<<
>>

2.3.4. Выделение сезонной составляющей временных рядов

Часто на практике встречаются процессы, носящие периодический характер и связанными с определенной циклической природой тех или иных социально-экономических явлений. После формального исключения из соответствующих исходных уровней статистического ряда уровней, определяемых общей долгосрочной тенденцией развития (тренда), исследователь в качестве материала своего изучения имеет остаток по ряду наблюдений – вектор еt.

Ранее мы полагали его случайно распределенным с известным математическим ожиданием и дисперсией (Mеt = 0, ). Часто даже визуального наблюдения за распределением уровней ряда бывает достаточно, чтобы заметить тенденции в их разбросе, колебания относительно некого среднего уровня. В этой связи может возникнуть мысль о наличии в ряду остатков возможной зависимости от фактора времени t, которая может фактически носить как циклическую, так и сезонную природу. Однако, несмотря на различную природу такого рода явлений, на принципиальную разницу их генезиса, формально мы можем попытаться идентифицировать произвольные колебательные движения социально-экономических процессов с помощью схожего аппарата формализации, в частности, попытаться представить изучаемый ряд (для дальнейшего рассмотрения примем вновь обозначение yt) разложением Фурье.

Пусть имеется N наблюдений над переменной Y (для упрощения дальнейших выкладок примем, что N - четное).

m – период колебаний, т.е. промежуток времени, через который наша искомая функция в точности повторит свои значения.

За исходное примем, что в N укладывается целое число (h) периодов длины m, т.е. h = N/m или N=hm. Например, если аналитик изучает динамику некоторого явления, описанного показателем Y за три года с помесячной регистрацией статистики, то в наших обозначениях это запишется следующим образом: длина наблюдаемого ряда N=36 месяца; предполагаемая длина периода m=12; целое число периодов наблюдаемой статистики h=3).

Заданную числовую последовательность Yt можно попытаться представить в виде:

yt = f(t) + ?t, где

?t – случайная составляющая изучаемого ряда (M?t = 0, );

f(t) – некоторая периодическая функция с периодом m.

Утверждение.

Если числовая последовательность y1, y2, … yN имеет период m, тогда эту последовательность можно представить как сумму m периодических тригонометрических функций, имеющих период m и меньше. Иначе говорят: функция f(t) разложима в ряд Фурье вида:

(2.3.7),

где ?i(t) – i-я тригонометрическая функция.

Перед тем, как провести данное преобразование, сделаем ряд замечаний, касающихся особенности представления данной функции f(t).

1). Заметим, что любой колебательный процесс можно представить в виде синусоиды общего вида:

f(t) = ? sin(?t + ?),

где ? - амплитуда; ? - частота; ? - фаза.

Попытаемся без потери информативности представления несколько упростить вид исходного представления.

1. Для ликвидации начального фазового сдвига, синусоиду можно представить в виде аддитивного разложения на элементарные функции косинуса и синуса той же исходной частоты, т.е.

, где

a1 = ?cos?; a2 = ?sin?;

.

2. Рассматривая пары функций косинуса и синуса одинаковой частоты ?, представим её как , где j=0, 1… - целые номера гармоники. Сами сопряженные тригонометрические функции в свою очередь примут следующий вид: , . Эти тригонометрические функции имеют период (и рабочую частоту ), в чем не трудно убедиться:

,

.

Итак, рассмотрим представленные функции (2.3.7) с учетом возможных отмеченных выше преобразований 1 и 2, а также учитывая влияние на модификацию преобразования номера текущей гармоники j:

Для первой гармоники ряда j=0 имеем:

.

Таким образом, первая пара компонент функции (2.3.7) примет вырожденный вид: ?0(t) = 1.

Далее для гармоник j=1, 2, представление компонент стандартно (всего (m-2) функций) и имеет вид:

.

Так, например, при j=1 имеем:

и т.д.

В последнюю гармонику с номером войдут функции:

Таким образом, последняя m-я пара компонент функции (2.3.7) принимает так же вырожденный вид:

?m-1(t) = (-1)t.

Т.о., окончательно имеем регрессию на тригонометрические функции следующего вида:

(2.3.8), где

?t – случайная составляющая ряда (M?t = 0, );

Нетрудно показать, что если длина периода - m нечетна, то, слагаемое функции (2.3.8) исчезает.

В результате всех преобразований мы получили линейную регрессию на элементарные тригонометрические функции синуса и косинуса, где а0…аm-1 – неизвестные параметры, а cos(?t) и sin(?t) – независимые вектора матрицы входных переменных задачи.

Для оценки параметров модели (2.3.8) воспользуемся известным соотношением:

(2.3.9), где

Z – расширенная матрица экзогенных переменных задачи;

Y – вектор эндогенной переменной задачи.

Для большей наглядности дальнейших преобразований полезно представлять содержательно структуру данных матрицы Z, изобразим ее на рисунке 3

. Рисунок 3.

Структура расширенной матрицы экзогенных переменных Z

Для применения стандартной процедуры оценки параметров линейной регрессии (2.3.9) следует найти значения ZTZ и ZTY. Зная структуру матрицы экзогенных переменных Z, нетрудно заметить, что отыскание этих значений сводится к поиску значения сумм:

.

Найдем их. Для этого воспользуемся известными соотношениями для определения экспонент с комплексным аргументом:

Следствием приведенных соотношений являются известные формулы Эйлера:

Для проведения дальнейших вычислений определим сумму:

, где

Рассмотрим S1 и S2 (значения этих сумм зависят от соотношения значений индексов гармоник j и k). Заметим также, что сумма S может состоять из двух частей: вещественной и мнимой.

1). Пусть j?k.

Представим S1 в виде суммы m членов геометрической прогрессии .

Очевидно, что перед нами геометрическая прогрессия с начальным членом и таким же значением знаменателя. Следовательно, её сумму можно представить следующим образом:

(2.3.10).

В силу того, что числитель суммы (2.3.10) дроби равен 0, значение S1=0. Аналогично, не трудно показать, что S2=0. Следовательно, в случае, когда j?k S=0.

2). Для ситуации одинаковых индексов гармоник j и k, при условии, что легко получаем: S1=0; S2=m, т.е. .

3)  Если индексы гармоник равны и имеют их крайние значения, т.е. , имеем:

.

Таким образом, S=m.

Итак, окончательно получим:

Т.к. во всех случаях (1), (2), (3) значения S – вещественные, а не мнимые числа, то

Кроме того, нетрудно показать, что

.

Аналогично приведенным выше вычислениям, можем получить:

.

Все сделанные выше вычисления дают возможность легко воспользоваться формулой (2.3.9) для оценки параметров тригонометрического тренда с помощью метода наименьших квадратов. При этом промежуточные расчеты дают возможность получить следующие значения:

Таким образом, если то в окончательном виде значения вектора оценок параметров тригонометрического тренда (2.3.8) принимает следующий вид.

;

.

Проведем дисперсионный анализ результатов нашего эконометрического оценивания.

Попытаемся найти ответ на вопрос о существенности, построенной регрессионной модели в целом и отдельных ее параметров.

Сформулируем основную оцениваемую гипотезу следующим образом: , альтернативную: . Таким образом, если статистическое тестирование покажет принятие нулевой гипотезы, то циклическая составляющая временного ряда может быть признана не существенной, т.е. в практике построения прогноза ей можно пренебречь.

Ранее было показано, что , где

,

,

.

С учетом того, что без потери информативности вектор эндогенной переменной в рамках рассматриваемой модели может быть центрирован с тем, чтобы , в нашем случае имеют место следующие соотношения:

, т.е. .

Проверку H0 можно осуществить с помощью известного критерия Фишера, для этого следует сравнить значения его расчетного и критического уровней для заданной величины уровня значимости , т.е.:

и .

Если Fp > Fкр, то H0 отвергается, т.е. циклическая составляющая существенна и результаты оценивания циклической составляющей временного ряда могут быть использованы для изучения ее прогностической пригодности.

Покажем, как можно практически оценить с учетом ранее полученных результатов оценивания сумм рядов синусов и косинусов соответствующих частот.

Отдельно оценим значения компонент полученной суммы.

;

;

Аналогично не трудно показать, что .

Таким образом, окончательно сумма квадратов отклонений циклической составляющей от средней по ряду составит:

Провести проверку на значимость отдельных коэффициентов функции циклического тренда можно, например, на базе t-критерия Стьюдента либо критерия ?2. Как проверить на значимость частные коэффициенты циклического тренда?

1). Проверка по t-критерию осуществляется традиционным способом, путем сравнения расчетного и критического уровней t-статистики для интересующего i-го параметра уравнения регрессии т.е., и .

2). Проверка на значимость всех коэффициентов, кроме 0-го и (m-1)-го слагаемого функции (2.3.8) может осуществляться путем оценивания существенности соответствующей j-й гармоники.

Проверка основной гипотезы Но: ?j=0 () проводится на основе критерия ?2 (; ) или критерия Фишера (; ).

Построение доверительного интервала прогноза на основе циклического тренда на заданный период tp требует оценки дисперсии случайной по динамическому ряду yt, а также дисперсии тренда, т.е.

1). Дисперсия случайной по динамическому ряду yt оценивается следующим образом:

; .

2). Вычислим дисперсию прогноза по тренду:

.

С учетом полученных ранее значений оценок циклического тренда получим следующий результат:

Аналогично .

Таким образом, дисперсия модели прогнозирования может быть представлена следующим образом:

Тогда общая дисперсия ошибки прогноза примет вид:

Окончательно оценку доверительного интервала прогноза можно провести следующим образом:

.

<< | >>
Источник: О.М. Писарева. Методы социально-экономического прогнозирования: Учебник/ГУУ - НФПК, М., с.. 2003

Еще по теме 2.3.4. Выделение сезонной составляющей временных рядов:

  1. 2.3.5. Выделение циклических составляющих временных рядов
  2. 2.3.5.3. Прогнозирование циклических составляющих временных рядов
  3. Компоненты временных рядов
  4. 7.1. МОДЕЛИ СТАЦИОНАРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  5. 7.2. МОДЕЛИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  6. 3.6. МОДЕЛИ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  7. 2.3. Моделирование и прогноз временных рядов
  8. 7.2.1. Модели временных рядов с детерминированным трендом
  9. 7.2.2. Модели интегрированных временных рядов
  10. ГЛАВА 7 ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  11. КЛАЙВ У. ДЖ. ГРЭЙНДЖЕР ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  12. 2.3.1. Особенности представления и моделирования временных рядов
  13. 3.6.1. Определение и основные свойства временных рядов
  14. 2.3.2. Основы тестирования временных рядов
- Бюджетная система - Внешнеэкономическая деятельность - Государственное регулирование экономики - Инновационная экономика - Институциональная экономика - Институциональная экономическая теория - Информационные системы в экономике - Информационные технологии в экономике - История мировой экономики - История экономических учений - Кризисная экономика - Логистика - Макроэкономика (учебник) - Математические методы и моделирование в экономике - Международные экономические отношения - Микроэкономика - Мировая экономика - Налоги и налолгообложение - Основы коммерческой деятельности - Отраслевая экономика - Оценочная деятельность - Планирование и контроль на предприятии - Политэкономия - Региональная и национальная экономика - Российская экономика - Системы технологий - Страхование - Товароведение - Торговое дело - Философия экономики - Финансовое планирование и прогнозирование - Ценообразование - Экономика зарубежных стран - Экономика и управление народным хозяйством - Экономика машиностроения - Экономика общественного сектора - Экономика отраслевых рынков - Экономика полезных ископаемых - Экономика предприятий - Экономика природных ресурсов - Экономика природопользования - Экономика сельского хозяйства - Экономика таможенного дел - Экономика транспорта - Экономика труда - Экономика туризма - Экономическая история - Экономическая публицистика - Экономическая социология - Экономическая статистика - Экономическая теория - Экономический анализ - Эффективность производства -