вектор удельных весов активов в портфеле, а (вх в2) - транспонированный вектор уд. весов.