<<
>>

2.3.3.1. Алгоритмические методы сглаживания временных рядов

К классу алгоритмических методов выявления тенденций во временных рядах относятся разнообразные процедуры усреднения данных по ряду, т.е. построению их сглаженных усредненных значений.

Способ усреднения ряда, как правило, и определяет наименование метода. В практике эконометрического моделирования алгоритмические методы сглаживания могут применяться с двумя целями: -

выявление общей тенденции развития ряда; -

прогнозирование тенденции в ряду.

Наиболее широкое применение методы алгоритмического сглаживания находят либо в условиях, когда исследователь имеет дело с так называемыми короткими рядами, либо в условиях высокой нестабильности, хаотичности исследуемой системы, что впрочем, по последствиям, практически адекватно предыдущему случаю.

Методы сглаживания отличаются от традиционно используемых современных методов эконометрического моделирования. Они, например, не требуют подбора "оптимальной модели, " и они вообще не производят "оптимальные прогнозы". Скорее, они просто способ, объясняющий компьютеру как провести сглаженную линию через данные и экстраполировать ее разумным способом, также как мы сделали бы это вручную, исходя из неких интуитивно-визуальных соображений.

При использовании алгоритмических методов сглаживания, мы не пытаемся найти модель, которая лучше всего описывают данные; скорее, мы подгоняем предопределенную модель к данным. Некоторые ученые по этой причине не любят методы сглаживания, однако, они использовались успешно много лет и по серьезным причинам. Эти методы наиболее полезны в ситуации, когда более «мудрые» методы моделирования не могут использоваться. Во-первых, доступные выборки данных иногда очень маленькие. Предположим, например, что мы должны произвести прогноз, основанный на выборке ретроспективных данных, содержащих только четыре наблюдения. Эта ситуация кажется чрезвычайной, но она возникает иногда в практических случаях, например, при прогнозе продаж нового продукта на рынке товаров или услуг.

Здесь, число степеней свободы мало настолько, что невозможно оценить значимость любой подобранной модели. Методы алгоритмического сглаживания в предельном случае, напротив, не требуют никакой оценки, или минимальной оценки.

Во-вторых, задача при прогнозировании иногда огромна. Предположим, например, что каждую неделю мы должны предсказать цены огромного числа сырья, материалов и комплектующих некого продукта, например авиалайнера. Снова, такие предположения чрезвычайны, но они происходят на практике. В таких предположениях, даже если ретроспективные данные обширны (хотя в общем случае, конечно, они могут и не быть такими), то нет просто никакого способа обеспечить достаточное внимание, требуемое для оценки и обслуживания множества различных моделей прогноза. Методы сглаживания, напротив, требуют небольшого внимания. Они - один из примеров того, что иногда называют "автоматическими" методами прогноза, и они часто полезны при прогнозировании на основе обширных, часто обновляющихся данных.

Наконец, методы сглаживания производят оптимальные прогнозы в некоторых условиях, которые, оказывается, глубоко связаны с присутствием единичных корней в ряде, по которому строится прогноз, т.е. его скрытыми математическими свойствами. Кроме того, более обоснованные методы производят оптимальные прогнозы только при известных условиях, типа правильной спецификации модели для прогноза.

В заключение следует сказать, что построение доверительных интервалов прогнозов, построенных методами алгоритмического сглаживания, скорее дань традиции, чем строго обоснованная процедура. Процедура их подсчета часто несет в семе элементы эвристик. Рассматриваемые методы могут производить оптимальные точечные прогнозы при некоторых специальных процессах получения данных, но обычно в общем случае мы не предполагаем, что специальные процессы получения данных действительно присутствуют. Вместо этого, методы алгоритмического сглаживания используются как "черные ящики", чтобы произвести точечные прогнозы без попытки выявить стохастическую структуру данных, без выявления наиболее подходящей модели, которая могла бы использоваться, чтобы произвести вероятностно обоснованный надежный интервальный прогноз или прогнозы плотности распределения в дополнении к точечному прогнозу.

Однако в дальнейшем будут даны практические рекомендации по оценке доверительных интервалов прогноза, по крайней мере, на один шаг упреждения.

Методы взвешенного скользящего среднего

Общая идея этих методов заключается в том, что мы выбираем интервал сглаживания m (mОбозначим исходные данные или yt и сглаженные или или . Запишем общий вид расчетной формулы точечного прогноза для взвешенных значений временного ряда yt:

,где

- взвешенное значение для t-го уровня ряда, .

- является весом для i-го значения интервала сглаживания при условии, что .

Обычно сглаженное значение, в зависимости от процедуры может относиться к середине интервала, к последнему моменту времени рассматриваемого интервала (т.н. адаптивное сглаживание), либо к первому моменту времени, последующему за охваченным интервалом сглаживания.

Очевидно, что при таком расчете исходный ряд укорачивается на 2p-значений. Как уже отмечалось, интервал сглаживания может содержать как четное, так и нечетное количество членов. Нечетное количество членов, если так можно сказать удобнее, так как в этом случае сглаженное значение легко сопоставляется фактическому моменту времени.

Если же сглаживание производится четным интервалом (это может быть необходимым, например, при расчете среднеквартальных годовых, среднемесячных недельных и так далее), когда в силу естественных причин мы не можем выбрать нечетный интервал, тогда сглаженное значение оказывается между фактическими уровнями ряда [3]. Например, для значения t рассчитываем сглаженное значение (берем фактические уровни с t-p по t+p интервал сглаживания m=2p). В итоге получаем, что наше расчетное значение лежит между уровнями t-1 и t. Определим этот момент, как (обозначим за половину единичного такта). Тогда значение для t-го уровня находится как среднее из сглаженных значений ряда для t и t+1 уровня, то есть можно записать:

Стоит заметить, что вопрос выбора длины интервала сглаживания касается не только четности или нечетности. Величина m влияет на сглаживающие свойства модели. Далее будет показано что, чем больше m, тем сильнее модель гасит колебания. Это следует из формулы модельной дисперсии. В то же время, увеличивая интервал сглаживания, мы увеличиваем потерю данных.

Расчет весовых коэффициентов для методов скользящих средних проводится, опираясь на предположении теории аналитических функций о том, что любая гладкая функция в ограниченном интервале (в нашем случае это 2p+1 значений временного ряда) может быть представлена полиномом степени q. Т.е. в виде .

Соответственно, значения и структура весов будут зависеть от длины интервала сглаживания и степени аппроксимирующего полинома, использованного на этом интервале. Оценки коэффициентов выбранного полинома подбираются из условия минимизации суммы квадратов отклонений значения полинома и фактического значения в данной точке.

Для примера рассмотрим процедуры оценки весов для полиномов первого и второго порядков. Это соответственно метод простого скользящего среднего и метод взвешенного скользящего среднего [3].

Метод простого скользящего среднего

Пусть для данного заданного интервала сглаживания m=2p+1 мы строим оценку фактического уровня ряда, используя полином первого порядка:

, t=1, 2, …, 2p+1.

Обычно время t в модели изменяется от начального момента к конечному. В данном случае, для упрощения записи время изменяют таким образом, чтобы нулевой уровень соответствовал центру интервала сглаживания:

Параметр t специально заменен, чтобы была возможность легче отличать новый порядок изменения времени.

Запишем условие, из которого предстоит определить оценки и :

Используя, например МНК, находим частные производные по и . Получаем следующую систему:

.

Далее, используя следствие замены, из которой и то, что оценка уровня ряда определяется в средней точке i=0, окончательно можно записать решение построенной системы в следующем виде:

.

Таким образом, рассчитанное сглаженное значение t-го уровня ряда определяется по формуле:

,

либо его можно найти, используя следующее рекуррентное соотношение:

.

Этот метод относится к наиболее простым. Его использование позволяет сгладить циклические и случайные колебания в ряду.

Следовательно, точечный прогноз на t+1 период мы получаем , то есть как последнее расчетное значение скользящей средней. Для осуществления интервального прогноза необходимо рассчитать дисперсию прогноза, которая будет складываться из дисперсии модельной и случайной в соответствии со сделанными ранее замечаниями.

Величину модельной дисперсии можем найти следующим образом:

.

Соответственно, с учетом сделанных ранее объяснений, интервальный прогноз рассчитываем как точечный прогноз плюс минус среднеквадратическая ошибка прогноза, умноженная на t-статистику Стьюдента с заданным уровнем значимости и соответствующей степенью свободы . Таким образом, окончательно имеем

.

Обобщенное представление методов взвешенного скользящего среднего

Теперь допустим, что для данного заданного интервала сглаживания размером в m=2p+1-значений мы строим оценку фактического уровня ряда, используя полином второго порядка вида:

.

Проведем аналогичную показанной ранее замену для времени:

.

В этом случае параметры оценки коэффициентов аппроксимирующей параболы будут находиться из условия:

.

Определим частные производные данной функции по , и , приравняв их к нулю, получим следующую систему равенств.

.

Далее решив полученную систему уравнений, используя следствие замены, из которой , и то, что оценка уровня ряда определяется в средней точке усредняемого интервала i=0 можно найти следующие значения параметров аппроксимирующего полинома второй степени:

;

;

.

Таким образом, окончательно сглаженные значения ряда для каждого интервала сглаживания m могут быть найдены из следующего соотношения:

Или в общем виде:

.

Этот метод похож на предыдущий.

Его отличие заключается в том, что, если при вычислении простой скользящей средней мы каждому значению интервала сглаживания придавали равный вес , то здесь для каждого значения рассчитывается свой вес. Причем вес зависит от того, насколько далеко отстоит взвешиваемый уровень от центра интервала сглаживания. Аналогичным образом рассчитываются формулы для прочих значений интервалов сглаживания. Запишем их, например, для значений m=7 и m=9:

;

.

Величину модельной дисперсии можем найти следующим образом:

,где

.

Окончательно, с учетом сделанных ранее объяснений, интервальный прогноз, проведенный методом взвешенного скользящего среднего можно оценить следующим образом:

.

Экспоненциальное сглаживание Брауна

Довольно часто при исследовании временных рядов используют методы экспоненциального сглаживания (модели Брауна) [3, 25, 31, 36, 68. Это объясняется тем, что они позволяют более обоснованно и сбалансированно учитывать в текущем сглаженном уровне временного ряда его историю. Одна из основных особенностей этих методов заключается в том, для расчета сглаженного значения уровня t нам необходимо знать предыдущее сглаженное значение St-1 и фактическое значение временного ряда уt. В практике моделирования динамических рядов используется множество разновидностей моделей Брауна. Для примера поясним принципы построения и оценки параметров модели экспоненциального сглаживания, а также использования ее в качестве генератора прогнозной информации для т.н. простой формы модели Брауна.

Запишем формулу для расчета St - сглаженного значения для t-го уровня ряда:

(2.3.2)

где St – значение экспоненциальной средней в момент t;

St-1 – значение экспоненциальной средней в момент t-1;

- параметр сглаживания, т.н. сглаживающий фильтр.

Величина изменяется в пределах: . Вариации имеют серьезное влияние на характеристики самого сглаживания, и выбор оптимального значения зависит сразу от нескольких из них, причем противоречащих друг другу.

Первое, что необходимо отметить в сглаживании Брауна – это принципиально другое оценивание весов предыдущих значений ряда. Если записать значение сглаженного ряда St и последовательно раскрывать значения St-1, St-2, …, через предыдущие уровни ряда и так до y0=S0, используя рекуррентное соотношение (3.2), то в итоге легко получаем следующее представление исходного соотношения:

.

В итоге получаем следующее рекуррентное соотношение для вычисления усредненного значения ряда методом Брауна:

(2.3.3),

где t в данном случае число членов ряда;

y0 - является начальным уровнем временного ряда.

Вопрос о выборе начального уровня может быть решен несколькими путями. В первом случае, если имеются прошлые данные, то можно использовать среднюю арифметическую этих данных или их части. Если такими данными мы не располагаем, то в качестве нулевого уровня может быть использована средняя арифметическая нескольких начальных значений исходного ряда, либо просто первое значение ряда. Также начальное значение может быть оценено исходя из уже полученной формулы, из которой следует, что начальному значению после t итераций придается вес . Стоит отметить, что правильный выбор начального уровня может иметь существенное значение, так как заведомо неверное значение при небольшом количестве наблюдений может привести к большим ошибкам прогнозов. В этой ситуации можно придать большое значение и тем самым быстро погасить влияние нулевого уровня, но при большом снижаются сглаживающие свойства модели.

Рассмотрим полученную формулу (2.3.3). Допусти, что в нашем распоряжении достаточно большой временной ряд, т.е. , тогда значение второго слагаемого формулы (2.3.3) быстро стремиться к 0 за счет свойств сглаживаемого ряда. Соответственно, приближенная оценка t-го члена сглаженного ряда может быть получена из следующего соотношения:

(2.3.4),

то есть величина St – сглаженное значение ряда, является взвешенной суммой всех членов ряда. При этом величины весов в зависимости от того насколько далеко отстоит уровень от сглаживаемого будут убывать экспоненциально, что очевидно из соотношения (2.3.4). Вес значения уровня t составит , вес для уровня t-1 , для уровня t-2 и так далее, для y0 соответственно - при бесконечно большом N.

Определим модельную дисперсию ряда, заданного соотношением (2.3.4).

.

Так как значение параметра сглаживания ряда динамики колеблется в пределах , то легко показать, что сглаженный ряд имеет то же математическое ожидание, что и исходный, но меньшую дисперсию . Также можно заметить, что, изменяя значение сглаживающего фильтра , мы влияем на силу сглаживания. Чем больше величина приближается к единице, тем более «актуальным» становиться ряд. Чем меньше параметр сглаживания, тем больше сокращается дисперсия исходного ряда.

Выбор величины постоянной сглаживания требует особого внимания. Рассмотрим критические значения , чтобы пронаблюдать, что будет происходить с процессом в этих крайних точках. Если взять , то получим , то есть адаптация модели отсутствует. Если принять , то получим , то есть модель, в которой сглаженное значение равно фактическому уровню временного ряда.

На практике подбор допустимого значения параметра сглаживания рекомендуется производить эмпирическим путем, то есть, итеративно перебирая его возможные значения и выбирая оптимальный уровень коэффициента по критерию минимизации дисперсии ошибки прогноза на тестовом наборе данных. Этот способ предлагается как наиболее достоверный. На выбор постоянной сглаживания будут влиять конкретные специфические характеристики временного ряда. Опыт исследователей показывает, что наибольшая точность при прогнозировании экономических временных рядов может быть достигнута при практически любом допустимом значении . Основываясь на опыте исследований [36] можно отметить, что в случае, когда параметр принимает значения близкие к 1, следует подвергнуть сомнению законность выбора данной модели. Так как это может свидетельствовать о наличии в ряду ярко выраженных тенденций или сезонных колебаний. Для таких рядов следует использовать другие модели, более эффективные. Стоит отметить, что на величину постоянной сглаживания также может оказывать влияние период упреждения. При увеличении периода прогноза, вероятно, следует учитывать общую тенденцию за прошлые периоды, нежели последние изменения.

Простое экспоненциальное сглаживание Брауна предполагает оценивание текущего значения одного коэффициента в прогнозной модели динамики временного ряда следующим образом

.

Окончательно, с учетом сделанных ранее объяснений, интервальный прогноз, проведенный методом простого экспоненциального сглаживания можно оценить следующим образом:

.

Вследствие успешности практического использования этой модели она была развита Р. Г. Брауном и Р. Ф. Майером для процессов, которые описывались моделями, состоящими из многих полиномиальных членов [3, 31, 36]. За исходную гипотезу принимается то, что временной ряд описывается полиномом N порядка, а прогноз на периодов вперед будет иметь вид:

,

где коэффициенты полинома.

Таким образом, рассмотренный ранее пример простого экспоненциального сглаживания для модели общего вида может быть представлен как

, т.е. прогноз по константе.

Приведение модели Брауна к виду (2.3.2) позволяет определить процедуру многократного экспоненциального сглаживания. Процедура многократного экспоненциального сглаживания фактически является применением простого экспоненциального сглаживания к результатам сглаживания порядка p-1. Ее можно записать так:

,

где ,

p = 1, 2, …, n – порядок сглаживания,

- начальные значения экспоненциальных средних соответствующего порядка.

Фундаментальная теорема метода экспоненциального сглаживания, доказанная Брауном и Маейром [3, 36], утверждает, что между коэффициентами предсказывающего полинома и экспоненциальными средними сглаживающей модели существует связь, выраженная через постоянную сглаживания следующим образом:

.

То есть, имеются n+1 уравнение, в которых сглаженные значения выражены через линейные комбинации производных уровней .

Эта идея основана на том, что исходный ряд может быть разложен в ряд Тейлора с n+1 количеством членов:

.

В общем случае предполагается, что процесс может быть представлен как:

,

,

где - случайные отклонения с математическим ожиданием равным нулю и конечной дисперсией.

В случае, когда порядок i нулевой, мы имеем простое экспоненциальное сглаживание. Для первого порядка – линейное экспоненциальное сглаживание, для второго квадратичное экспоненциальное сглаживание и т.д. В практике, как правило, используют сглаживания порядка не выше двух. Однако конкретно, каждый раз данный вопрос решается эмпирически с учетом влияния порядка сглаживания на выбранную систему критериев качества модели, а также с учетом степени роста сложности вычислений по алгоритму.

Обратимся к более подробному рассмотрению информационных и прогностических возможностей линейного и квадратичного экспоненциального сглаживания [27, 31, 36].

Линейное экспоненциальное сглаживание

Пусть модель сглаживающего прогноза на основе модели Брауна имеет вид:

(2.3.5),

а начальные условия для сглаживающего полинома определены как:

.

Для того чтобы выразить коэффициенты и необходимо воспользоваться коэффициентами уравнения тренда , полученными методом наименьших квадратов.

Тогда экспоненциальные средние моделей первого и второго порядков могут быть оценены как:

,

.

Оценки параметров коэффициентов модели (2.3.5) составят:

,

.

Окончательно точечный прогноз по модели экспоненциального среднего первого порядка на момент времени T:

.

Оценить модельную дисперсию можем по формуле:

, где

- среднеквадратическая ошибка отклонения от линейного тренда, которую определяем из формулы:

.

Квадратичное экспоненциальное сглаживание

Пусть модель сглаживания прогноза по модели Брауна имеет вид:

,

а начальные условия для сглаживающего полинома заданы следующим образом:

,

,

.

Тогда экспоненциальные средние первого, второго и третьего порядков могут быть подсчитаны по следующим формулам:

,

,

,

а оценки коэффициентов модели могут быть оценены из следующих соотношений:

,

,

.

Окончательно точечный прогноз по модели экспоненциального среднего второго порядка на момент времени T:

.

Ошибка модели прогноза находится по формуле:

,

где - среднеквадратическая ошибка отклонения от квадратичного тренда, которую определяем по формуле:

,

где n – количество членов в исследуемом ряду.

Метод Хольта

С развитием экспоненциального сглаживания стали появляться новые модели, основанные на тех же принципах адаптации, что и модели экспоненциального сглаживания [3, 36, 63]. За исходную гипотезу построения модели Хольта берется представление о том, что имеется не только медленно развивающийся местный уровень, но также и тенденцию с медленно развивающимся наклоном. Для этой ситуации Ч. Хольтом была предложена модель, в которой прогноз осуществляется путем экстраполяции тенденции линейным трендом на тактов вперед:

, где

.

Для расчета коэффициентов тренда используется два параметра сглаживания , таких что . По своей сути они определяют характер изменчивости параметров и .

Адаптация данных параметров линейного тренда проводится по следующим формулам:

.

Начальные уровни процедуры сглаживания также рекомендуется подбирать эмпирическим путем, снижая ошибки информационной и прогностической пригодности модели.

Понятие об адаптивных принципах настройки моделей алгоритмического сглаживания

Практически все рассмотренные нами ранее алгоритмы сглаживания временных рядов, а также процедуры генерации прогнозной информации на базе этих методов, с той или иной степенью успешности реализуют принцип актуализации моделей прогнозирования. Поэтому модели алгоритмического сглаживания порядков выше нулевого и с наличием подстройки параметров модели часто именуют адаптивными моделями, а прогнозы построенными на их базе – адаптивными прогнозами. Модели данного вида отличаются от всех остальных тем, что они отражают текущие свойства ряда и способны непрерывно учитывать эволюцию изучаемого процесса, выражаемую посредством динамики временного ряда. Цель адаптивных методов заключается в построении самонастраивающихся (корректирующихся) экономико-математических моделей, которые отражают меняющиеся во времени условия функционирования, учитывают неодинаковую ценность различных членов временного ряда для настоящего момента времени.

В связи с принципами формальной организации процедур подстройки параметров моделей, способы адаптации условно можно разделить на алгоритмические и эвристические. Наибольшего качества в своем развитии адаптационные механизмы находят в нейросетевых, генетических и гибридных технологиях моделирования и прогнозирования.

Последовательность процедуры адаптации моделей может быть представлена следующим образом. 1.

Генерация параметров исходной прогнозирующей модели, исходя из наличия ретроспективной информации. 2.

Генерация прогноза на прогнозирующей модели. 3.

Проверка точности прогноза (по факту события либо на тесовом множестве). 4.

Подстройка параметров прогнозирующей модели с помощью компенсирующего воздействия.

Наиболее распространенными алгоритмическими способами адаптивного прогнозирования являются [36, 63, 68, 75, 76, 80, 83]: -

метод экспоненциального сглаживания (модель Брауна); -

метод Хольта-Уинтерса (Хольта); -

адаптивная модель сезонности Тейла-Вейджа и др.

Эффективность практического применения адаптивных прогнозов связана с решением проблемы повышения адаптивных свойств оцениваемых моделей, т.е. ускорением реакции прогнозирующей системы на внезапные изменения значений изучаемого временного ряда. При этом изначально “логика” механизма адаптации задаётся априорно, а затем эмпирически проверяется.

Быстрота реакции полученной искусственной системы характеризуется параметрами адаптации, например, в рамках модели Брауна это осуществляется путем эффективной подстройки параметра . Процесс “обучения” модели состоит выборе наилучшего параметра адаптации на основе серии проб в пределах имеющегося ретроспективного материала (обучающей и тестирующей выборок). Скорректированная таким образом модель является более гибкой в сравнении с исходной, однако не является универсальным инструментом прогнозирования.

Критериями прогностической полезности адаптивной модели обычно являются стандартные критерии оценки качества прогноза, например, среднеквадратичная ошибка прогноза .

В общем случае, говоря о повышении адаптационных свойств модели, имеется в виду способность модели:

- своевременно выявить момент наступления изменений тенденции во временных рядах;

- быстро надлежащим образом модифицировать параметры модели.

Таким образом, решение этих проблем в первую очередь связано с обоснованным выбором критериев качества прогноза. Требования к подобного рода индикаторам следующие: обладание достаточной чувствительностью к устойчивым изменениям тенденций и минимальная реакция на случайные колебания в динамике рядов. В теории адаптивного прогнозирования эти индикаторы носят специальное название - следящих сигналов или трекинг-сигналов. Хронологически наиболее известными и часто используемыми настроечными трекинг-сигналами являются индикаторы Браун и Тригга, а также производные от них [36, 83]. Поясним принципы их конструирования.

1.) Индикатор Брауна

, где

- абсолютное значение ошибки прогноза на период времени t ;

- период, за который осуществляется прогноз;

абсолютное значение ошибки прогноза, сглаженное методом экспоненциального сглаживания с параметром ,

Процедура использования алгоритмически проста: -

задаётся минимальное пороговое значение , -

проверяется соотношение между и .

Если - используется построенная модель, в случае - корректируется параметр модели Брауна.

Очевидно, предложенный индикатор не лишён недостатков:

а). При выходе за обозначенную границу, назад он не возвращается, несмотря на то, что система прогнозирования может уже работать в нормальном режиме. Следовательно, величину суммарной ошибки числителя постоянно необходимо контролировать во избежание ошибочных сигналов.

б). Если с какого-то момента времени система будет давать абсолютно точный прогноз, также может выйти за отведенные границы (т.к. в пределе он будет стремиться к бесконечности).

2.) Индикатор Тригга.

,где величина , именуемая сглаженной ошибкой сигнала, определяется из соотношения

Понятно, что индикатор лишен недостатков критерия Брауна и лежит в границах от -1 до 1. Крайние границы достигаются только, когда ошибки постоянно имеют один знак. Обычно для практики вычислений [61] рекомендуется подбирать параметры сглаживания , при этом желательно, чтобы выполнялось соотношение: .

<< | >>
Источник: О.М. Писарева. Методы социально-экономического прогнозирования: Учебник/ГУУ - НФПК, М., с.. 2003

Еще по теме 2.3.3.1. Алгоритмические методы сглаживания временных рядов:

  1. 2.3.3. Моделирование и прогноз временных рядов методами сглаживания
  2. 2.3.3.2. Аналитические методы сглаживания временных рядов
  3. Сглаживание временных рядов с помощью скользящей средней
  4. 7.1. МОДЕЛИ СТАЦИОНАРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  5. 7.2. МОДЕЛИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  6. 3.6. МОДЕЛИ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  7. 2.3. Моделирование и прогноз временных рядов
  8. Компоненты временных рядов
  9. 7.2.2. Модели интегрированных временных рядов
  10. 7.2.1. Модели временных рядов с детерминированным трендом
  11. ГЛАВА 7 ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИНАНСОВЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  12. КЛАЙВ У. ДЖ. ГРЭЙНДЖЕР ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
- Бюджетная система - Внешнеэкономическая деятельность - Государственное регулирование экономики - Инновационная экономика - Институциональная экономика - Институциональная экономическая теория - Информационные системы в экономике - Информационные технологии в экономике - История мировой экономики - История экономических учений - Кризисная экономика - Логистика - Макроэкономика (учебник) - Математические методы и моделирование в экономике - Международные экономические отношения - Микроэкономика - Мировая экономика - Налоги и налолгообложение - Основы коммерческой деятельности - Отраслевая экономика - Оценочная деятельность - Планирование и контроль на предприятии - Политэкономия - Региональная и национальная экономика - Российская экономика - Системы технологий - Страхование - Товароведение - Торговое дело - Философия экономики - Финансовое планирование и прогнозирование - Ценообразование - Экономика зарубежных стран - Экономика и управление народным хозяйством - Экономика машиностроения - Экономика общественного сектора - Экономика отраслевых рынков - Экономика полезных ископаемых - Экономика предприятий - Экономика природных ресурсов - Экономика природопользования - Экономика сельского хозяйства - Экономика таможенного дел - Экономика транспорта - Экономика труда - Экономика туризма - Экономическая история - Экономическая публицистика - Экономическая социология - Экономическая статистика - Экономическая теория - Экономический анализ - Эффективность производства -