<<
>>

11.2. СОВЕРШЕННОЕ РАВНОВЕСИЕ

При равновесии Нэша игроки принимают стратегии своих оппонентов как данные; следовательно, они не рассматривают возможности влияния на них. В играх, гце игрок делает ходы, рассмотрев действия своих оппонентов (что мы называем динамическими играми), это предположение наивно и приводит к некоторому абсурдному равновесию Нэша, как мы видели в предыдущем разделе.

В этом разделе представлено усовершенствование равновесия Нэша для динамических игр, которое смягчает его недостатки. Рассмотрим вновь последовательную игру 1 (рис. 11.1) и равновесие Нэша {а*, а^}. Игрок 1 не играет R, так как игрок 2 угрожает в этом случае сыграть /. Но предположим, что игрок 1 играет R. Тогда игрок 2, столкнувшись со свершившимся фактом, выиграет, играя г, так как тогда он получит 1 вместо 0.

Таким образом, угроза игрока 2 не заслуживает доверия. Игрок 1, который должен это предвидеть, играет Я, что дает ему выплату, равную 3, — большую, чем он бы получил, играя L. Поэтому предложенное равновесие Нэша базируется на не заслуживающей доверия угрозе, т. е. угрозе, которую игрок бы не выполнил, если бы его поставили перед необходимостью сделать это.

Главный смысл совершенного равновесия состоит в том, чтобы выбрать такое равновесие Нэша, которое не связано с не заслуживающими доверия угрозами. Для этого нужно, чтобы поведение игроков было оптимальным даже в ситуациях, не достигаемых на траектории равновесия. Например, решение игрока 2 сыграть I после того, как игрок 1 сыграл R, не является оптимальным; причина, по которой {а*, <4} есть равновесие Нэша, состоит в том, что это субоптимальное решение не стоит игроку 2 ничего, потому что игрок 1 должен играть L (на языке теории игр можно сказать, что игра R игрока 1 имеет нулевую вероятность). Наоборот, совершенное равновесие требует, чтобы игрок 2 играл оптимально, независимо от того, как сыграет игрок 1: R или L.

Это равносильно устранению доминируемых стратегий для игрока 2; вот почему усовершенствование дает тот же ответ, что и устранение доминируемых стратегий для этой игры (см. ниже класс игр, в которых два метода дают одинаковый ответ).

^-v Чтобы получить совершенное равновесие, мы

\D работаем «назад». Зная оптимальную реакцию

игрока 2 на каждый из потенциальных ходов игрока 1, мы можем «свернуть дерево», как показано нарис 11.4. Оценки игрока 1 (соответственно игрока 2) равны 2 и 3 (соответственно 0 и 1) после того, как игрок 1 сыграл / или г. (Оценки

представляют собой выплаты, которые получают игроки по достижении определенного положения на дереве игры). Затем игра сокращается до про- 2

j блемы выбирающего единственное решение, когда 0

- - ^ игрок 1 выбирает R. Процесс обратной индукции

на дереве называется алгоритмом Куна [40]. с* ’ * Для более общих игр определим (правильную)

субигру как подмножество начального дерева игры, которое: 1) начинается с информационного множества, содержащего только один узел, 2) закрыто по преемственности (если узел находится в субигре, то и его приемники тоже) и 3) таково, что все информационные множества субигры являются информационными множествами начальной игры.

В частности, сама игра является одной из ее субигр. Например, игра 1 имеет три субигры: саму себя и две другие, начинающиеся после хода игрока 1. Наоборот, игра 2 является единственной субигрой из-за требования 1. Совершенное равновесие субигры [61] — это такой набор стратегий для каждого игрока, что в любой субигре стратегии формируют равновесие Нэша. Таким образом, совершенство требует, чтобы стратегии были в равновесии, независимо от положения (читай, субигры) на дереве игры, и не только вдоль траектории равновесия. Совершенное равновесие — обязательно равновесие Нэша (рассмотрите большую субигру, представленную самой игрой). В игре 1 две субигры второго периода являются проблемами принимающего единственное решение. Равновесие Нэша в этих субиграх означает, что принимающий решение (игрок 2) выбирает свой лучший ход.

Существуют два вида широко используемых игр, для которых совершенство очень сильно: игры с совершенной информацией и игры с «почти совершенной» информацией. 11.3.1.

ИГРЫ С СОВЕРШЕННОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ

Грубо говоря, в этих играх очередной игрок знает (обладает совершенной информацией) все ходы, которые были предприняты ранее. Здесь полностью отсутствует элемент одновременности. Формально все информационные множества имеют только один узел. Игра 1 является примером такой игры; игра Штакельберга из главы 8 и ценовая игра с краткосрочным связыванием из главы 6 тоже. Любопытно в этих играх то, что повторное устранение слабо доминируемых стратегий на нормальной форме ведет к совершенному равновесию (по крайней мере для конечных игр). Чтобы это увидеть, начните с конечного периода или конечных узлов (в игре 1 есть два таких узла). Устранение (на первой стадии) доминируемых стратегий игрока, играющего последним, ведет к его оптимальному поведению на каждом конечном узле. Когда поведение в последнем периоде свернуто назад к оценкам, период, наиболее близкий к последнему, становится последним, и опять устранение (на второй стадии) доминируемых стратегий приводит к оптимальному поведению и т. д. Следовательно, повторное устранение доминируемых стратегий удовлетворяет обратной индукции на дереве [40]. (Оба понятия почти равноценны. Для примера, где они различаются, замените выплату 3 в игре 1 выплатой 2. {R, г} — совершенное равновесие, оно, однако, вытесняется устранением слабо доминируемых стратегий. Читатель убедится, что последовательное устранение сильно доминируемых стратегий в игре «нормальной формы с агентами» («agent normal form») точно ведет к набору совершенных равновесий. См. раздел 11.6.1, где есть определение нормальной формы с агентами; см. [49], где даны результаты устранения слабо доминируемых стратегий).

Пример 1. Рассмотрим алгебраический пример двухпериодной структуры игры 1. Для этого рассмотрим такую же ценовую игру, как в разделе 11.2, исключив то, что фирма 2 наблюдает за ценой фирмы 1, еще не выбрав своей. Логика обратной индукции требует, чтобы фирма 1 предвидела то, что фирма 2 будет оптимально реагировать на любой выбор р\.

Это означает, что фирме 1 следует решить проблему оптимизации второго периода для фирмы 2 прежде, чем ваяться за свою проблему первого периода. Зная р\, фирма 2 максимизирует

таким образом, где R2 обозначает (оптимальную) реакцию фирмы 2. Итак, фирма 1 максимизирует

(Pi - с)[ 1 - bpi + d?2(pi)].

Заметьте, что она учитывает влияние pi на р2. Решением тогда является

„ _ (26 + d)(l + be) - d2c Pl ~ 462 - 2d?

vl = MvD-

(Цены выше в последовательной игре, чем в одновременной. Объяснения в терминах стратегических дополнений см. в главе 8).

Пример 2. Рассмотрим игру-торг (bargaining game) Рубинстайна [58], где два игрока, которые должны разделить пирог размера 1, делают последовательные различные предложения. В момент 1 игрок 1 делает предложение хг в [0, 1]; игрок 2 принимает или отвергает х\. Если принимает, он получает 1 — x\t оставляя х\ игроку 1. Если отвергает, то делает предложение ?2 в [0> 1] в момент 2. Если предложение принято, он получает 1 — х2 во втором периоде, а игрок 1 получает х2; если игрок 1 отвергает это предложение, ему приходится сделать предложение Хз в момент 3, и т. д. Игроки делают предложения поочередно до тех пор, пока один не примет предложения своего оппонента. Выплаты равняются Stxt для игрока 1 и <5<(1 — xt) для игрока 2, если они остановятся в момент t на доле xt для игрока 1. Дисконтирующий множитель ? принадлежит (0, 1). Нетерпение явится той движущей силой, которая приведет к соглашению в данной модели. Это игра с совершенной информацией. Каждый игрок, делающий предложение или отвечающий на него, знает все действия, предпринятые до его хода. Предположите, что есть Т периодов. Для определения совершенного равновесия посмотрите сначала на последний период. Ясно, что игрок, делающий предложение в период Т, требует весь пирог, так как другой игрок не сможет сделать большей ставки. Таким образом, xj< = 0, если Т — четное, и хт = 1» если Т — нечетное. В период Т — 1 игрок, делающий предложение, дает другому игроку такую долю пирога, что тому все равно, что получить: эту долю в Т — 1 или целый пирог в Т и т.

д.

Упражнение 11.7**. Решите предыдущую игру для Т = 2,3,... Покажите, что х\ стремится к 1/(1 + ?) при Т, стремящемся к бесконечности.

Вместо того чтобы рассматривать случай с конечным горизонтом (см. упражнение 11.7), мы остановимся на случае бесконечного горизонта, для того чтобы показать, как непосредственную обратную индукцию можно заменить использованием функций оценки. Предположим, что горизонт бесконечен. Давайте поищем «стационарные стратегии»: когда игрок 1 делает предложение, он всегда предлагает х\\ когда игрок 2 делает предложение, он всегда предлагает х2. Эти предложения и любые, более предпочтительные для отвечающего игрока всегда принимаются; отвергаются те, которые для отвечающего игрока менее предпочтительны.

Пусть обозначает оценку г-го игрока, когда подошла его очередь делать предложение. Это означает, что Vi — выплата, ожидаемая г-м игроком, когда

он делает (оптимальное) предложение. Пусть 1У, обозначает оценку г-го игрока, когда подошла очередь другого игрока делать предложение. Заметьте, что, поскольку стратегии стационарны, эти оценки не зависят от времени. Заметьте также, что из определения х\ я х2 следует

V\ = ®i, W2 = 1 - хг; V2 = 1 - х2, W2 = х2

и что

Vi + W2 = V2 + Wi = 1.

Теперь, когда игрок 1 делает предложение, он предлагает игроку 2 такую долю, что последнему все равно, принять ли сейчас или подождать следующего периода (предлагать больше было бы бесполезно). Следовательно, 1

— х2 = <5(1 — х2)

или

W2 = SV2.

И точно так же, когда игрок 2 делает предложение,

х2 = Ьх\

или

= 6Vі.

Так как игра симметрична, V\ — V2 = V и W\ = W2 — W. Следовательно, W = 5V и V + W — 1 приводят к V = 1/(1 -f 6) и W = <5/(1 + 6). Итак, игрок, делающий предложение, получает 1/(1 + 6), другой получает остаток пирога: 6/(1+ 6). Равновесные стратегии таковы: предлагающий игрок предлагает долю 6/(1 + 6) отвечающему игроку; последний принимает любую долю, равную по крайней мере 6/(1 + 6), и отклоняет меньшую долю.

Заметьте, что это равновесие является пределом равновесия при конечном горизонте, когда Т стремится к бесконечности (см.

упражнение 11.7). Рубин- стайн доказал существование единственного равновесия в игре с бесконечным горизонтом.655

Упражнение 11.8***. Покажите, что равновесие_бесконечного горизонта единственно. Указание: введите следующие оценки: VІ (соответственно Vг) — высшая (соответственно низшая) возможная выплата для г-ro игрока в наборе совершенных равновесий, когда подошла его очередь делать предложение. Определите WІ и соответственно W_±. Каково соотношение между этими числами? Сделайте вывод, что V, = V+ = 1/(1 + 6) и WІ = W_i = 6/(1 + 6).

Упражнение 11.9*. Рассмотрим следующую задачу. Фирма может сделать или не сделать антиконкурентный ход (например, обмануть). Такой ход дает ч

Гша И

ей (дополнительную) денежную выплату д > 0. Антимонопольные власти могут заняться или не заняться выяснением. Затраты этого расследования равны с > 0. Если фирма сделала антиконкурентный ход и возбуждается следствие, она платит штраф р > д\ власти тогда получают s — с > 0. Если фирма не сделала такого хода и следствие возбуждено или если оно не возбуждено, штраф не выплачивается и платеж властям равен —с или 0 соответственно. 1.

Предположим, что антимонопольный орган выясняет, был ли совершен обман до возбуждения следствия. Нарисуйте дерево этой игры. Каково совершенное равновесие? 2.

Предположим, что до возбуждения следствия не выяснили, был ли обман. Нарисуйте дерево игры. Докажите, что здесь существует равновесие чистых стратегий. Подсчитайте равновесие смешанных стратегий. Как изменение размера штрафа повлияет на это равновесие? 11.3.2.

ИГРЫ С «ПОЧТИ СОВЕРШЕННОЙ* ИНФОРМАЦИЕЙ

Предположим, что игру можно разделить на ряд периодов t ~ 1,2, ...,Т (где Т конечно или бесконечно), что в каждый период t игроки одновременно выбирают ходы, зная все ходы, выбранные всеми с периода 1 до t — 1. Из-за того что такая игра предполагает одновременность только в рамках периода, мы называем эти расширенные формы играми с «почти совершенной» информацией. Простейшим примером такой игры является «повторяемая игра», в которой простая однопериодная игра с одновременным ходом (такая, как на рис. 11.2 и в табл. 11.2-11.4) повторяется Т раз и в момент t игроки знают все ходы, произведенные до t. В повторяемой игре нет физической связи между периодами.656 Напротив, последовательные количественно-ценовые игры из главы 5 и игры входа, приспособления и выхода из глав 7-9 физически связаны через все виды инвестиций. Например, когда фирмы обучаются делом, ценовая конкуренция в t отличается от ценовой конкуренции в t — 1 из-за изменения структуры затрат. Ограничимся кратким знакомством с повторяемыми играми. (Более полный материал по повторяемым играм см. в главе 6).

Пример: повторяемые игры. Давайте вернемся к игре «Дилемма заключенного», описанной в разделе 11.2, и пусть игроки играют в нее повторно (одновременно изучая прошлые ходы). Предположим, что выплата каждому игроку равна сегодняшней дисконтированной ценности попериодных выплат на всем горизонте времени (дисконтирующий множитель Ь в (0, 1)). Сначала допустим, что количество периодов Т конечно. Для того чтобы найти совершенное равновесие, работайте в обратном направлении, «от горизонта». В период Т стратегии определят (сформируют) равновесие Нэша при любой последовательности случаев. Так как выплаты в Т сепарабельны, на них не влияет история, стратегии должны определить равновесие Нэша однопериодной игры. Итак, из раздала 11.2 для любой истории аї(Т) = а?(Т) = F. Оба игрока предают. Рассмотрим период Т — 1. Стратегии должны образовать двухпериодное равновесие Нэша для любой истории. Однако два последних периода физически не зависят от истории, и исход периода Т не зависит от происходящего в периоде Т — 1. Следовательно, стратегии в Т—1 также должны образовать однопериодное равновесие Нэша. Таким образом, оба игрока предают в момент Т — 1. Согласно обратной индукции они предают во всех периодах. Это часть более общего результата: если равновесие однопериодной игры единственно, то равновесие Т-периодной игры является просто повторением этого равновесия Т раз.657 Это свойство не выполняется, когда Т = +оо (здесь происходит «разрыв в бесконечности*). Когда оба игрока предают в каждом периоде, независимо от истории, совершенное равновесие все-таки остается. При условии, что на будущие исходы не влияют сегодняшние ходы (они в любом случае предадут), обоим игрокам следует при предательстве максимизировать свои мгновенные выплаты. Но существует другое равновесие. Рассмотрим, к примеру, следующие симметричные стратегии: в любой период t игроки сотрудничают, если и только если оба игрока всегда сотрудничали между периодами 1 и t — 1. В период 1 оба сотрудничают. Это образует совершенное равновесие, если 6 > 1/5. В субигре, начинающейся с периода і, в которой один игрок уже предал в прошлом, оба предают навсегда. Нам известно, что такие стратегии совершенны (и, следовательно, совершенны по Нэшу). В субигре, где еще никто не предал, стратегии также образуют равновесие Нэша, они дают

2(1 + 6 + ?2 + ...) = -—

Если бы игрок отклонился и предал в момент t, он бы получил

3 — 2(6 + 62 + ...) = 3 — - -1

1—д

так как после t + 1 обе стратегии выработают тактику: «предавать навсегда». Таким образом, чтобы игрок сотрудничал, нам нужно 2

3 — 5 6

і-s> і-s

(долгосрочный выигрыш от устойчивого сотрудничества превышает краткосрочный выигрыш от уклонения от него), что дает 6 > 1/5.

Существует много других равновесий на бесконечном горизонте. Так называемая народная теорема дает точную характеристику набора совершенных равновесий в общих повторяемых играх с бесконечным горизонтом, когда дисконтирующий множитель очень близок к I.658

<< | >>
Источник: Тироль Ж.. Рынки и рыночная власть : Теория организации промышленности / Пер. с англ. СПб. : Экономическая школа.. 1995

Еще по теме 11.2. СОВЕРШЕННОЕ РАВНОВЕСИЕ:

  1. 11.3. СОВЕРШЕННОЕ БАЙЕСОВО РАВНОВЕСИЕ
  2. А.2. Самоподдерживающееся поведение в динамических играх: обратная индукция и совершенные по подыграм равновесия
  3. Совершенно конкурентные фирмы и рынки Совершенная конкуренция: признаки и распространение. Спрос на продукт конкурентного продавца
  4. Предложение совершенно конкурентной фирмы в краткосрочном периоде. Конкурентное равновесие для фирмы и отрасли в краткосрочном периоде
  5. Соотношения между неявными ценами и предельными общественными ценностями: анализ частичного равновесия в рамках общего равновесия
  6. Взаимодействие спроса и предложения. Рыночное равновесие и неравновесие. Механизм установления равновесия
  7. Совершенные товары-субституты и совершенно комплиментарные товары
  8. Макроэкономическое равновесие в модели AD—AS. Изменение в равновесии
  9. Рыночное равновесие. Цена равновесия
  10. 3.1.4. Рыночное равновесие. Цена равновесия спроса и предложения. Значение и функции цены в рыночной экономике
  11. 1.2. Совершенная конкуренция
  12. Совершенная конкуренция
  13. Совершенная конкуренция
  14. СОВЕРШЕННАЯ КОНКУРЕНЦИЯ
  15. Оценка совершенной конкуренции
  16. 6.2.4. Совершенная конкуренция и эффективность
- Бюджетная система - Внешнеэкономическая деятельность - Государственное регулирование экономики - Инновационная экономика - Институциональная экономика - Институциональная экономическая теория - Информационные системы в экономике - Информационные технологии в экономике - История мировой экономики - История экономических учений - Кризисная экономика - Логистика - Макроэкономика (учебник) - Математические методы и моделирование в экономике - Международные экономические отношения - Микроэкономика - Мировая экономика - Налоги и налолгообложение - Основы коммерческой деятельности - Отраслевая экономика - Оценочная деятельность - Планирование и контроль на предприятии - Политэкономия - Региональная и национальная экономика - Российская экономика - Системы технологий - Страхование - Товароведение - Торговое дело - Философия экономики - Финансовое планирование и прогнозирование - Ценообразование - Экономика зарубежных стран - Экономика и управление народным хозяйством - Экономика машиностроения - Экономика общественного сектора - Экономика отраслевых рынков - Экономика полезных ископаемых - Экономика предприятий - Экономика природных ресурсов - Экономика природопользования - Экономика сельского хозяйства - Экономика таможенного дел - Экономика транспорта - Экономика труда - Экономика туризма - Экономическая история - Экономическая публицистика - Экономическая социология - Экономическая статистика - Экономическая теория - Экономический анализ - Эффективность производства -