10.3.3. Метод Монте-Карло для портфеля из нескольких акций

Распределение стоимости портфеля зависит от степени коррелированности доходностей входящих в него активов.

Как отмечалось в параграфе 10.3.1, изменение цены акции можно смоделировать на основе уравнения (10.3). Поэтому изменение стоимости акций в портфеле можно представить равенствами:

324

Глава 10. Непараметрические модели VaR и стресс-тестирование

A5U = juxSl0At ^ axSh0sxxy[At, (Ю.8)

AS2X = ju2S2^At + a2S2^?2X4& , (10.9)

где ASXX; AS2X - изменения курса первой и второй акций в первом периоде;

Sx 0; 52 0 - цены первой и второй акций в начальный момент времени;

jux; //2 - ожидаемые доходности первой и второй акций;

<7Х; сг2 - стандартные отклонения доходностей первой и второй акций;

€\,\ I ?г,\ - реализации стандартной нормально распределенной случайной величины в первом периоде.

Расчеты применительно к портфелю ценных бумаг удобно осуществлять в матричной форме. Поэтому выражения (10.8) и (10.9) представим в матричной форме как:

AS

1,1

ju2S20At

^A.o

0

0 Cr2S2,Oj

'1,1

(10.10)

Для простоты возьмем в выражении (10.10) период времени равным единице. Тогда оно примет вид:

АЛ=Г м,0а0

VA52,. J UAO^

°А<)

0

0 О'2<$2,0 у

*1,1

^2,1 У

(10.11)

AS - это изменение стоимости акции. Его можно записать как:

AS = S,-S,

't-\ 9

где St - курс акции в момент /:

St_x - курс акции в предыдущий момент t-l. Учитывая сказанное, цены акций в выражении (10.11) можно представить как:

Ч,Л i4,0+m>v^

\S2,l) о

0 CTj^.o J

\Е2,\)

(10.12)

где 5,,; S2] - цены акций в конце первого периода испытания.

Стоимость портфеля в конце первого периода можно узнать, умножив выражение (10.12) на вектор количества акций в портфеле:

Г5,,Л (

4,1 у

щ п2

( S.,o+M,oA>"

52,0 + у"252,0А'.

+

0

0 cr2S20J

(10.13)

325

Глава 10.

где РР - стоимость портфеля;

пх; п2 - количества первой и второй акций в портфеле. Формула (10.13) позволяет определить стоимость портфеля, когда корреляция доходностей бумаг равна нулю.

Если корреляция доходностей активов в портфеле равна +1 или -1 , то выражение (10.13) принимает вид:

пх п2

\S2,lJ

пх п2

S20 + /u2S20At

пх п2

у± ^2^2,0

о о

(? ^

Наиболее стандартным является случай, когда корреляция доходностей акций в портфеле отлична от ± 1. Этот факт необходимо учесть при определении

его стоимости. Результаты испытаний задаются значениями вектора

(? Л

, обо-

значим его через ?. Они должны отражать структуру корреляций доходностей активов. Требуемое условие можно смоделировать, воспользовавшись разложением Холецкого. Разложение Холецкого представляет собой симметрическую матрицу как произведение нижней и верхней треугольных матриц.6 Поэтому корреляционная матрица портфеля (Q) представима как:

Q = AAT, (10.14)

где А - нижняя треугольная матрица.

Запишем выражение (10.14) для портфеля из двух бумаг:

1 р\ (аг

Р 1

0

V

\а2\ a22j

ахх а2Х

0 а

22 J

где р - корреляция доходностей активов. Произведение матриц ААТ дает результат:

я,

\а2\

0Уяп а21

а

22 J

0 а

22 J

апап

2 2

\а2\а\\ а2\ + а22У

Приравняем элементы корреляционной матрицы и матрицы произведений АА :

1 Р

Р 1

ап аиа21

2 2

а2\а\\ а2\ + a22J

Отсюда:

326

Глава 10. Непараметрические модели VaR и стресс-тестирование

а2х = 1; ахха2Х = р; а\х + а%2=1

ахх = 1; а2х = р; а22 = ф- р2

Зададим значения вектора s как:

? = AT ,

где т - вектор независимых стандартных случайных переменных. Тогда:

(е Л (\

О

\T2j

и

?р2т2

(10.15)

Найденные значения ^, и ?21 подставляем в выражение (10.13) и получаем

стоимость портфеля с учетом структуры его корреляционной матрицы.

Для того чтобы можно было использовать разложение Холецкого, матрица А должна быть положительно определена.7 Если менеджер включит в модель дисперсии и корреляции, в которых учтены его экспертные оценки, то не исключен вариант, что матрица не будет определена положительно.

Точность оценки VaR зависит от количества проведенных испытаний.

В заключение данного параграфа остановимся еще раз на использовании формулы (10.3) для моделирования курсовой стоимости акции. Формула включает элемент juSdt. Он определяет тренд или скорость тенденции движения цены акции. За короткий период времени тренд фактически не определим, и изменение цены акции задается в основном стандартным отклонением. Поэтому, если курс акции моделируется для небольшого периода времени, то данное слагаемое можно опустить. Тогда формула (10.3) примет вид:

A5 = O5^Va7 (10.16)

Таким образом, для моделирования курса акции для малых периодов времени можно воспользоваться вместо формулы (10.3) выражением (10.16). Разница в результатах тем меньше, чем меньше период времени берется для каждого испытания. При моделировании стоимости акций в портфеле с учетом их корреляций в формуле (10.16) значения е необходимо учитывать в соответствии с выражением (10.15).

Симметрическая матрица положительно определена, если все ее угловые миноры положительны. Минором порядка k матрицы А называют определитель, составленный из элементов этой матрицы, стоящих на пересечении произвольно выбранных k строк и k столбцов в порядке их возрастания. Угловые миноры начинаются с углового элемента.

327

Глава 10. Непараметрические модели VaR и стресс-тестирование