<<
>>

НАРОДНЫЕ ТЕОРЕМЫ

В этом разделе мы вернемся к существующим версиям народной теоремы. 6.7.3.1.

БЕСКОНЕЧНО ПОВТОРЯЕМЫЕ ИГРЫ ПРИ ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Рассмотрим «статичную» игру п участников, определенную пространством стратегий АІ для каждого игрока г = 1,...,п и платежной функцией IF(ai,..., а*,...,ап) для каждого игрока г, где ay принадлежит Aj. Для простоты допустим, что множество чистых стратегий конечно (например, в ценовой игре цены должны быть приведены в центах, быть неотрицательными, их число должно быть большим, но ограниченным).

Мы не различаем чистые и смешанные стратегии, так что можно представить АІ как набор вероятностей распределения (смешанных стратегий) сверх чистых стратегий, доступных игроку і (также чисто технически удобно предположить, что игроки могут применять коррелированные стратегии, т. е. они могут влиять своими действиями на принимаемые обществом решения; однако эту возможность мы здесь не используем). Статичная игра часто называется «составной игрой». Мы будем использовать

а—І — (al } at —ll ai+l 1 an)

и IF(ai,a_i) для обозначения прибыли г-го игрока.

Мы определим отправную (reservation) полезность игрока г как наихудший исход для игрока г в этой игре:

П1* = min шах П1(аг, a_i).

a_i a,

•*

Предвидя действия a-i соперников, игрок і максимизирует П1(аі,а_і) в статичных условиях. Очевидно, что г-й игрок не может получить прибыль меньшую, чем П**, по условиям данной игры (либо меньше, чем ГГ1* «в среднем», если данная игра будет повторяться все время).

Вектор выигрыша П = (П1,..., П1,..., Пп) индивидуально рационален, если для всех і П* > П1*. (Это достижимо, если существуют возможные стратегии а = (ai,..., а,-,. - •, an), такие, что для всех і П* = Пг(а)).

Например, в ценовой игре Бертрана или в количественной игре Курно индивидуальные рациональные прибыли равны нулю. (Невозможно принудить фирмы получать отрицательную прибыль; но, с другой стороны, если оппонент назначает нулевую цену или производит такое количество продукции, что цена падает ниже предельных затрат, это будет препятствовать получению прибыли). Легко проверить, что возможен любой набор прибылей, сумма которых не превышает монопольную прибыль.

Рассмотрим бесконечно повторяемую версию составной игры. Пусть 6 обозначает дисконтирующий множитель. Тогда игрок і получит выигрыш:

оо

i=0

и средний выигрыш составит

Vі = (1 -6)V\

гдеаі(/) обозначает действие, выбранное игроком і в момент t (которое является функцией прошлого развития событий).

Наша первая народная теорема восходит к [38]. Она утверждает, что любой средний вектор выигрыша более приемлем для всех игроков по сравнению с равновесным по Нэшу вектором выигрыша составной игры, поскольку может поддерживаться как исход совершенного равновесия бесконечно повторяемой игры, если игроки достаточно терпеливы. Более точно — пусть

П<л, = 1Г(а|\ •••.<*«),415

и пусть v = (и1,..., vn) так, что v достижимо и Vі > для всех г. Тогда существует <$о < 1 такое, что для всех 6 > 6о v является равновесным вектором выигрыша.

Доказательство этой народной теоремы в основном такое же, как и приведенное в тексте. Для простоты изложения предположим, что существуют чистые стратегии a = (ai,..., an), такие, что Vі = П1(аі,..., а„) для всех і. Определим следующие стратегии поведения. Каждый игрок играет а, до тех пор, пока все игроки не примут стратегию а несколько раньше.

Если кто-либо отклонился от данной стратегии в прошлом, игрок принимает стратегию . Таким образом, соглашение об а вынужденно вследствие угрозы Нэша, т. е. угрозы возвращения к стратегии поведения Нэша навсегда. При отклонении в данный момент игрок получает в лучшем случае ограниченную сумму; с другой стороны, в этом случае он теряет прибыль от будущего сотрудничества:

(«?-niW)(< + rf2+ ...),

которая стремится к бесконечности, так же как и 6 стремится к 1.

Для игры Бертрана (которая потенциально является одним из наиболее интересных применений теории длительного повторяемого взаимодействия, так как цены ограничены короткими периодами времени) эта теорема дает полное описание множества равновесий для 6, близкой к 1. Это объясняется тем, что если фирмы имеют одинаковые предельные затраты, равновесие Нэша составной игры дает нулевую прибыль и, таким образом, отправной выигрыш. Предыдущая теорема тогда показывает, что индивидуальные рациональные и возможные выигрыши являются равновесными выигрышами для 6, близкой к 1. Для других составных игр (например, конкуренция Курно) точки Нэша не дают отправной ценности (рис. 6.4).

Конкуренция Конкуренция

Бертрана. Курно

Рис. 6.4. Угрозы Нэша.

В играх, где равновесие Нэша лежит выше отправной ценности, возникает вопрос, могут ли быть навязаны другие равновесные векторы выигрыша, помимо тех, которые были указаны в предыдущей теореме. Ответ состоит в том, что каждый индивидуально рациональный и возможный вектор выигрыша может быть навязан в условиях совершенного равновесия. Оумен и Шэпли [11] и Рубинстайн [70] доказали это для случая 6 = I.47 Предположение о том, почему любой выигрыш, превышающий отправную ценность, может быть устойчивым, следующее:

«...до тех пор, пока все выполняют прежние правила, игроки продолжают придерживаться своих стратегий а*, приводящих к выигрышу г;;. Если какой- то игрок j отклоняется, он будет, как и прежде, минимаксимизирован, но не навсегда, а лишь на период, необходимый для аннулирования любой возможной выгоды, полученной в результате этого отклонения. После такого наказания игроки возвращаются к своим стратегиям а,. Наказывающие вынуждены примириться со своей минимаксной стратегией, так как в противном случае 4

7 При отсутствии дисконтирования сумма выигрышей некоторого игрока во времени не м<Ькет быть определена (может быть бесконечна). В этом случае можно использовать либо предел (инфимум) средней величины выигрыша

іХ>ч«<о),

<=0

когда Т стремится к бесконечности, либо так называемый «критерий преследования» (?owertaking criterion*) (см. [70]).

их подстерегает угроза того, что, если кто-либо уклонится от принятия стратегии наказания, он в свою очередь будет минимаксимизирован другими на такое время, что это отклонение не будет иметь смысла. Более того, игроки, наказывающие его, также будут наказаны, если кто-либо из них отклонится от данного курса, и т. д. Таким образом, существует потенциальная последовательность наказаний с последующим повышением их уровня, где наказание на каждом из уровней выносится в результате боязни того, что последует наказание на следующем уровне» [42, р. 538].

Фьюденберг и Мэскин показали, что в условиях нестрогой упорядоченности эта последовательность с понижением уровня соблюдается при 6 = 1. Все индивидуально рациональные и возможные выигрыши могут поддерживаться в совершенном равновесии для й, достаточно близкой к 1.

6.7.3.2. КОНЕЧНО ПОВТОРЯЕМЫЕ ИГРЫ ПРИ ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ С МНОЖЕСТВОМ РАВНОВЕСИЙ В СОСТАВНОЙ ИГРЕ

Выше мы видели, что даже при длительном горизонте сговор не может поддерживаться в ценовой игре Бертрана, повторяемой конечное число раз («Дилемма заключенного»).

Однако если в составной игре имеется несколько равновесий Нэша, то возможно продолжать игру с различными равновесиями Нэша и получать качественно отличные (от Нэша) равновесия в повторяемой версии игры. Это иллюстрирует для составной игры (игры координации) табл. 6.3.

Таблица 6.3 R Игрок 1 L и 5, 5 0, 0 D 0, 0 1, 1 В этой игре имеются два равновесия Нэша с чистыми стратегиями:

(Г, L) и (/>, R).

Предположим, что игра повторяется три раза. При этом не происходит дисконтирования. Тогда (Z), L), приносящая нулевой выигрыш обоим игрокам в первом периоде, может поддерживаться в этом периоде обещанием координирования (?/, L) в двух последующих периодах, если оба игрока подчиняются правилам, а также путем угрозы координирования (D,R) в двух последующих периодах, если кто-либо из игроков уклоняется в первом периоде. Поскольку 5

+ 1 + 1 <0 + 5 + 5,

(Z), L) может поддерживаться в первом периоде.

Бенуа и Кришна [20] доказали, что при определенных условиях набор равновесий повторяемой игры с множеством равновесий в составной игре приближается к набору индивидуально рациональных и возможных исходов. 6.7.3.3.

КОНЕЧНО ПОВТОРЯЕМЫЕ ИГРЫ ПРИ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Здесь мы проведем обобщение модели, представленной в разделе 6.5.1. Рассмотрим конечно повторяемую игру, в которой игрок г с вероятностью 1-а разумный, А{ — его пространство действий, выигрыш П1(аі,..., ап) в каждом периоде, а с вероятностью а игрок г безумен. (Выбор предпочтений или стратегий игрока оставлен на усмотрение моделирующего. См. ниже).

Фьюденберг и Мэскин [42] доказали, что если условия не строгие, то применяется народная теорема — в том смысле, что любой индивидуально рациональный и возможный вектор выигрыша составной игры (для разумных игроков) может поддерживаться как состояние совершенного Байесова равновесия конечно повторяемой игры для произвольно выбранной малой вероятности а до тех пор, пока горизонт игры довольно велик, а дисконтирующий множитель достаточно близок к 1.

Доказательство того, что любой выигрыш, превышающий выигрыш Нэша, может поддерживаться, как обычно, просто (см. также раздел 6.5.1). Наметим его. Пусть aN = (а^,...,а^) обозначает равновесие Нэша составной игры, где игроки разумны с вероятностью 1. Пусть обозначает соответствующие выигрыши, пусть

Vі = п\аи...,ап) > {Iм

и пусть безумный игрок і придерживается стратегии а, так долго, как все игроки придерживались этой стратегии в прошлом, и а^, если кто-либо отклонился в прошлом. Выигрыш от уклонения в одном периоде для разумного игрока ограничен сверху. В то же время потери от сотрудничества в будущем с безумными игроками an-1(v* — П )Т, если Т — горизонт времени и если (для простоты) не существует дисконтирования (6 = 1). Эти потери стремятся к бесконечности, так как Т стремится к бесконечности. Отсюда при Т > То это не может быть оптимальным для игрока і, если он отклоняется от а;, даже если он разумный. Обобщенно — сговор при а поддерживается по крайней мере Т — То периодов, а это означает, что средняя величина выигрыша для разумного игрока і стремится к Vі, если Т стремится к бесконечности.

Как обычно, это доказательство дает полную народную теорему для игры Бертрана. Для более общих игр доказательство народной теоремы более сложно, см. [42].

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

Упражнение 6.1416 1.

Пусть Фi(p) = (р — Ci)D(p). Заметим, что Ф* (по предположению) вогнутая, возрастает до значения монопольной цены р™ и затем снижается. После подстановки s\ получаем

П' = шахФ](р)(1 - ф^^)'

Условие первого порядка:

Это предполагает, что и имеют противоположные знаки. Поскольку р^ < < р™, имеем < 0 < Ф;2 и р? < р < р™. Производная второго порядка целевой функции равна 4.

ФІ(Р)П2Ф?(Р) _ 2Фі(р)Пг(Ф;(р))г 2ф;(р)їїгф;(р)

Л> Ф г(рУ Ф|(Р) Ф?(Р) Ф|(Р)

Первые три члена этого выражения отрицательны. Четвертый отрицателен в том случае, если выполняется условие первого порядка. Следовательно, целевая функция квазивыпуклая, и мы получаем оптимум. 2.

Это очевидно.

—2 3.

Возьмите производную условия первого порядка по р и П . Если записать

*2 = ~(Р ~ сг)т-^г,т (С2 - Cl)

и взять производную, будет ясно, что 52 — возрастающая функция р и, следо-

—2

вательно, П . Если для фирмы 2 целевая прибыль равна нулю, максимальной

прибылью для фирмы 1 является ее монопольная прибыль, которую можно по-

—2 —

лучить при р — рт(с\) и s2 = 0. Наоборот, чтобы получить П = П (сз), цена должна быть р = рт(с2) и фирма 2 должна обслуживать весь рынок. Обобщая — существует компромисс между совокупной эффективностью (при р = pm(d) и $2 = 0) и распределением прибыли. Чем выше целевая прибыль для фирмы 2, тем выше рыночная цена и тем выше рыночная доля фирмы 2 (рис. 6.5).

Рис. 6.5. Эффективное распределение рыночных долей.

Соотношение цена- (Ограниченная) рыночная доля Парето-граница

4. Из теоремы об огибающей

сШ1 __ Фі(р)

(Ж2 ~ ф2(РУ

Используя цепное правило, получим так как

ФІ(р) < 0 < Ф2Ы,

а из вопроса 3

dp

_7 > 0. dll

Шмалензи [74] использует аксиоматическую теорию торга, чтобы выбрать точку на этой выпуклой Парето-границе. Он показывает, что, если преимущество в затратах ведущей фирмы существенно, ее предполагаемый выигрыш от сговора относительно невелик. (В экстремальном случае, если монопольная цена фирмы с низкими затратами ниже предельных затрат соперника, фирма с низкими затратами не сможет получить прибыль от поддержания сговора). 5.

Вопрос 4 предполагает, что наше ?эффективное распределение рыночных долей» оптимально только в классе детерминированных распределений. Фирмы могли бы получить наибольшие ожидаемые выигрыши с помощью «подбрасывания монеты* для того, чтобы решить, кто будет монополистом. Более формально — фирмы могли бы занять любую точку на прямой линии между А и В на рис. 6.5, если бы допустили, чтобы одна из них стала монополистом, в зависимости от значения случайной переменной. Противоположная ситуация возникает в контексте повторяемой игры с небольшим нетерпением (так что целевая функция фирм приблизительно равна средней их прибыли — см. раздел 6.3), и фирмы могли бы чередоваться в том, чтобы быть монополистом. 6.

Предположим, что фирма 1 продает q\ по цене р\ < рг- При эффективном рационировании остаточный спрос фирмы 2 составляет ?>(рг) — <7i* ^та величина спроса осталась бы без изменений, если бы фирма 1 повысила цену. Отсюда — фирма 1 могла бы и впредь продавать q\ по цене, превышающей р\, без нанесения ущерба фирме 2.

Упражнение 6.2

Мы показали, что любой выигрыш (П1, П2) может быть аппроксимирован настолько близко, насколько это нужно для />, близкой к 1. Выберем цену р в интервале [с,рт] такую, чтобы П(р) = П1 -f П2, и пусть П1 = аП(р) и П2 = (1 — а)П(р). Рассмотрим соотношение а/(1 — а). Мы знаем, что любое действительное число может быть приближено, насколько необходимо, к рациональному числу. Пусть т/п обозначает рациональное приближение а/(\ - о). Предположим следующие стратегии: «В течение первых т периодов фирма 1 назначает цену р, а фирма 2 назначает цену, строго превышающую р; для п последующих периодов фирма 2 назначает цену р, а фирма 1 назначает цену, строго превышающую р\ в течение т последующих периодов наступает очередь фирмы 1 забирать долю рынка по цене р, и т. д. Если кто-либо отклоняется, фирмы назначают цену, равную предельным затратам навсегда». Очевидно, что такие стратегии образуют равновесие для 6> близкой к 1. Более того, попериод- ный платеж для фирмы 1 составляет

(1 - *)П(р)[(1 + 6 + ... + <5m_1) + (<5m+n + ... + 62т+п~1) + ...] =

_ Jj+j+jjj+j™-! П(р) ~ ? m п(р) ~ аЩр)

1 -М + ... + <5n+m~i т + п КР) W

для 8, близкой к 1.

Упражнение 6.3417

Максимально возможная прибыль каждого периода П одинакова для обеих фирм (так как игра симметрична, множество достижимых прибылей за каждый период также симметрично). Предположим, что это равновесие, в котором фирма 1, скажем, получает в каждом периоде прибыль П —_є (где є —

положительно и мало), и предположим цену р, такую, что П(р) > П — є, цена

р— наименьшая цена, назначенная в некотором периоде 2, ив каждом периоде фирма 1 получает прибыль sj Щр) > П — s. (Такая цена и период должны существовать; в противном случае фирма 1 не смогла бы получить прибыль П — є «в среднем*). В момент t фирма 2, вероятно, отклонится и назначит цену, ненамного меньшую р. В результате этого она получит прибыль зіЩр)/2 в момент t (так как она захватит весь рынок). Однако потери от будущего сговора составят самое большее

П(А + *2 + ...)= П-^-г < П-?.

1—0

Достаточно выбрать такое є, при котором

П -е 6 >

П І-S'

чтобы получить противоречие.

Упражнение 6.4

Монопольная цена будет поддерживаться, если п — 1 пт

Пт < (б/i + 62ц2 + ...).

п п

(В левой части выигрыш от отклонения; в правой — долгосрочные потери). Значит,

6/1 > 1 — —.

п

Для заданной 6 это условие удовлетворяется намного легче, если рынок расширяется. (Предположение состоит в том, что при таких условиях будущее является намного более значимым).

Упражнение 6.5

Пусть {p*,s*} обозначает эффективное распределение рыночных долей и пусть

П2* = (1 -4)D(p*)(p*-c2)

обозначают соответствующие попериодные прибыли. Предположим следующие стратегии: «Каждая фирма і назначает цену р* и производит s*D(p*) столько же времени, сколько она подчинялась данному правилу в предыдущем периоде. Если кто-либо из них отклонился в предыдущем периоде, обе фирмы навсегда возвращаются к поведению Бертрана».

Рассмотрим наиболее прибыльное отклонение от равновесия. Для фирмы 1 оно состоит в снижении цены до монопольной. Таким образом, фирма 1 получает краткосрочную прибыль, равную П1т - П1*, где П1т = max[D(p)(p — сг)]. Долгосрочный убыток составит

/(п‘* - (а - а)Щсі))

і-s

где (сг — c\)D(c2) — прибыль фирмы 1 в равновесии Бертрана. Таким образом, распределение рыночных долей должно удовлетворять

П1ш Д.. ^6(П"-(сг-сх)Р(сг))

1 — 6

Отметим, что для заданной 6 это удовлетворяется в том и только в том случае, если П1* превышает некоторый заданный уровень или s* > 51(^) > 0, где определено неравенством (1). (Напомним, что П1* — это линейная функция sp.

Для фирмы 2 оптимальным отклонением от р* является небольшое снижение цены и завоевание посредством этого всего рынка (так как р* < рт(с2)). В этом случае она получит краткосрочную прибыль, почти равную s*D(p*)(P*- —С2). Долгосрочный убыток составит П2*/(1 — 5), так как при равновесии Бертрана фирмы вообще не получат прибыли.

Таким образом, мы должны получить

<;Д(,-х,--'Ж--'К

что значит

S* ^ 6

і - 4 ~ і - <Г

или

S* < 6.

Отсюда эффективное распределение рыночных долей может поддерживаться в состояние равновесия, если -^(<5) < s* < ?.418 А это, естественно, означает, что эффективное соглашение о разделении рынка может сохраняться только в том случае, если это лне слишком несправедливо» для какой-либо из фирм.

Как отмечалось в разделе 6.2, фирмы могли бы оказать еще более благоприятное влияние на исход событий, если бы по очереди занимали монопольное положение, так как Парето-граница на пространстве выигрышей выпукла. Например, фирма 1 могла бы покрыть весь спрос при р™ по четным периодам, а фирма 2 — весь спрос при цене р™ по нечетным периодам. (В случае отклонения от данной стратегии фирмы возвратились бы к конкурентному поведению). Тогда величина прибыли за каждый период составила бы приблизительно П7*/2 nIlf/2 соответственно для фирм 1 и 2 при 6, близкой к 1.

Упражнение 6.6 1.

Подразумеваемый дисконтирующий множитель на рынке 2 составляет Ь2 — фирма может отклоняться в течение двух последовательных периодов, при этом данное отклонение не обнаруживается. 2.

Оптимальным отклонением является вначале отклонение на рынке 2, затем отклонение на двух рынках сразу в течение последующего периода (отклонение на рынке 1 вызовет наказание в следующем периоде). Таким образом, максимальная прибыль при отклонении составит

Пт(1 +2<5)

Убыток составит

62Пт

1-6'

поскольку отклонение обнаруживается с отставанием на два периода, а прибыль от сговора составит Пт/2 в каждом периоде.

Упражнение 6.7

Устанавливая цены, общество уменьшает масштабы взяточничества и фаворитизма. Однако, предоставляя отраслевую информацию о снижении цен, оно может способствовать тому, что фирмы-участники вступят в тайный сговор. По крайней мере, как гласит здравый смысл, «было бы довольно сложно найти лучшее средство для поощрения открытой и агрессивной конкуренции между олигополистами (продавцами)» [33] (см. также [73, р. 224]).

На самом деле все не так просто. Теория, рассмотренная в этом разделе и в разделе 6.7.1, предполагает случайный и ненаблюдаемый спрос, тогда как в случае назначения цены государством информация о спросе становится общедоступной (таким образом, фирмы могут узнать о том, что имело место снижение , цены у той фирмы, положение которой изменилось к лучшему, даже если сама информация о цене хранится в тайне).

Упражнение 6.8

См. раздел 6.7. Для q = 1/4 Т — наименьшее время, такое, что 36 — 6Т+1 > > 2. Отсюда 6 > 2/3, если это условие будет удовлетворяться некоторое время Г. Для Т — 1 оно не удовлетворяется до тех пор, пока 6 = 1.

Упражнение 6.9 См. [44].

Упражнение 6.10

(Все выигрыши умножены на 36).

V. = V. = V« = 9= 4.5 (ffj) ,

v3 = YZS = т’

Vi = 5 + SWt, V, = V0 = -Г—74.5 = We = Wb = W4 = W„, I

— o

^ = Г374-5' m = a (5 + у4г4-5) + f1 - a) (2-5 + r~74-5) •

Вероятность a такова, что Vi = 2.5 + bW\. (Для каждой из фирм не имеет значения, сохранять ли цену pi или устанавливать монопольную цену). Таким образом,

4(5 + 9<52 - 5

5(5 + 9<52

(при этом а ~ 4/7 при Ь, близкой 1).

Проверять, образуют ли эти стратегии равновесие, здесь не имеет смысла. В тексте МЫ видели, ЧТО снижение цены ОТ Рз ДО Р2 не принесет прибыли. Давайте просто покажем, ЧТО при Р2 фирма скорее предпочтет СНИЗИТЬ цену ДО Pi, чем возвратиться к монопольной цене. При снижении цены она получает 6

6

• 5 + bWx = 5 + {Vi - 2.5) = 2.5 + Vi = 2.5 + -4.5 > r4.5,

I—o l—o

и это именно то, что она получила бы при установлении монопольной цены.

Упражнение 6.11 См. [52].

ЛИТЕРАТУРА 1.

Abreu D. Repeated Games with Discounting : A General Theory and an Application to

Oligopoly : Ph. D. Thesis. Dep. of Economics. Princeton Univ., 1983. 2.

Abreu D. Extremal Equilibria of Oligopolistic Supergames // Journ. Econ. Theory. 1986. Vol. 39. P. 191-225. 3.

Abreu D. On the Theory of Infinitely Repeated Games with Discounting // Econometrica. 1987.

4 .Abreu D., Pearce D., Stachetti E. Optimal Cartel Equilibria with Imperfect Monitoring // Journ. Econ. Theory. 1985. Vol. 39. P. 251-269. 5.

Abreu D., Pearce D., Stachetti E. Toward A Theory of Discounted Repeated Games with Imperfect Monitoring. 1986. (Mimeo). 6.

Abreu D., Rubinstein A. The Structure of Nash Equilibria in Repeated Games with Finite

Automatas. Harvard Univ., 1986. (Mimeo). 7.

Alchian A. Uncertainty, Evolution and Economic Theory // Journ. Polit. Econ. 1950.

Vol. 58. P. 211-222. 8.

Appelbaum E. The Estimation of the Degree of Oligopoly Power // Journ. Econometrics. 1982.

Vol. 19. P. 287-299. 9.

Arrow K., Beckmann М., Karlin S. The Optimal Expansion of the Capacity of a Firm //

Arrow K., Karlin S., Scarf H. Studies of Mathematical Theory of Inventory and Production. Stanford Univ. Press, 1958. 10.

Arrow K., Karlin S., Scarf H. Studies of Mathematical Theory of Inventory and Produc

tion. Stanford Univ. Press, 1958. 11.

Aumann R.. Shapley L. Long Term Competition : A Game Theoretic Analysis. 1976.

(Mimeo). 12.

Aumann R„ Sorin S. Bounded Rationality and Cooperation. Jerusalem : Hebrew Univ., 1986.

(Mimeo). 13.

Axelrod R. Effective Choice in the Prisoner’s Dilemma // Journ. Conflict Resolution. 1980.

Vol. 24. P. 3-25. 14.

Axelrod R. The Emergence of Cooperation among Egoists // Amer. Polit. Sci. Rev. 1981.

Vol. 28. P. 1-12. 15.

Axelrod R. The Evolution of Cooperation. New York : Basic Books, 1984. 16.

Axelrod R., Hamilton W. The Evolution of Cooperation // Science. 1981. Vol. 211.

P. 1390-1396. 17.

Bain J. Barriers to New Competition. Cambridge, Mass. : Harvard Univ. Press, 1956. 18.

Barro R. A Theory of Monopolistic Price Adjustment // Rev. Econ. Stud. 1972. Vol. 39.

P. 17-26. 19.

Benabou R. Optimal Price Dynamics and Speculation with a Storable Good : Ph. D. Thesis. Dep. of Economics. Mass. Inst. Technology, 1985. 20.

Benoit J.-P., Krishna V. Finitely Repeated Games // Econometrica. 1985. Vol. 53.

P. 890-904. 21.

Benoit J.-P., Krishna V. Dynamic Duopoly : Prices and Quantities // Rev. Econ. Stud. 1987.

Vol. 54. P. 23-36. 22.

Bernheim D., Whinston M. Multimarket Contact and Collusive Behavior. Dep. of Eco

nomics. Harvard Univ., 1986. (Mimeo). 23.

Bishop R. Duopoly: Collusion or Warfare? // Amer. Econ. Rev. 1960. Vol. 50. P. 933-

961. 24.

Blanchard О. Price Asynchronization and Price Level Inertia // Inflation, Debt and

Indexation / Ed. by R. Dornbusch, M. Simonsen. Cambridge, Mass. : MIT Press,

1983. 25.

Bowley A. The Mathematical Groundwork of Economics. Oxford Univ. Press, 1924. 26.

Bresnahan T. The Relationship between Price and Marginal Cost in the U. S. Automobile

Industry // Journ. Econometrics. 1981. Vol. 17. P. 201-227. 27.

Bresnahan T. Competition and Collusion in the American Automobile Industry : The

1955 Price War // Journ. Industr. Econ. 1987. Vol. 35. P. 457-482. 28.

Bresnahan T. Empirical Studies of Industries with Market Power // Handbook of Indus

trial Organization / Ed. by R. Schmalensee, R. Willig. Amsterdam : North-Holland,

1987. 29.

Brock W.> Scheinkman J. Price Setting Supergames with Capacity Constraints // Rev.

Econ. Stud. 1985. Vol. 52. P. 371-382. 30.

Caplin A., Spulber D. Inflation, Menu Costs, and Endogenous Price Variability // Quart.

Journ. Econ. 1987. Vol. 102. P. 703-726. 31.

Chamberlin E. Duopoly : Value Where Sellers Are Few // Ibid. 1929. Vol. 43. P. 63-100. 32.

Chamberlin E. The Theory of Monopolistic Competition. Cambridge, Mass. : Harvard

Univ. Press, 1933 (русский перевод: Чемберлин Э. Теория монополистической конкуренции. М., 1959. — Прим. ред.). 33.

Cook P. Facts and Fancy on Identical Bids // Harvard Business Rev. 1963. Vol. 41.

P. 67-72. 34.

Damme E. van. Renegotiation-Proof Equilibria in Repeated Prisoner’s Dilemma. Univ.

Bonn, 1986. (Mimeo). 35.

Davidson C., Deneckere R. Excess Capacity and Collusion // Discussion Paper 675. DM-

SEMS, Northwestern Univ. 1985. 36.

Eaton J., Engers M. International Price Competition. Univ. of Virginia, 1987.

(Mimeo). 37.

Farrell J., Maskin E. Renegotiation in Repeated Games. Harvard Univ., 1986. (Mimeo). 38.

Friedman J. A Noncooperative Equilibrium for Supergames // Rev. Econ. Stud. 1971.

Vol. 28. P. 1-12. 39.

Friedman J. Oligopoly and the Theory of Games. Amsterdam : North-Holland, 1977. 40.

Fudenberg D., Levine D. Reputation and Equilibrium Selection in Games with a Patient

Player. Mass. Inst, of Technology, 1987. (Mimeo). 41.

Fudenberg D., Levine D., Maskin E. The Folk Theorem in Discounted Repeated Games

with Imperfect Public Information. Mass. Inst, of Technology, 1988. (Mimeo). 42.

Fudenberg D., Maskin E. The Folk Theorem in Repeated Games with Discounting and

with Incomplete Information // Econometrica. 1986. Vol. 54. P. 533-554. 43.

Gertner R. Dynamic Duopoly with Price Inertia : Ph. D. Thesis. Dep. of Economics.

Mass. Inst, of Technology, 1986. 44.

Green E„ Porter R. Non-cooperative Collusion Under Imperfect Price Information //

Econometrica. 1984. Vol. 52. P. 87-100. 45.

Hall R., Hitch C. Price Theory and Business Behavior // Oxford Econ. Pap. 1939. Vol. 2. « P. 12-45. 46.

Hirshleifer J. Economics from a Biological Viewpoint // Journ. Law a. Econ. 1977.

Vol. 20. P. 1-52. 47.

Iwata G. Measurement of Conjectural Variations in Oligopoly // Econometrica. 1974.

Vol. 42. P. 947-966. 48.

Kalai E., Stanford W. Finite Rationality and Interpersonal Complexity in Repeated

Games. Northwestern Univ., 1986. (Mimeo). 49.

Kreps D., Milgrom P., Roberts J., Wilson R. Rational Cooperation in the Finitely Repeated

Prisoner’s Dilemma // Journ. Econ. Theory. 1982. Vol. 27. P. 245-252. 50.

Maskin E., Myerson R., Radner R. An Example of a Repeated Partnership Game with

Discounting and with Uniformly Inefficient Equilibria // Rev. Econ. Stud. 1986. Vol. 53. P. 59-70. 51.

Maskin E., Tirole J. A Theory of Dynamic Oligopoly. II. Price Competition // Mass.

Inst, of Technology. Working Paper 373, 1985. 52.

Maskin E., Tirole J. A Theory of Dynamic Oligopoly. II. Price Competition, Kinked

Demand Curves and Edgeworth Cycles // Econometrica. 1988. 53.

Maynard Smith J. The Theory of Games and the Evolution of Animal Conflict // Journ.

Theoretical Biol. 1974. Vol. 47. P. 209-221. 54.

Maynard Smith J. The Evolution of Behavior // Sci. Amer. 1978. Vol. 239, N 3.

P. 176-192. 55.

Milgrom P. Axelrod’s The Evolution of Cooperation // Rand Journ. Econ. 1984. Vol. 15.

P. 305-309. 56.

Milgrom P. Auction Theory // Advances in Economic Theory // Ed. by T. Bewley.

Cambridge Univ. Press, 1985. 57.

Mills E. Price, Output and Inventories. New York : Wiley, 1962. 58.

Mookherjee D., Ray D. Collusive Market Structure under Learning by Doing and In

creasing Returns // Report RP 884-R. Stanford Univ. Graduate School of Business, 1986. 59.

Nelson R., Winter S. An Evolutionary Theory of Economic Change. Cambridge, Mass :

Harvard Univ. Press, 1982. 60.

OrrD., MacAvoy P. Price Strategies to Promote Cartel Stability // Econometrica. 1965.

Vol. 32. P. 186-197. 61.

Ortega-Reichert A. Models for Competitive Bidding under Uncertainty : Ph.D.thesis.

Stanford Univ., 1967. 62.

Pearce D. Renegotiation-Proof Equilibria : Collective Rationality and Intertemporal

Cooperation. Yale Univ., 1987. (Mimeo). 63.

Porter R. A Study of Cartel Stability: The Joint Economic Committee, 1880-1886 //

Bell Journ. Econ. 1983. Vol. 14. P. 301-314. 64.

Porter R. Cases in Competitive Strategy. New York : Free Press, 1983. 65.

Porter R. Optimal Cartel Trigger Price Strategies // Journ. Econ. Theory. 1983. Vol. 29.

P. 313-338. 66.

Riordan M. Imperfect Information and Dynamic Conjectural Variations // Rand Journ.

Econ. 1985. Vol. 16. P. 41-50. 67.

Rotemberg J., Saloner G. Price Leadership. Mass. Inst, of Technology, 1985.

(Mimeo). 68.

Rotemberg JSaloner G. Strategic Inventories and the Excess Volatility of Production.

Mass. Inst, of Technology, 1985. (Mimeo). 69.

Rotemberg J., Saloner G. A Supergame-Theoretic Model of Business Cycles and Price

Wars during Booms // Amer. Econ. Rev. 1986. Vol. 76. P. 390-407. 70.

Rubinstein A. Equilibrium in Supergames with th Overtaking Criterion // Journ. Econ.

Theory. 1979. Vol. 21. P. 1-9. 71.

Rubinstein A. Finite Automata Play the Repeated Prisoner’s Dilemma // Ibid. 1986.

Vol. 39. P. 83-96. 72.

Schelling T. The Strategy of Conflict. Cambridge, Mass. : Harvard Univ. Press, 1960. 73.

Scherer F. Industrial Market Structure and Economic Performance. 2nd ed. Chicago :

Rand—McNally, 1980. 74.

Schmalensee R. Competitive Advantage and Collusive Optima // Intern. Journ. Industr.

Organization. 1987. Vol. 5. P. 351-368. 75.

Shapiro C. Theories of Oligopolistic Behavior // The Handbook of Industrial Organiza

tion / Ed. by R. Schmalensee, R. Willig. Amsterdam : North-Holland, 1986. 76.

Sheshinski E., Weiss Y. Inflation and Costs of Price Adjustment // Rev. Econ. Stud.

1977. Vol. 44. P. 287-304. 77.

Sheshinski E., Weiss Y. Optimum Pricing Policy under Stochastic Inflation // Ibid. 1983.

Vol. 50. P. 513-529. 78.

Slade M. Price Wars in Price Setting Supergames. Univ. of British Columbia, 1985.

(Mimeo). 79.

Stigler G. The Kinky Oligopoly Demand Curve and Rigid Prices // Journ. Polit. Econ.

1947. Vol. 55. P. 442-444 (русский перевод: Стиглер Дж. Ломаная кривая спроса олигополиста и жесткие цены // Теория фирмы. СПб., 1995. (Вехи экономической мысли ; Вып. 2). — Прим. ред.). 80.

Stigler G. A Theory of Oligopoly // Ibid. 1964. Vol. 72. P. 44-61 (русский перевод:

Стиглер Дж. Теория олигополии //Теория фирмы. СПб., 1995. (Вехи экономической мысли ; Вып. 2). — Прим. ред.). 81.

Sultan R. Pricing in the Electrical Oligopoly. Division of Research. Harvard Graduate

School of Business Administration, 1975. 82.

Sumner D. Measurement of Monopoly Behavior : An Application to the Cigarette Indus

try // Journ. Polit. Econ. 1981. Vol. 89. P. 1010-1019. 83.

Sweezy P. Demand under Conditions of Oligopoly // Ibid. 1939. Vol. 47. P. 568-573. *

84. Telser L. Why Should Manufacturers Want Fair Trade? // Journ. Law a. Econ. 1960. Vol. 3. P. 86-105.

85. Zabel E. Multiperiod Monopoly under Uncertainty // Journ. Econ. Theory. 1972. Vol. 5. P. 524-536.

<< | >>
Источник: Тироль Ж.. Рынки и рыночная власть : Теория организации промышленности / Пер. с англ. СПб. : Экономическая школа.. 1995

Еще по теме НАРОДНЫЕ ТЕОРЕМЫ:

  1. § 4. Теорема Модильяни - Миллера (теорема ММ)
  2. § 15.3. ТЕОРЕМА РАЗДЕЛЕНИЯ
  3. § 42.3. ТЕОРЕМА РАЗДЕЛЕНИЯ
  4. Лекция № 9 ТЕОРЕМА КОУЗА
  5. 9.2. Формулировка теоремы
  6. Тема 5. ТЕОРЕМА КОУЗА И ТРАНСАКЦИОННЫЕ ИЗДЕРЖКИ
  7. Теорема ожидаемой полезности
  8. I. Теорема Коуза
  9. Теорема “паутины” Тинбергена
  10. 2.2. Теорема отделения
  11. § 1. ТЕОРЕМА КОУЗА
  12. Теорема Мизеса о невозможности социализма
- Бюджетная система - Внешнеэкономическая деятельность - Государственное регулирование экономики - Инновационная экономика - Институциональная экономика - Институциональная экономическая теория - Информационные системы в экономике - Информационные технологии в экономике - История мировой экономики - История экономических учений - Кризисная экономика - Логистика - Макроэкономика (учебник) - Математические методы и моделирование в экономике - Международные экономические отношения - Микроэкономика - Мировая экономика - Налоги и налолгообложение - Основы коммерческой деятельности - Отраслевая экономика - Оценочная деятельность - Планирование и контроль на предприятии - Политэкономия - Региональная и национальная экономика - Российская экономика - Системы технологий - Страхование - Товароведение - Торговое дело - Философия экономики - Финансовое планирование и прогнозирование - Ценообразование - Экономика зарубежных стран - Экономика и управление народным хозяйством - Экономика машиностроения - Экономика общественного сектора - Экономика отраслевых рынков - Экономика полезных ископаемых - Экономика предприятий - Экономика природных ресурсов - Экономика природопользования - Экономика сельского хозяйства - Экономика таможенного дел - Экономика транспорта - Экономика труда - Экономика туризма - Экономическая история - Экономическая публицистика - Экономическая социология - Экономическая статистика - Экономическая теория - Экономический анализ - Эффективность производства -