<<
>>

2.3.3.2. Аналитические методы сглаживания временных рядов

Обнаружение исследователем факта присутствия во временном ряду вековой составляющей делает насущной задачу оценки параметров модели тренда. Т.е., модели вида , где

- «вековой уровень», тренд, или систематическая составляющая (неслучайная функция времени) ряда (далее здесь - f(t));

 - несистематическая случайная составляющая ряда с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .

Обычно в ходе применения процедур выделения тренда из уровней временного ряда предполагается, что разница между фактическим значением уровня и трендом может включать в себя в самом общем случае циклическую, сезонную компоненты, а также случайные колебания.

В этой связи желательно сузить круг допустимых аппроксимирующих кривых.

Можно попытаться оценить тенденцию визуально, однако, как правило, это приводит к качественным суждениям типа: «Наблюдается рост». Или в лучшем случае: «Наблюдается плавный рост». Более конструктивно вид функции тренда подбирают исходя из типа роста исследуемого процесса, опираясь на предварительно рассчитанные показатели абсолютного цепного прироста и ускорения. Несмотря на многообразие реальных экономических процессов, динамические характеристики которых могут существенно отличаться друг от друга, ограничить класс функций можно, отобрав те, которые отражают особенности динамики показателя, прежде всего тип развития. На практике различают четыре основных типа экономического роста (аналогичная классификация может быть применена и для динамических рядов со снижающимися значениями абсолютного цепного прироста [26, 57]):

I – постоянный рост (с постоянным или близким к нему абсолютным цепным приростом);

II – увеличивающийся рост (с увеличивающимся абсолютным цепным приростом);

III – уменьшающийся рост (с уменьшающимся абсолютным цепным приростом);

IV – рост с качественными изменениями динамических характеристик на протяжении исследуемого периода.

Для каждого типа роста наиболее часто в практике экономических исследований встречаются следующие виды функций трендов.

I тип роста 1.

Линейная функция: f(t)= ?0+?1t. 2.

Линейно-гиперболическая функция: f(t)= ?+?t+?/t, где ?>0; ?>0. 3.

Линейно-логарифмическая функция 2-го порядка:

f(t)= ?0+?1ln(t)+ ?2ln2(t),

где ?1>0; ?2>0.

II тип роста 1.

Показательная функция: f(t)= ?(1+?)t, где ?>0; ?>0. 2.

Парабола 2-го порядка: f(t)= ?0+?1t+?2t2, где ?1>0; ?2>0. 3.

Парабола 3-го порядка: f(t)= ?0+?1t+?2t2+?3t3,

где ?1>0; ?2>0; ?3>0. 4.

Обобщенная функция: f(t)=,

где ?(?) - линейная, параболическая или другая функция, ? >0.

III тип роста 1.

Степенная функция: f(t)= ?t?, где ?>0; 0Линейно-логарифмическая функция: f(t)= ?0+?1ln(t), где ?1>0. 3.

Парабола 2-го порядка: f(t)= ?0+?1t+?2t2, где ?1>0; ?2>0. 4.

Гипербола 1-го порядка: f(t)= ?0+?1/t, где ?1<0. 5.

Гипербола 2-го порядка: f(t)= ?0+?1/t +?2/t2 , где ?1<0; ?2<0. 6.

Модифицированная экспонента: f(t)=?+?e-t, где ?<0.

IV тип роста 1.

Линейно-логарифмическая функция 2-го порядка:

f(t)= ?0+?1ln(t)+ ?2ln2(t),

где ?1>0; ?2>0. 2.

Парабола 3-го порядка: f(t)= ?0+?1t+?2t2+?3t3,

где ?1>0; ?2>0; ?3>0. 3.

Логистическая функция: f(t)=, где ?>0; ?>0; ?>0. 4.

Первая функция Торнквиста: f(t)=, где ?>0; ?>0. 5.

Кривая Гомперца: f(t)=???t, где ?>0; ?>0; ?>0.

Для анализа особенностей трендовых моделей применимы следующие предельные (непрерывные) характеристики развития: 1)

непрерывный абсолютный прирост: = dQ(t)/dt; 2)

непрерывный темп прироста: ; 3)

непрерывное абсолютное ускорение: ; 4)

непрерывное относительное ускорение: .

Оценивание параметров функции линейного тренда

Оценка параметров трендовых моделей может быть осуществлена методом наименьших квадратов или методом минимизации суммы модулей отклонений (для линейных и линеаризуемых моделей), градиентным методом, методом Гаусса-Ньютона или методом Марквардта (для нелинейных моделей). В общем случае при оценивании нелинейных трендовых зависимостей используют чаще всего последний метод.

Однако использование этих методов наталкивается на ряд трудностей, одна из которых - выбор подходящей точки начального приближения. Поэтому задачу оценивания на практике все же пытаются свести к задаче оценки линейной регрессии. Поэтому обоснованным является использование известного [25, 31, 32и др.] соотношения

(2.3.6)

для оценки параметров модели. Где вектор У - не что иное как исходный динамический ряд уt , а матрица Z (расширенная матрица независимых экзогенных наблюдений) состоит из единичного вектор-столбца и вектора времени (в случае простой линейной связи). Исходя из результатов интервального оценивания прогноза, построенного для случая многофакторной регрессии (см. соответствующий раздел Учебного пособия), в основу формулы доверительного интервала прогноза по тренду берется соотношение

, так что ,

где в случае простой линейной зависимости компоненты вектора xp заменяются компонентам будущего вектора времени - tp, либо производным от него. Ввиду последнего факта особо важное значение приобретает вопрос адекватных преобразований нелинейных трендовых зависимостей в линейные.

Как правило, линеаризации добиваются путем введения дополнительных переменных иногда с применением к исходной трендовой модели специальных преобразований типа логарифмирования, разложения функции в ряд и т.п. Рассмотрим способы типичных преобразований в некоторых частных задачах оценки параметров нелинейной функции f(t) [25].

Оценка параметров наиболее употребляемых трендов

1. Полином m-го порядка: f(t)=

Уравнение модели имеет вид:

где , - оцениваемые параметры тренда. Если осуществить в модели нелинейного тренда подстановку tj = xj, т.е. подать на вход модели вместо вектора времени матрицу экзогенных переменных Х вида:

После чего исходная нелинейная модель приобретает вид линейной зависимости от х.

2. Гиперболическая функция m-го порядка:

Способ сведения к линейной регрессии аналогичный: матрица Х имеет вид:

3. Линейно-логарифмическая функция m-го порядка:

Способ сведения к линейной регрессии аналогичный: матрица Х имеет вид:

4. Линейно-гиперболическая функция:

Эта модель сводится к линейной регрессии от двух независимых переменных.

Способ сведения аналогичный; матрица Х имеет вид:

5. Модифицированная экспонента: .

Эта модель сводится к линейной регрессии от 1 независимой переменной. Способ сведения аналогичный; матрица Х имеет вид:

Для следующих трендов к моделям будут применяться преобразования, нарушающие предположения о случайных отклонениях (п.3.3.2). Поэтому полученные оценки окажутся смещенными. Результаты п.п. 3.3.2 - 3.3.4 здесь также могут быть сильно искажены. Покажем это на примере следующего тренда.

6. Первая функция Торнквиста:

Уравнение модели имеет вид:

Оно легко трансформируется в следующий вид:

Затем можно сделаем подстановку: х1 = t, x2 = t yt. Коэффициенты линейной регрессии обозначим: Получим следующую модель: где

Коэффициенты модели оценивают при помощи МНК. После этого получают оценки a и b параметров исходной модели (? и ? соответственно):

Проверим, выполняется ли ансамбль предположений о характере распределения случайных отклонений оцененной модели.

1). Математическое ожидание случайной составляющей:

Предположение выполняется.

2). Оценим M?t1 ?t2, t1?t2 , т.е. ковариацию случайных:

Предположение выполняется.

3). Дадим оценку дисперсии случайной, т.е. D?t:

Очевидно, что, предположение не выполняется, поскольку D?t1 ? D?t2. Таким образом, оценки полученной модели являются смещенными.

Предполагается, что для следующих трендов подобный анализ читатель в состоянии провести самостоятельно. Для упрощения продолжим преобразования трендов, не учитывая случайных воздействий.

7. Степенная функция .

Имеем уравнение , логарифмируя его, имеем:

Получилось уравнение линейной регрессии, где зависимой переменной является , а независимой - lnt, свободным членом - . Параметр получаем, зная оценку .

8. Показательная функция .

Имеем уравнение , логарифмируя которое, получим:

.

Имеем уравнение линейной регрессии, где зависимой переменной является , независимой - t.

Параметры ? и ? получаем, зная оценки и .

9. Обобщенная экспонента .

Имеем уравнение где может быть линейной, параболической или другой функцией. Пусть это линейная функция: .

Имеем: . Логарифмируя последнее уравнение, получаем:

.

Это уравнение линейной регрессии, где зависимой переменной является , а независимыми - t и t2. Применяя МНК, получаем оценки , ? и , откуда находим оценки исходных параметров.

10. Кривая Гомперца: .

Имеем уравнение , логарифмируя которое получаем: .

Это еще не линейная регрессия. Но если бы было известно значение ?, зависимой переменной можно было бы принять , а независимой - , т.е. получилась бы линейная регрессия. На этом основан алгоритм нахождения параметров. Изменяя значения ? (остальные параметры находят при помощи МНК), добиваются минимизации суммы квадратов отклонений от регрессии.

11. Логистическая кривая: .

Имеем уравнение , откуда путем очевидного преобразования получаем:

.

Аналогично предыдущему тренду, фиксируя ?, получаем линейную регрессию, где зависимая переменная – 1/yt, а независимая - . Изменяя параметр ? (остальные параметры находят при помощи МНК), добиваются минимизации суммы квадратов отклонений от регрессии.

Таким образом, имея эффективное программное обеспечение МНК для линейной регрессии, можно построить любой выбранный тренд.

Построение интервального прогноза на нелинейных трендовых моделях

При использовании в качестве аппроксимирующих функций нелинейных трендовых зависимостей, сведенных предварительно к линейному виду, исследователь должен четко осознавать, что оценки параметров тренда, как и оценка прогноза, требуют осознанной и грамотной их интерпретации [25, 26, 68].

Если для национального дохода (или любого другого показателя) построена трендовая модель вида произвольного вида, то прогнозирование его среднего значения в любой момент времени T – это просто вычисление f(T).

Однако этого недостаточно. Необходимо сопроводить прогноз среднего значения расчетом доверительного интервала (с заданной доверительной вероятностью). Поскольку любой тренд восстанавливается при помощи сведения к линейной регрессии, для вычисления доверительного интервала следует воспользоваться известной формулой.

Это можно пояснить на примере построения доверительного интервала прогноза, например, если в качестве тренда использована показательная функция

Как уже было показано, ее параметры оценивают сведением к линейной регрессии при помощи логарифмирования:

По формуле (2.3.6) находим доверительный интервал для (а не для ). Окончательно имеем:

Тогда в соответствии с формулой (2.3.1)

откуда

Действуя аналогично, можно найти формулы доверительных интервалов и для других трендов [68, c.173-175].

<< | >>
Источник: О.М. Писарева. Методы социально-экономического прогнозирования: Учебник/ГУУ - НФПК, М., с.. 2003

Еще по теме 2.3.3.2. Аналитические методы сглаживания временных рядов:

  1. 2.3.3.1. Алгоритмические методы сглаживания временных рядов
  2. 2.3.3. Моделирование и прогноз временных рядов методами сглаживания
  3. Сглаживание временных рядов с помощью скользящей средней
  4. 7.1. МОДЕЛИ СТАЦИОНАРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  5. 7.2. МОДЕЛИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  6. 3.6. МОДЕЛИ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  7. 2.3. Моделирование и прогноз временных рядов
  8. Компоненты временных рядов
  9. 7.2.2. Модели интегрированных временных рядов
  10. 7.2.1. Модели временных рядов с детерминированным трендом
  11. ГЛАВА 7 ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  12. КЛАЙВ У. ДЖ. ГРЭЙНДЖЕР ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  13. 3.6.1. Определение и основные свойства временных рядов
- Бюджетная система - Внешнеэкономическая деятельность - Государственное регулирование экономики - Инновационная экономика - Институциональная экономика - Институциональная экономическая теория - Информационные системы в экономике - Информационные технологии в экономике - История мировой экономики - История экономических учений - Кризисная экономика - Логистика - Макроэкономика (учебник) - Математические методы и моделирование в экономике - Международные экономические отношения - Микроэкономика - Мировая экономика - Налоги и налолгообложение - Основы коммерческой деятельности - Отраслевая экономика - Оценочная деятельность - Планирование и контроль на предприятии - Политэкономия - Региональная и национальная экономика - Российская экономика - Системы технологий - Страхование - Товароведение - Торговое дело - Философия экономики - Финансовое планирование и прогнозирование - Ценообразование - Экономика зарубежных стран - Экономика и управление народным хозяйством - Экономика машиностроения - Экономика общественного сектора - Экономика отраслевых рынков - Экономика полезных ископаемых - Экономика предприятий - Экономика природных ресурсов - Экономика природопользования - Экономика сельского хозяйства - Экономика таможенного дел - Экономика транспорта - Экономика труда - Экономика туризма - Экономическая история - Экономическая публицистика - Экономическая социология - Экономическая статистика - Экономическая теория - Экономический анализ - Эффективность производства -