1.2.5.4. Риск портфеля из двух активов с минимальной дисперсией

сг2р = (l - ву f a\ + ву crj + 2(l - 0Y ^устхстусоггху

Продифференцируем полученное выражение по 0Y:

do*

= -2(l - ву )Раскроем скобки и приравняем производную к нулю, чтобы найти минимум функции:

- 2+ 2Отсюда:

_ CJ2X-CTxGYCOrrxY

&Y - 2 ^ 2 0- (1.28)

Выражение (1.28) представляет собой минимум функции, поскольку вторая производная cr2p по 9Y является величиной положительной.

Пусть > и корреляция доходностей активов X и Y равна: _ соггху - .

(Ту

°Х -GXGY-

вУ - -° (1.29)

2 2 л ^" О" ^ + (Ту — 2С7^(Т у-

Таким образом, при corrxY ~ портфель с минимальной дисперсией должен

<Уу

ь представлен только бумагой X.

Пусть ~А <соггху < 9 тогда числитель и знаменатель выражения (1.28)

быть представлен только бумагой X.

будут величинами положительными, и при этом знаменатель больше числителя20. Отсюда следует, что для отмеченного условия портфель с минимальной

Для того, чтобы знаменатель был больше числителя, необходимо выполнение неравенства:

G\ + aY ~ xGYCOrrXY >(ТХ ~ °XGYcorrXY

41

Глава 1. Ожидаемая доходность и риск портфеля

дисперсией формируется без осуществления короткой продажи одного из акти-

вов. Если 1 - соггху > 9 числитель равенства (1.28) меньше нуля, т.е. уд. вес

(Ту

бумаги F является отрицательной величиной. Поэтому портфель с минимальной дисперсией включает короткую продажу этого актива.

При нулевой корреляции доходностей двух активов из равенства (1.28) получим уд.

GX +При соггху из (1.29) следует, что дисперсия портфеля с минималь-

СТу

ным риском равна дисперсии актива X, поскольку уд. вес актива F должен быть равен нулю. Тогда при согг^ < дисперсия портфеля меньше риска актива

(Ту

X. Таким образом, объединение двух активов с данной характеристикой позволяет получить дисперсию портфеля, которая меньше дисперсии каждого из входящих в него активов. Данный результат достигается без короткой продажи

одного из активов. Если согг^ > —— > дисперсия портфеля будет больше дис-

СТу

персии актива X. Для того, чтобы дисперсия портфеля оказалась меньше дисперсии актива X необходимо осуществить короткую продажу актива F. Так, при соггху = 1 формула (1.28) дает результат:

Q VX-VX&Y =(JX((JX~CTY)

G\ +aj-2crx(Ty (ax -crYf

или

ву =

GX -(Ту

Соответственно вх—-——. Поскольку GX -(Ту

портфеля с минимальной дисперсией требует короткой продажи актива F. Дисперсия портфеля с такими уд. весами активов будет минимальной и равной нулю.

С у

или (Ту > (Ухстусоггху . Отсюда -> corr^ . Поскольку по условию aY > ° х

может быть больше единицы, то отмеченное неравенство будет выполняться.

42

Глава 1. Ожидаемая доходность и риск портфеля

* * *

Мы рассмотрели риск портфеля для случаев корреляции доходностей активов +1, -1 и нулевой корреляции. Как следует из рассуждений, риск портфеля тем меньше, чем меньше корреляция доходностей входящих в него активов. Поэтому инвестору следует объединять в портфель бумаги с наименьшей корреляцией. В этом случае он может снизить ожидаемый риск портфеля, не уменьшая его ожидаемой доходности. Поясним сказанное на примере.

Пример.

Имеются бумаги А и В с одинаковой ожидаемой доходностью 20% и бумаги С и D с доходностью 30%. Корреляция доходностей бумаг А и С равна 0,8, бумаг В иО составляет 0,4.

0,3-20 + 0,7-30 = 27% Риск первого портфеля составляет:

ах = Vo,32 • 202 + 0,72 • 302 + 2 • 0,3 • 0,7 ? 20? 30? 0,8 = 26,05%

Риск второго портфеля равен:

а2 = д/0,32 • 202 + 0,72 • 302 + 2 • 0,3 • 0,7 • 20• 30• 0,4 = 24,04%

Таким образом, рациональный инвестор в нашем случае остановится на втором портфеле, так как он предлагает такой же уровень ожидаемой доходности, что и первый портфель, однако его риск меньше риска первого портфеля.

Чтобы лучше представить идею и эффект диверсификации портфеля при различной корреляции доходностей активов, мы рассмотрели риск портфеля, состоящего только из двух бумаг. Общие выводы, которые можно сделать по результатам вышесказанного состоят в следующем:

1) если в портфель объединяются активы с корреляцией +1, достигается только усреднение, а не уменьшение риска;

2) при объединении в портфель активов с корреляцией меньше, чем +1, его риск уменьшается; чем меньше корреляция доходностей активов, тем меньше риск портфеля; уменьшение риска достигается при сохранении неизменного уровня ожидаемой доходности портфеля;

3) если в портфель объединяются активы с корреляцией -1, можно сформировать портфель без риска;

4) при формировании портфеля необходимо объединять в него активы с наименьшей корреляцией.

Основоположником современной теории портфеля является Г.Марковиц. Именно он предложил объединять активы с наименьшей корреляцией, чтобы снизить риск портфеля. Согласно Марковцу, чем меньше корреляция доходностей бумаг в портфеле, тем больше степень его диверсификации. Следует от

43

Глава 1. Ожидаемая доходность и риск портфеля

метить, что диверсификация позволяет снизить риск портфеля для обычной конъюнктуры рынка. В условиях финансовых крахов сложившиеся корреляции между доходностями активов нарушаются, и динамика их доходностей будет такова, как если бы они имели корреляцию +1.