Точность, устойчивость и адекватность модели

Качество модели проверяют по трем основным признакам: точности, устойчивости и адекватности. В разд. 4.4.2 мы кратко коснулись этих вопросов, рассмотрим их теперь подробнее.

А.

Если вид функции регрессии /(х) = E(Y\x) известен, а ее параметры определены методом наименьших квадратов, то стандартное отклонение определяется по формуле

где К — фактические, К. — расчетные значения выходного показателя Е, а т +1 — число параметров модели.

При переходе к нормированному выходному показателю по формуле Y' = Y/(Ymax - YmJ, где Emax и Emin — максимальное и минимальное наблюдаемые значения показателя Е, формула (7.5) принимает вид

Значительно сложнее обстоят дела в случае, когда вид функции Дх) неизвестен.

f.-(x) =f(x, 0              ), 0              — неизвестные параметры 0, построенные по

'              1/              U —об

обучающей подвыборке Bfl] .

Значение о позволяет оценить максимально возможную погрешность аппроксимации неизвестной функции регрессии (в пределах обследованного диапазона X) величиной ±2g/a//V , а результирующего показателя У(х) — величиной ±2а. Из сказанного следует, что наиболее точно приближает неизвестную функцию регрессии f(x) функция f(x), для которой о2 минимальна.

В случае когда экзаменующая подвыборка состоит из одного элемента, а обучающая — из всех остальных, формула (7.7) принимает вид

+ Замечание. Если вид функции регрессии не задан заранее, то величина Sp рассчитанная по формулам (7.5) или (7.6), не характеризует точность модели. Действительно, нетрудно подобрать функцию Y(x) = fix) такую, что S* невелико на заданной выборке, но на другой выборке Sp может оказаться очень большим, поскольку величина У(х) является случайной. Выбор модели по принципу минимизации критериев (7.7), (7.8) обеспечивает максимальную точность и устойчивость модели к варьированию состава выборочных данных, на основе которых она оценивается.

Точность параметрической аппроксимативной модели определяется величиной о2, вычисленной по формуле (7.8).

Пх) - У(х)

где fix) = ?(Т|х) — неизвестная функция регрессии, а fix) аппроксимация функции fix).

Для непараметрической модели а определим по формуле

о = min dib),

где dib) находится по формуле (7.3).

Так как [13] о задает асимптотически (при п —» сю) несмещенную оценку величины среднеквадратической погрешности непараметрической аппроксимации, то можно утверждать, что при достаточно большом N оценка (7.10) верна с вероятностью более 0,95, если остаток У- У подчиняется нормальному закону распределения.

Получить строгие оценки вида (7.9), (7.10) в данном случае при конечном N невозможно. В связи с этим в последующих разделах будут приведены результаты вычислительных экспериментов на модельных примерах, в которых регрессионная зависимость fix) известна. В этом

Б. Устойчивость модели по исходным статистическим данным в литературе не имеет однозначного толкования. Интуитивно под устойчивостью понимается относительно небольшая вариация расчетных значений при малых возмущениях входных данных.

Заметим вначале, что функция Y(x) = f(x) зависит от входных данных. Для того чтобы отметить эту зависимость в записи функции, введем обозначения:

XQ= (х..)м:"{ — матрица входных данных по объясняющим переменным (/= 1, ..., У; j= 1, ..., п)\

Y{) = (jr) j — столбец данных по выходному показателю;

АХ = (Алл— матрица возмущений объясняющих переменных;

AY = (АУ^=\ — столбец возмущений по выходному показателю.

Построенную модель можно записать в виде Y(x) =f(X0, Г0, х).

Тогда можно использовать общепринятое в математике понятие устойчивости, а именно: модель устойчива по X и Y, если найдется постоянная С gt; 0 такая, что

1/Ц, + А* г0 + АТ, х) - ДХ0, г0, х)| lt; С\\АХ\\ • ||ДТ||,              (7.12)

где ||ДТ|| — норма матрицы и ||ДТ|| — норма вектора.

Отметим, что параметр С может зависеть от размеров допустимой области возмущений АХ и АТ. Пусть Д2, = ДАУ||АТ||, а Дц = АТ/||АТ||, тогда АХ = кtA^, а АТ= к2Аг\. Неравенство тогда можно записать в виде

1ЛЛ + М^ го + Мл, X) -ДХ0, т0, х)| lt; С(кл, к2).              (7.13)

Неравенства (7.12) и (7.13) характеризуют абсолютную устойчивость, однако на практике более актуальным является вопрос об относительной устойчивости. Тогда неравенство (7.12) следует заменить на неравенство

lM + АТ г0 + д К х) - /lt;Т0, ?0, дг)| / |М. Ц *)1 lt;

lt; ЦДА1 ЦДЦ

“ 11Ц|| г0г

а в неравенстве (7.13) получаем: ||Д^|| = ||Т0||, ||Дг||| = ||Т0

Если функция С{к{, к-,) быстро возрастает, начиная с некоторых к°{, кто будем говорить, что модель теряет устойчивость при превышении погрешности по входным факторам на к°{ • 100%, а по выходным показателям — на к2- 100%.

Аналогичным образом можно определить меру устойчивости по выходным показателям при фиксированных входных объясняющих факторах, а также устойчивость по отдельным факторам.

Адекватность модели можно рассматривать с двух позиций: по экономико-математической модели в целом и по математической составляющей этой модели (см. разд. 4.4.2 и 4.4.4). Проверка адекватности экономикоматематической модели проводится стандартным образом и сводится к проверке нескольких признаков для ряда остатков г;.= Yj-f(xj): равенство нулю математического ожидания (несмещенность модели); выполнение нормального закона распределения для уровней остатка; вычисление ко-

N              N              _ 2

эффициента детерминации: R2 - 1 -              - У) , который показы-

/= 1 /= 1

вает долю вариации показателя Y под воздействием объясняющих факторов X = (Х1, ..., XJ.

Под мерой адекватности математической составляющей модели мы понимаем отклонение аппроксимативной модели Y(x)=/(x) от искомой регрессионной зависимости f(x) = E(Y\Х= х). Поскольку функция f(x)

нам неизвестна, то погрешность Е = max оценкой 2 a/VA в неравенстве (7.9).