<<
>>

2.3.5.1. Понятие о стационарных временных рядах

Как ранее уже отмечалось реализация временного ряда (остаточного) – это выборка типа {…, y-2, y-1, y0, y1, y2, …}. Обычно наблюдения упорядочены во времени — отсюда следует и название: временной ряд, хотя при более тщательном подходе это не всегда так.

В теории его реализация начинается в неопределенном прошлом и продолжается до неопределенного будущего, но на практике, очевидно, наблюдаемые данные - это конечное подмножество реализации временного ряда (y1, …, yN(, которое называют выборочной траекторией. И если бы основная вероятностная структура ряда со временем изменялась, мы были бы обречены — не было бы никакого способа точно предсказать будущее, основываясь на прошлом, потому что законы, действующие в будущем отличались бы от действующих в прошлом. Если мы хотим строить прогнозы значений временного ряда, мы как минимум желаем, чтобы его математическое ожидание и ковариация (то есть ковариация между текущими и прошлыми значениями) были постоянны во времени. В этом случае мы говорим, что рассматриваемый ряд является стационарным в широком смысле. То есть, стационарные в широком смысле временные ряды yt характеризуются тем, что их средние значения Myt, дисперсии Dyt и ковариации g(t) = M[(yt - Myt)(yt+t -Mxt+t)] не зависят от t, для которого они вычисляются.

Стохастический процесс называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если его свойства не зависят от изменения начала отсчета времени. Иными словами, если совместное распределение вероятностей m наблюдений, сделанные в любые моменты времени , такое же, как и для m наблюдений сделанных в моменты времени [21].

Поэтому, чтобы дискретный процесс был строго стационарным, взаимное распределение любой совокупности наблюдений не должно изменяться при сдвиге всех времен наблюдений вперед или назад на любое целое число k.

Другими словами, свойства строго стационарного временного ряда не меняются при изменении начала отсчета времени.

Рассмотрим свойство стационарности временных рядов подробнее. Первое требование стационарности ряда – это постоянство среднего значения ряда во времени. Среднее значение ряда в момент t записывается как

.

Если среднее значение не изменяется с течением времени, как того требует условие стационарности, то мы можем записать

для любых t. Поскольку среднее не изменяется со временем, нет никакой необходимости помечать его индексом времени.

Вторым требованием стационарности ряда является постоянство ковариации во времени. Для отслеживания этого факта используется понятие автоковариационной функции. Автоковариация при сдвиге ? -это ковариация для различных значений одного и того же временного ряда yt и . Значение этой функции будет, конечно, зависеть от ?, но может также зависеть от t, поэтому в общем случае пишут

.

Если ковариация не зависит от времени, как того требует условие стационарности, а зависит только от величины сдвига по времени ?, то мы можем записать , для любого t.

Автоковариационная функция важна, потому что она отражает основное понятие циклической динамики в стационарном ряде. Исследуя автоковариационную структуру ряда, мы узнаем о ее поведении в изменяющихся условиях. Это весьма удобно сделать, исследуя график поведения автоковариации как функции от ?. Обратим внимание на то, что автоковариационная функция симметричная; то есть для всех ?. Как правило, мы рассматриваем только неотрицательные значения ?. Симметрия отражает тот факт, что автоковариация стационарного ряда зависит только от смещения. Не имеет значения, смещаемся мы вперед или назад. Обратите внимание также, что = D (yt, yt) = D (yt).

Еще одно специальное требование стационарности – требование конечности дисперсии ряда (автоковариация при нулевом смещении ). Можно показать, что никакая автоковариация не может быть больше по модулю чем , так если < ?, то также ведут себя и все остальные автоковариации.

Может показаться, что требования для стационарности весьма строгие и не предвещают ничего хорошего для наших прогностических моделей, почти все из которых требуют, так или иначе, стационарность.

На самом деле, многие экономические, деловые, финансовые ряды и т.д. – не являются стационарными. Тенденция к росту, например, соответствует устойчиво увеличивающемуся среднему значению, а сезонность предполагает изменение среднего значения в зависимости от периода времени года. Оба случая – примеры нарушения стационарности.

Но хотя многие ряды не стационарны, часто бывает возможно работать с моделями, которые дают специальную интерпретацию нестационарным компонентам вроде тенденции и сезонности, так, чтобы циклический компонент, вероятно, оставался стационарным. Мы часто принимаем эту стратегию. Для этого с помощью простых преобразований можно привести нестационарные ряды к стационарному виду. Например, многие ряды, которые являются определенно нестационарными в абсолютных единицах (уровнях), выглядят стационарными в относительных (темпах роста). Для этого используются специальные процедуры, именуемые интегрированием динамических рядов.

Кроме того, хотя стационарность требует, чтобы средние и ковариации были устойчивыми и конечными, она не накладывает никаких ограничений на другие характеристики распределения ряда, например, асимметрию и эксцесс. По этой причине, такую стационарность часто называют стационарностью второго порядка, или слабой стационарностью. Таким образом, работаем ли мы непосредственно в уровнях и включаем специальные компоненты для нестационарных элементов наших моделей, или мы работаем на преобразованных данных типа темпов роста, предположение о стационарности не столь нереалистично, как это может показаться.

Вспомним, что корреляция между двумя случайными переменными x и у (коэффициент парной корреляции) определяется как

corr (x, y)=rxy = .

То есть корреляция переменных x и y – это просто их ковариация, "нормализованная", или "стандартизированная", произведением стандартных отклонений x и y. И корреляция, и ковариация - меры измерения тесноты линейной связи между двумя случайными переменными. Тем не менее, корреляция часто бывает более информативна и легко интерпретируется, потому что конструкция коэффициента корреляции гарантирует, что corr(x, y) ?[-1,1], в то время как ковариация между теми же самыми двумя случайными переменными может принимать любое значение.

Корреляция, кроме того, не зависит от единиц, в которых переменные x и у измерены, тогда как ковариация зависит. Вследствие лучшей интерпретируемости корреляции по сравнению с ковариацией, исследователи часто работают с корреляцией охотнее, чем с ковариацией, между yt и yt-?.. То есть работа с функцией автокорреляции, ????, предпочтительней, чем с функцией автоковариации, . Функцию автокорреляции можно получить, разделив автоковариационную функцию на дисперсию

Формула для автокорреляции - это обычная формула корреляции, только для измерения тесноты взаимосвязи между членами одного и того же временного ряда, т.е. между yt и yt-?. Это объясняется тем, что дисперсия yt равна , и вследствие стационарности, дисперсия yt в любое другое время yt-? - также . Таким образом,

.

Следует иметь в виду, что ? (0) = = 1, потому что любой ряд совершенно коррелируется сам с собой. Таким образом, только значения автокорреляции при ненулевых сдвигах информируют нас относительно динамической структуры рядов.

Наконец, иногда полезной является частная автокорреляционная функция, р(?), так как р(?) - только коэффициент при yt-? в совокупности линейной регрессии yt на yt-1.,…, yt-?. Такие регрессии именуют авто- регрессиями, потому что переменная регрессирована на своих же лаговых значениях. Легко видеть, что автокорреляция и частная автокорреляция, хотя и связаны, но отличаются важным образом. Автокорреляции - только "простые" или "регулярные" корреляции между yt и yt-?. Частные автокорреляции, с другой стороны, измеряют тесноту взаимосвязи между yt и yt-? при устранении влияния промежуточных членов yt-1 ,…, yt-?+1 этого ряда; то есть они измеряют “очищенную” корреляцию между yt и yt-?.

Можно показать, что любой стационарный ряд должен иметь автокорреляционную и частную автокорреляционную функции, которые каким либо образом приближаются к 0 при увеличивающемся смещении.

Понятие белого шума в моделях динамики временных рядов

Перед тем, как оценить параметры прогностической модели временного ряда, необходимо изучить ее совокупные свойства, предполагая, что выбранная модель значима.

Простейшим из такого рода процессов временного ряда является основным стандартным блоком, из которого можно получить все остальные процессы. Записать его можно следующим образом yt = ?t, где ?t ? (0, ?2) и ?t некоррелирован во времени. В данной ситуации говорят, что ?t, и следовательно, уt, последовательно (серийно) некоррелированны (т.е. отсутствует корреляция внутри ряда). Во всех ситуациях, если не установлено другое, мы будем полагать, что ?2 < ?. Такой процесс, с нулевым математическим ожиданием, постоянной конечной дисперсией и отсутствием корреляции внутри ряда, называется белым шумом с нулевым средним, или просто белым шумом. Иногда для краткости пишут ?t ? WN (0, ?2) и следовательно уt ? WN (0, ?2).

Следует обратить внимание, что ?t и аналогично yt, последовательно некоррелированны, но они необязательно последовательно независимы, потому что они необязательно распределены нормально. Если в добавлении к последовательной некоррелированности уt является и серийно независимым, тогда мы можем сказать, что уt – это независимый белый шум. Таким образом, записывается

и говорится, что “значения уt независимо и одинаково распределены с нулевым математическим ожиданием постоянной дисперсией”. Если в ряду уt отсутствует корреляция и ряд распределен нормально, то из этого следует, что ряд уt также независимо распределен. Тогда мы говорим, что уt – это нормальный белый шум, или белый шум Гаусса: . Мы читаем “ уt – это независимо, одинаково нормально распределенный ряд с нулевым средним и постоянной дисперсией” или просто “Гауссовский белый шум” [69].

Возмущения в регрессионной модели рассматриваются как белый шум в том или ином роде. Тем не менее, имеется одно важное различие. Возмущения в регрессионной модели не поддаются наблюдению, тогда как временные ряды наблюдаемы. Позже, тем не менее, мы увидим, как все наши модели для наблюдаемых рядов могут быть применены для не поддающихся наблюдению переменных, таких как регрессионные возмущения.

Охарактеризуем динамическую стохастическую структуру белого шума уt ? WN (0, ?2).

По построению, безусловное математическое ожидание уt будет М(уt) = 0, а безусловная дисперсия D (уt) = ?2.

Чтобы полностью понять линейную динамическую структуру стационарного процесса временного ряда, нам требуется рассчитать и проверить его среднее значение и автоковариационную функцию. Так как белый шум, по определению, некоррелирован во времени, все автоковариации и, следовательно, все автокорреляции, равны нулю, за исключением значения, зависящего от нулевого сдвига. Формально автоковариационная функция для процесса белого шума записывается так

.

Автокорреляционная функция для этого процесса запишется следующим образом

.

Рассмотрим частную автокорреляционную функцию (ЧАКФ) для рядов содержащих белый шум. Так как АКФ при сдвиге равном 0 всегда равна 1, ЧАКФ при нулевом смещении принимает то же значение. Для белого шума, все значения ЧАКФ при больших, чем нуль, сдвигах равны нулю. Это следует опять-таки из того, что белый шум, по построению, серийно некоррелирован. Совокупные регрессии yt на yt-1, или на yt-1 и yt-2, или на другие лаги, приводит к нулевым коэффициентам, потому что процесс серийно некоррелирован. Формально, ЧАКФ процесса белого шума записывается так

.

Это снова вырожденная функция и выглядит так же как АКФ.

Из определения процесса типа «белый шум» ясно, что попытки спрогнозировать независимый белый шум, обречены на провал. Так как мы не можем сказать, что происходит с рядом, содержащим белый шум в любое время, не связанное с прошлым, и аналогично, что происходит в будущем, не связанным с настоящим или прошлым. Но понимание белого шума чрезвычайно важно как минимум по двум причинам. Во-первых, процессы с более ощутимой динамикой получаются простой трансформацией белого шума. Во-вторых, ошибки прогноза на один период вперед должны быть белым шумом. Так как, если эти ошибки не являются белым шумом, то они коррелированны, что означает, что прогностическая модель построена некорректно, а если это имеет место, то прогноз не может быть хорошим. Поэтому важно понимание и распознавание этого явления.

Таким образом, мы охарактеризовали белый шум через его среднее значение, дисперсию, АКФ и ЧАКФ. Другая характеристика динамики с важными выводами для прогнозирования, включает среднее и дисперсию процесса, обусловленные прошлой истории этого процесса. В частности, мы часто можем понять сущность динамики процесса, анализируя его условное математическое ожидание, которое является ключевым объектом для прогнозирования. Для сравнения безусловных и условных математических ожиданий и дисперсий, чтобы облегчить нашу попытку, рассмотрим пример независимого белого шума, с теми же аргументами: безусловным средним 0 и безусловной дисперсией ?2. Рассмотрим теперь условные среднее и дисперсию, где исходными ретроспективными данными является информационное множество ?t-1, которое по существу содержит или прошлую историю наблюдаемого ряда, т.е. ?t-1 = {…yt-1, yt-2,…}, или прошлую историю возмущений ряда, т.е. ?t-1 = { ?t-1, ?t-2,… }. В сравнении с безусловными средним и дисперсией, которые должны быть постоянными, согласно требованиям стационарности, условные среднее и дисперсия необязательно постоянные, и в общем случае мы должны считать их непостоянными. Для независимого белого шума условное среднее имеет вид М(yt | ?t-1) = 0,

а условная дисперсия выглядит как

D(yt | ?t-1) = М[(yt – М(yt | ?t-1))2 | ?t-1] = ?2.

Условные и безусловные дисперсии и средние идентичны для рядов, содержащих белый шум. Рассматриваемый процесс не содержит динамики и, следовательно, нет динамики в условных моментах, которую можно моделировать.

Понятие оператора лагового сдвига

Оператор сдвига и связанные с ним структурные компоненты – это язык, на котором описываются прогностические модели [3, 56, 58, 69]. Оператор сдвига, обозначим его символом L, оперирует рядом, вводя в него запаздывания (лаги), так что

Lyt = yt-1.

Аналогично,

L2yt = L(L(yt)) = L(yt-1) = yt-2

и так далее. Однако в общем случае будем говорить, что речь идет об использовании полиномов от оператора сдвига. Полином от оператора сдвига степени m - это линейная функция различных степеней L до m-й степени

B (L) = b0 + b1L + b2L2 + … +bmLm.

Пример полинома от оператора сдвига m-й степени, оперирующего с рядами, напрмер, Lm yt = yt – m. Хорошо известный оператор разности первого порядка ? - это в действительности полином первой степени от оператора сдвига:  = (1 – L)yt = yt – yt – 1.

Например, если необходимо рассмотреть полином второй степени от оператора сдвига вида (1 + 0.78L + 0.65L2), оперирующего с рядом yt. Эквивалентно это условие можно записать как равенство

(1 + 0.78L + 0.65L2) yt = yt + 0.78 yt-1 + 0.656 yt-2 ,

которое представляет собой взвешенную сумму, или распределенный лаг, настоящих и прошлых значений ряда yt.

Все ранее рассмотренное относится к полиномам конечной степени. Полином бесконечного порядка можно записать так

B(L) = b0 + b1L + b2L2 + … = .

Таким образом, например, для представления распределенного лага текущих и прошлых возмущений бесконечного порядка, можно записать

B(L) ?t = b0?t + b1?t-1 + b2?t-2 + … = .

Модели, содержащие бесконечное количество распределенных лагов, занимают центральное место в моделировании и прогнозировании временных рядов. Это находит выражение в так называемой теореме Уолда [39, 61, 74].

Многие модели временных рядов не противоречат условиям стационарности. Так что, если мы знаем, что ряд стационарен, это ещё не дает четкого ответа на вопрос, какой вид модели мы можем применить для описания динамики ряда. Тренд и сезонные модели, которые мы уже изучили, здесь неприменимы, так они описывают специфические нестационарные компоненты. Исследователю необходима подходящая модель для имитации стационарных остатков динамического ряда. Теорема о представлении Уолда указывает на соответствующий вид модели.

Теорема. Пусть {yt} будет любым стационарным процессом с нулевым средним, не содержащим никаких детерминированных компонент. Тогда этот процесс можно записать как

yt = B(L)?t = , где ?t ? WN (0, ?2), при b0 = 1 и .

Иначе говоря, моделью для любого стационарного ряда является бесконечно распределенный лаг белого шума, называемый представлением Уолда. Такое представление ряда называется - общим линейным процессом. Общим, потому что любой стационарный ряд может быть записан в такой форме, а линейный, потому что представление Уолда изображает ряд в виде линейной комбинации его инноваций (т.е. его предшествующих значений).

Ввиду особой важности для прогнозирования общего линейного процесса рассмотрим его условные и безусловные моменты. Зная средние и дисперсии по ряду, мы легко можем получить его безусловные моменты, т.е. математическое ожидание ряда

М(yt) = М = = = 0

и дисперсию ряда

D(yt) = D = = .

Условное математическое ожидание ряда определяется как

М(yt | ?t-1) = М(?t | ?t-1) +b1М(?t-1 | ?t-1) + b2М(?t-2 | ?t-1) +….=

= 0 + b1?t-1 + b2?t-2 +…=

и условная дисперсия ряда

D(yt | ?t-1) = М[ (yt – М(yt | ?t-1))2 | ?t-1] = М(?t 2| ?t-1) = М(?t 2) = ?2.

Существенным является то, что условное среднее смещается во времени в ответ на изменение информационного пространства. Модель фиксирует изменения процесса, и изменяющееся среднее – это один из способов интегрировать эти изменения. Важная цель при моделировании временных рядов, особенно для прогнозистов, - это уловить динамику условного среднего (т.к. безусловное среднее постоянно, это один из признаков стационарности ряда), а условное среднее изменяется в ответ на эволюцию исходного информационного пространства.

Рациональные распределенные Лаги

Модели с бесконечным количеством распределенных лагов не используются непосредственно, потому что содержат бесконечное количество параметров, что препятствует практическому применению. Но они могут быть преобразованы в конечные. Бесконечный полином B(L) может, например, быть частным от деления конечных полиномов (и, возможно, очень малого порядка). Такие полиномы называются рациональными полиномами, а распределенные лаги, полученные из этих полиномов, называются рациональными распределенными лагами.

Предположим, например, что , где степень полинома в числителе определяется как q, а в знаменателе - полином степени р. Таким образом, у полинома B(L) не бесконечное количество параметров, а только p+q (число параметров ? и ?).

Более реалистичным является случай, когда B(L) не точно, а приближенно рациональный полином

.

Тогда мы можем аппроксимировать представление Уолда, используя рациональный распределенный лаг. Рациональные распределенные лаги представляют модели циклов, которые экономичны относительно параметров, в то же время являются точным приближением к представлению Уолда.

Оценка и вывод среднего, автокорреляционной и частной автокорреляционной функций

Предположим, что у нас есть выборка данных временного ряда, и мы не знаем вида модели, которая генерирует эти данные, т.е. среднее, АКФ, или ЧАКФ, связанные с истинной моделью. Вместо этого, мы хотим использовать данные, чтобы оценить среднее, АКФ и ЧАКФ, которые мы можем потом использовать, чтобы помочь нам изучить лежащую в основе динамику, а потом решить, какая модель или набор моделей нам подходят.

Оценка выборочного среднего

Среднее стационарного ряда определяется как ? = Мyt. Основной принцип оценивания, который называется принципом аналогии, предполагает, что мы улучшаем формулу оценки (оценочную функцию) путем замещения математического ожидания выборочными средними. Так что наша оценка среднего совокупности, представленной как выборка размерностью Т, называется выборочным средним

.

Обычно нас прямо не интересует оценка среднего, но она нужна для оценки автокорреляционной функции.

Оценка выборочной автокорреляции

Значение автокорреляции при сдвиге уровней ряда на величину ? для стационарных рядов уt равно

.

Применяя принцип аналогии, получим в результате оценочную формулу

.

Эта формула, которая выглядит как функция от ?, называется выборочной автокорреляционной функцией, а ее графическое представление коррелограммой. Заметим, что некоторые суммы начинаются с t= ? + 1, а не с t= 1; это необходимо из-за наличия в формуле yt-?. Обратим внимание на то, что производится деление одних и тех же суммы на Т, хотя в сумме только (Т- ?) членов, т.е. происходит некоторое искажение числа степеней свободы. Деление на Т или на (Т- ?) дает почти одинаковый результат в виду более чем существенной разницей между Т и ?, поэтому для практических целей это не имеет большого значения; кроме того, есть хорошие математические причины для предпочтения деления на Т.

Часто требуется оценить, является ли исследуемый ряд возможной аппроксимацией к белому шуму, тогда можно сказать, равны ли нулю автокорреляции в совокупности. Лучшим результатом будет ряд белого шума. Тогда распределение выборочных автокорреляций в больших выборках будет

?.

Выборочные автокорреляции ряда, содержащего белый шум, распределены приблизительно нормально, а нормальное распределение всегда “удобное” распределение. Среднее значение равно 0, и это говорит о том, что выборочные автокорреляции являются несмещенными оценками автокорреляции генеральной совокупности, которая на самом деле равна 0. Дисперсия выборочных автокорреляций приблизительно равна (стандартное отклонение ? ). Выясним, является ли ряд белым шумом, то есть, равны ли все автокорреляции 0 одновременно. Простое расширение позволяет нам проверить эту гипотезу.

Перепишем выражение ? как . Возведя в квадрат обе части, получим .

<< | >>
Источник: О.М. Писарева. Методы социально-экономического прогнозирования: Учебник/ГУУ - НФПК, М., с.. 2003

Еще по теме 2.3.5.1. Понятие о стационарных временных рядах:

  1. 3.6.2. Стационарный временной ряд и его характеристики
  2. 7.1. МОДЕЛИ СТАЦИОНАРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  3. 9.1 Понятие о рядах динамики и их виды
  4. 2. Критерии определения МНК и дифференциация в их рядах
  5. Средние показатели в рядах динамики и методы их исчисления
  6. Гпава 7 ПОНЯТИЕ ВРЕМЕНИ В УПРАВЛЕНИИ
  7. Методы анализа основной тенденции (тренда) в рядах динамики
  8. Термины и понятия, характеризующие временные границы страхования и заключение договора страхования
  9. Учет времени работы персонала. Показатели использования рабочего времени
  10. Учет времени работы персонала. Показатели использования рабочего времени
  11. Факторы времени и стоимость времени
  12. Компоненты временных рядов
  13. 7.2.2. Модели интегрированных временных рядов
  14. Содержание понятия и сущность экономической категории «труд» Понятие о труде
  15. Статья 5. Случаи обеспечения пособием по временной нетрудоспособности
  16. 7.2. МОДЕЛИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  17. 2.3.5. Выделение циклических составляющих временных рядов
- Бюджетная система - Внешнеэкономическая деятельность - Государственное регулирование экономики - Инновационная экономика - Институциональная экономика - Институциональная экономическая теория - Информационные системы в экономике - Информационные технологии в экономике - История мировой экономики - История экономических учений - Кризисная экономика - Логистика - Макроэкономика (учебник) - Математические методы и моделирование в экономике - Международные экономические отношения - Микроэкономика - Мировая экономика - Налоги и налолгообложение - Основы коммерческой деятельности - Отраслевая экономика - Оценочная деятельность - Планирование и контроль на предприятии - Политэкономия - Региональная и национальная экономика - Российская экономика - Системы технологий - Страхование - Товароведение - Торговое дело - Философия экономики - Финансовое планирование и прогнозирование - Ценообразование - Экономика зарубежных стран - Экономика и управление народным хозяйством - Экономика машиностроения - Экономика общественного сектора - Экономика отраслевых рынков - Экономика полезных ископаемых - Экономика предприятий - Экономика природных ресурсов - Экономика природопользования - Экономика сельского хозяйства - Экономика таможенного дел - Экономика транспорта - Экономика труда - Экономика туризма - Экономическая история - Экономическая публицистика - Экономическая социология - Экономическая статистика - Экономическая теория - Экономический анализ - Эффективность производства -