<<
>>

Предварительная обработка исходной информациив задачах прогнозной экстраполяции

Предварительная обработка исходного числового ряда направлена на решение следующих задач (всех или части из них): снизить влияние случайной составляющей в исходном числовом ряду, т.

е. приблизить его к тренду; представить информацию, содержащуюся в числовом ряду, в таком виде, чтобы существенно снизить трудность математического описания тренда. Основными методами решения этих задач являются процедуры сглаживания и выравнивания статистического ряда.

Процедура сглаживания направлена на минимизацию случайных отклонений точек ряда от некоторой гладкой кривой предполагаемого тренда процесса. Наиболее распространен способ осреднения уровня по некоторой совокупности окружающих точек, причем эта операция перемещается вдоль ряда точек, в связи с чем обычно называется скользящая средняя. В самом простом варианте сглаживающая функция линейна и сглаживающая группа состоит из предыдущей и последующей точек, в более сложных — функция нелинейна и использует группу произвольного числа точек.

Сглаживание производится с помощью многочленов, приближающих по методу наименьших квадратов группы опытных точек. Наилучшее сглаживание получается для средних точек группы, поэтому желательно выбирать нечетное количество точек в сглаживаемой группе. Сами группы точек берут по составу скользящими по всей таблице. Например, по первым точкам ух, у2, уз, у4, уъ, сглаживают среднюю уз, затем по следующей пятерке у2, уз, у4, уъ, уь сглаживают у4 и т. д. Остающиеся крайние точки сглаживают по специальным формулам.

Наиболее распространенной формой сглаживания является линейное, т. е. с использованием многочлена первой степени.

Элементы теоретических основ

стратегического менеджмента

Для сглаживания по трем точкам формулы имеют такой вид:

где уо, ~о — значения исходной и сглаженной функций в средней точке; у-i,              — значе

ния исходной и сглаженной функций в левой от средней точке; у+i, ^у+1 — значения исходной и сглаженной функций в правой от средней точке.

Формулы для у^-ьу+1 применяются, как правило, только по краям интервала. Аналогичные формулы имеются для сглаживания рядов по пяти точкам:

Сглаживание даже в простом линейном варианте является во многих случаях весьма эффективным средством выявления тренда при наложении на эмпирический числовой ряд случайных помех и ошибок измерения. Для рядов со значительной амплитудой помехи имеется возможность проводить многократное сглаживание исходного числового ряда. Число последовательных циклов сглаживания должно выбираться в зависимости от вида исходного ряда, от степени предполагаемой его зашумленности помехой, от цели, которую преследует сглаживание. Надо иметь при этом в виду, что эффективность этой процедуры быстро уменьшается (в большинстве случаев), так что, как показывается опыт, целесообразно повторять ее от одного до трех раз.

В качестве некоторого объективного критерия, по которому можно судить о нецелесообразности повторного сглаживания, возможно использовать выражение

где ? — положительное число, выбираемое из соображений точности представления данных и точности последующих алгоритмов обработки; i = 1, 2, ..., n — номера точек в исходной последовательности.

В общем виде формула сглаживания для средней точки скользящей группы из m = 2p + 1 точек может быть записана как

При большом числе точек исходного ряда эту процедуру можно привести к рекуррентной, использующей каждый раз предыдущее значение сглаженного уровня:

В табл.

3.9 приводится пример обработки путем сглаживания по трем и пяти точкам эмпирического числового ряда. На рис. 3.13 представлены соответствующие графики числового ряда до и после применения сглаживания.

Таблица 3.9

Исходные и сглаженные значения эмпирического ряда

х

у

~3

~5

0

25

23

24

1

20

23

25

2

25

28

28

3

40

32

35

4

30

43

41

5

60

47

46

6

50

53

52

7

50

57

66

8

70

73

70

9

100

83

82

10

80

97

96

11

110

103

106

12

120

117

114

13

120

127

127

14

140

137

140

Рис. 3.13. Сглаживание эмпирических данных по трем и пяти точкам

Линейное сглаживание является достаточно грубой процедурой, выявляющей общий приблизительный вид тренда.

Для более точного определения формы сглаженной кривой может применяться операция нелинейного сглаживания или взвешенные скользящие средние. В этом случае ординатам точек, входящих в скользящую группу, приписываются различные веса в зависимости от их расстояния от середины интервала сглаживания. Выбирается кривая, обычно 2-го или 3-го порядка, и ее ордината, соответствующая центру интервала сглаживания, принимается за сглаженное значение уровня. Расчет параметров сглаживающей кривой производится по методу наименьших квадратов, однако ординату центральной точки можно рассчитать как некоторую взвешенную среднюю из всех ординат точек сглаживающей группы. Так, для параболического сгла-

Элементы теоретических основ

стратегического менеджмента

Аналогичные формулы рассчитаны и для большого числа точек (9, 11, 21). Имеются также формулы, позволяющие вычислять сглаженные значения по краям числового ряда.

Сглаживание рядов по большому числу точек m используется относительно редко: оно приемлемо лишь по отношению к большим по протяженности исходным последовательностям, что в прогнозировании случается не часто. Помимо этого, по краям ряда остается значительное число неудовлетворительно сглаженных точек, а для прогнозной экстраполяции конец числового ряда имеет наиболее важное значение.

Если сглаживание направлено на первичную обработку числового ряда для исключения случайных колебаний и выявления тренда, то выравнивание служит целям более удобного представления исходного ряда, оставляя прежними его значения. Выравниванием будем называть преобразование эмпирической формулы y = f(x, а), где f — произвольная функция, к виду

У = А + BX.

Очевидно, что эта процедура может быть реализована не во всех случаях, не для всех функций, однако большинство простых функций, наиболее распространенных в практике экстраполяционных и интерполяционных расчетов, относительно просто поддается выравниванию.

Функции с большим числом параметров выравниваются сложнее и далеко не всегда.

Наиболее общими приемами выравнивания являются логарифмирование и замена переменных. Рассмотрим эти приемы на ряде следующих конкретных параметров: Для отыскания параметров степенной функции y = axb применяют логарифмическое преобразование вида lg y = lg a + b lg x и замену переменных: X = lg x; Y = lg y. В результате имеем линейную функцию.

Таким образом, перестроив экспериментальные точки предполагаемой степенной зависимости в логарифмической сетке, мы получим линейную зависимость, которую легко описать и экстраполировать, а затем пересчитать результаты по формулам, обратным исходному преобразованию переменных. Для показательной функциитакже можно применить логарифмическое

выравнивание: lg y = lg a + b lg ex и замену: X = x; Y = lg y. Получим (3.1), где A = lg a; B = b lg e.

В этом случае, очевидно, следует предусмотреть перестроение экспериментальных точек в полулогарифмическом масштабе с последующим анализом полученного графика. Если взять натуральный логарифм, то формула упростится еще больше.

Для зависимостей вида: а)и б)— используются преобразо

где А = b, B = a. В этом случае по осям координатной сетки следует откладывать величины, обратные значениям исходных переменных.

4.

Если предполагаемая эмпирическая зависимость имеет вид

образование выравнивания имеет такой вид: Y = 1/y, X = e-x. Тогда коэффициенты формулы (3.1) Y = A + BX будут A = a, B = b.

Следует иметь в виду, что определенные после выравнивания значения параметров функции f(x, а) минимизируют сумму квадратов отклонений преобразованных величин от линейной зависимости (3.1), а не сумму квадратов отклонений измеренных величин от расчетных. Поэтому такой расчет следует считать лишь определенным приближением к истинно оптимальным значениям коэффициентов.

В случае, если эмпирическая формула предполагается содержащей три параметра, либо известно, что функция трехпараметрическая, иногда удается путем некоторых преобразований исключить один из параметров, а оставшиеся два привести к одной из формул выравнивания.

Можно рассматривать выравнивание не только как метод представления исходных данных, но и как метод непосредственного приближенного определения параметров функции, аппроксимирующей исходный числовой ряд. Зачастую именно так и используется этот метод в некоторых экстраполяционных прогнозах. Отметим, что возможность непосредственного его использования для определения параметров аппроксимирующей функции определяется главным образом видом исходного числового ряда и степенью наших знаний, нашей уверенности относительно вида функции, описывающей исследуемый процесс.

В том случае, если вид функции нам неизвестен, выравнивание следует рассматривать как предварительную процедуру, в процессе которой путем применения различных формул и приемов выясняется наиболее подходящий вид функции, описывающей эмпирический ряд.

Одной из разновидностей метода выравнивания является исследование эмпирического ряда с целью выяснения некоторых свойств функции, описывающей его. При этом не обязательно преобразования приводят к линейным формам. Однако результаты их подготавливают и облегчают процесс выбора аппроксимирующей функции в задачах прогностической экстраполяции. Порядок такого исследования производится с помощью так называемых дифференциальных функций роста.

В простейшем случае предлагается использовать следующие три типа дифференциальных функций роста: Первая производная, или абсолютная дифференциальная функция роста,


На графике y = f(t) она представляется угловым коэффициентом в каждой точке графика; , wдля линейного закона изменения y(t).

Для кривых второго порядка (параболические законы) q(t) имеет линейный характер изменения, для экспоненциальных кривых ф(1) — также экспонента.

Значение ф(1) зависит от выбираемых масштабов измерения показателя и времени.

2. Относительный дифференциальный коэффициент, или логарифмическая производная,

Эту функцию дифференциального роста можно выявить на графике путем построения его в полулогарифмическом масштабе. Тогдабудет представлять собой угловой коэффициент в каждой точке.

Для экспоненциальной зависимостидля степенной функции ф(?) име

ет гиперболический характер.

3. Эластичность функции

На графике динамического ряда, построенном в логарифмическом масштабе, эластичность определится как угловой коэффициент в каждой точке; e(t) = const для степенной функции; для экспоненциальной функции e(t) имеет линейный характер изменения, линейна она также для комбинированной экспоненциально-степенной функции.

Надо отметить, что эластичность e(t) является безразмерной величиной, что позволяет с ее помощью сравнивать характер изменения различных процессов, протекающих в собственных, возможно различных, масштабах времени.

На рис. 3.14 приводятся графики дифференциальных функций роста для всех наиболее употребительных в прогностической экстраполяции аппроксимирующих функций: линейной, параболической, степенной, экспоненциальной, логистической, гиперболической и др. Рассмотрение функций роста показывает, что по их сочетанию можно определить вид производящей их функции.

В качестве процедуры предварительной обработки числового ряда для целей выяснения его свойств предлагается вычислять «характеристики прироста». Для этого вводится понятие среднего прироста числового ряда в точке t, как выше вводилось понятие сглаженной координаты yt. Процедура вычисления Ut аналогична сглаживанию; только в этом случае сглаживаются не сами координаты, а их приращения.

Как известно, приращения некоторойфункции, заданной числовым рядом, определяются конечными разностями рядаКонечные разности, взятые от Ut, на

зываются разностями 2-го порядка и т. д.:

Если сгладить разности, то получим значения средних приростов, которые, очевидно, для различного числа m точек интервала сглаживания будут иметь такой вид:

При сглаживании конечных разностей других порядков будем получать значения средних приростов соответствующих порядкови т. д.

Построение конечных разностей числовых рядов является одним из способов определения порядка аппроксимирующей ряд функции.

Исходя из предполагаемого вида описания динамического ряда (4.1) ^ делается предположение о том, что m-я конечная разность y(t) будет при возрастании m стремиться к некоторому пределу, определяемому дисперсией случайной составляющей n(t). Тогда, еслиможно считать, что функцияимеет m-й порядок.

На практике в связи с ограниченным числом точек ряда, его нестационарностью, случайными выбросами и другими причинами получить такую картину удается весьма редко.

Переход к сглаженным значениям разностей или средним приростам направлен на облегчение достижения гладких характеристик исследуемого ряда.

На основании среднего прироста далее можно попытаться перейти к постоянному уровню или линейной зависимости. Для этого предлагается ряд производных величин и логарифмов от среднего прироста:

Очевидно, некоторые из них соответствуют упомянутым выше дифференциальным функциям роста (cp(?)~ Wi(t); a(t)~ W3(t)); другие расширяют состав характеристик ряда, открывая возможности выравнивания для большого ассортимента видов функций.

По сравнению с дифференциальными функциями роста характеристики средних приростов более приспособлены для анализа числовых рядов, легко поддаются непосредственному вычислению и являются весьма полезным средством выявления свойств аппроксимирующей функции. 

<< | >>
Источник: В.А. Лисичкин, М.В. Лисичкина. Стратегическим менеджмент Учебно-методический комплекс. 2008

Еще по теме Предварительная обработка исходной информациив задачах прогнозной экстраполяции:

  1. Предварительный анализ и оценка уровня неопределенности исходной информации
  2. 1. Исходные данные и предварительные расчеты
  3. 2.7. Виды прогнозной информации
  4. 8.3. Проверка прогнозной финансовой информации
  5. Обработка информации и восприятие
  6. Обработка информации
  7. Глава V ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ
  8. Обработка информации
  9. 4.1. Общая характеристика прогнозно-аналитической информации
  10. Обработка информации
  11. F _ СИСТЕМЫИ ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ
  12. Бизнес-процесс «Обработка информации»
  13. Процессы автоматизированной обработки экономической информации
  14. Подтексты обработки информации коллективным рынком
  15. 5.2. Графическое изображение технологического процесса обработки информации
  16. Методы обработки информации в управленческих решениях
  17. Глава 5. Организация бухгалтерского учета и обработки учетной информации
- Антикризисное управление - Деловая коммуникация - Документоведение и делопроизводство - Инвестиционный менеджмент - Инновационный менеджмент - Информационный менеджмент - Исследование систем управления - История менеджмента - Корпоративное управление - Лидерство - Маркетинг в отраслях - Маркетинг, реклама, PR - Маркетинговые исследования - Менеджмент организаций - Менеджмент персонала - Менеджмент-консалтинг - Моделирование бизнес-процессов - Моделирование бизнес-процессов - Организационное поведение - Основы менеджмента - Поведение потребителей - Производственный менеджмент - Риск-менеджмент - Самосовершенствование - Сбалансированная система показателей - Сравнительный менеджмент - Стратегический маркетинг - Стратегическое управление - Тайм-менеджмент - Теория организации - Теория управления - Управление качеством - Управление конкурентоспособностью - Управление продажами - Управление проектами - Управленческие решения - Финансовый менеджмент - ЭКОНОМИКА ДЛЯ МЕНЕДЖЕРОВ -