<<
>>

1.2. Сравнение результатов наращения по различным процентным ставкам

Сопоставим наращенные суммы при использовании простых и сложных процентных ставок. Как видно из формул (1.2) и (1.5), различия в множителях наращения будут определяться величиной процентной ставки и продолжительностью периода наращения.

В табл. 1.1 приведены множители наращения для меняющихся условий.

Таблица 1.1

М ножител и наращения для меняющихся условий Период наращения первоначальной суммы, годы Множитель наращения при / 10% 30% Простые

проценты Сложные

проценты Простые

проценты Сложные

проценты 0,5 1,05 1,04891 1,15 1,1402 1,0 1,10 1,10000 1,30 1,3000 2,0 1,20 1,21000 1,60 1,6900 5,0 1,50 1,61050 2,50 3,7129 10,0 2,00 2,59370 4,00 • 13,7859 На основании данных табл. 1.1 можно сделать следующие выводы: 1)

при одинаковой величине процентной ставки расхождение в размере множителя наращения возрастает с увеличением продолжительности периода пользования ссудой, причем при п < 1 имеем 1 + тп > (1 + /с)", где Ь и /с — соответственно ставки простых и сложных процентов. Таким образом, при краткосрочном кредитовании банку или другому кредитору более выгодно использовать простые процентные ставки, так как возрастает величина процентного дохода (см. рис. 1.1).

При п = 1 множители наращения равны друг другу, а это означает, что размер дохода будет одним и тем же при использовании разных процентных ставок.

При п > 1 (т.е. при долгосрочном кредитовании) 1 + я/„ < (1 + + /у\ а это означает, что использование сложных процентов выгодно кредитору при предоставлении долгосрочных ссуд (см. рис. 1.1); 2)

при одинаковом периоде кредитования величина множителя наращения зависит от вида и размера процентной ставки (срав- ение производим по строкам табл. 1.1). При п > 1 очевидно, что ем больше процентная ставка, тем больше выгоды кредитору риносит использование сложных процентов.

Так, за 5 лет, используя простую процентную ставку, размер лроцентного дохода банка составит при:

/ = 10% — 0,50 первоначальной суммы;

/ = 30% — 1,50 от суммы ссуды.

Применяя сложную процентную ставку, размеры процентно- дохода за 5 лет будут равны при:

/ = 10% — 0,6105 суммы ссуды;

/' = 30% — 2,7129 суммы ссуды.

В табл.

1.2 сравнивается рост 100 дол., вложенных под сложные проценты, против вложения их под простые проценты. И в том и в другом случаях процентная ставка равна 10%>.

Таблица 1.2

Наращение 100 дол., вложенных под 10% сложных и простых, до л. Простая процентная ставка Сложная процентная ставка Год Сумма на начало года Проценты Сумма на конец года Сумма на начало года Проценты Сумма на конец года 1 100 10 110 100 10 110 2 110 10 120 110 11 121 3 120 10 130 121 12,1 133,1 4 130 10 140 133,1 13,3 146,4 5 140 10 150 146,4 15,7 162,1 10 190 10 200 236 23 259 20 290 10 300 612 61 673 50 590 10 600 10 672 1067 11 739 Следует отметить, что в случае простых процентов первоначальная сумма увеличивается только на 10 дол. в год. В случае сложных процентов клиент имеет на счете к концу первого года 110 дол., за второй год проценты начисляются на эти 110 дол., так что к концу второго года на счете будет 110 • 1,1 — 121 дол. [или 100(1 +0,1)2] и т.д.

В табл. 1.2 показано, что разница между суммой простых и сложных процентов нулевая для одного года, незначительна (1 дол.) для второго года и значительно возрастает для вкладов на 10 лет и более.

Влияние различия в величине процентных ставок можно наглядно показать при определении периода, необходимого для уд воения первоиачхчьной суммы Р. Для приблизительного определения срока удвоения можно воспользоваться так называемым «правилом числа 72». Если известна процентная ставка, то удвоение первоначальной суммы (при использовании сложных процентов) произойдет за число лет п = 72//с.

Например, при использовании /с = 8% первоначальная сумма удвоится за 9 лет, а при инвестициях с доходом 24% удвоение вложенного капитала произойдет за 3 года.

Для сравнения полезности «правила числа 72» ниже приведены расчетные значения периода удвоения первоначальной суммы (годы) в зависимости от процентной ставки, %: 2.0

5,0 10,0 15,0 20,0 35.0

14,2 7,3 5,0 3,8

Если / = 10%, то период удвоения первоначальной суммы составит 7,3 года.

Применение «правила числа 72» дает значение 7,2

года (72/10,0), что достаточно близко к точному значению п.

Если срок кредита или хранения денег на депозите не является целым числом (но п > 1), то множитель наращения можно определить двумя способами. В первом случае в формулу наращенной суммы подставляют степень, соответствующую величине п. При втором способе величину п представляют в виде суммы целой (л,) и дробной (л2) частей, т.е. л = л, + л2. Тогда множитель наращения определится произведением

(1ч-/)"1 (1 + /я2).

Покажем расчет наращенной суммы на примере.

Пример 1.4. Кредит и размере 400 тыс. дол. выдан на 2,5 года, процентная ставка равна 5,4%. Определить наращенную сумму (или сумму долга на конец срока).

В этом примере срок пользования ссудой состоит из целой и дробной частей. Для определения наращенной суммы можно использовать два способа: 1)

воспользоваться формулой сложных процентов (1.5), и тогда наращенная сумма 5 = 400(1 + 0,054)2*5 = 456,207 тыс. дол.; 2)

во втором варианте воспользуемся смешанным методом, когда за целое число лет начисляются сложные проценты, за дробную часть периода — простые проценты. Тогда в нашем примере

5 = 400(1 + 0,054)3 (1 + 0,5 + 0,054) = 690,545 тыс, дол.

Результаты расчетов показывают, что при смешанном методе (второй способ) размер процентного дохода банка (или издержки заемщика) больше, чем при использовании формулы сложных процентов.

Если в операциях коммерческого банка применяется меняющаяся, а не фиксированная ставка, то повышается неопределенность результатов банковских операций. Так, увеличение общего уровня процентных ставок приведет к увеличению расходов по кредитам для заемщиков, а для вкладчиков — к увеличению доходов на вложенные средства.

На рис. 1.2 показаны варианты, к которым приведет вложение 5000 дол. на трехлетний депозит под 8% годовых с пересмотром процентной ставки каждые полгода.

5000

I ^Открыт депозит

Через полгода

5200

Через год 5408 5434

5624,32 5651,36 5678,53

5849.29 5877,41 5905,67 5934,06

Через 1,5 года

6083,26 6112,51 6141,89 6171,43 6201,09

Через 2 года

Левая ветвь показывает результат, который получит вкладчик, если процентная ставка в течение трех лет не изменится, т.е.

сохранится на уровне 8%, Правая ветвь рисунка характеризует ту умму, которую будет иметь вкладчик, если спустя полгода ставки по Депозиту возрастут на 1% и сохранятся на уровне 9% в последующие 2,5 года. Все промежуточные ветви дают результат при колебаниях процентной ставки в пределах 8—9%.

Через первые полгода на счете клиента будет находиться 5200 дол. |5000(I + У2 • 0,08)]. Если процентные ставки не изменятся, то через год на счете будет уже 5408 дол. (5000 ? 1,04). Однако если процентные ставки по депозиту возрастут на 1%, то на счете через год будет 5434 дол. (5200 - 1,045) и т.д. Результаты расчетов

Через 3 года

6326,59 6357,01 6387,57 6418,28 6449,13 6480.14

Рис. 1.2. Варианты наращения первоначальной суммы при пересмотре процентных ставок по полугодиям

Через 2,5 года сумм на счете для каждого полугодия представлены в вершинах ветвей на рис, 1.2.

Формулы (1.2) и (1.5) для определения наращенной суммы используются и для определения других входящих в их состав параметров, поскольку при разработке условий финансовых операций могут встретиться различные сочетания первоначальных условий.

Так, например, клиенту нужно установить сумму, которую следует положить на счет в банке при начислении 5% годовых, чтобы через 3 года получить 10 тыс. дол.

В этом примере известны наращенная сумма, срок, на который будут вложены деньги, и размер процентной ставки, а необходимо определить первоначальную сумму Р. 1.

При использовании простой процентной ставки:

Р= 5/(1 + ni) = 10 000/(1 +' 3,0 • 0,05) = 8695,7 дол.

Таким образом, положив на счет 8695,7 дол., через 3 года клиент получит 10 000 дол. 2.

При использовании сложной процентной ставки:

Рш S/{\ + 0" = 10 000/(1 + 0,05)3 = 8638,4 дол.

Таким образом, если расчеты будут производиться с применением сложной процентной ставки, то для получения той же суммы в будущем клиенту потребуется иметь меньший размер наличности.

Определение стоимости некоторой величины Я в современных условиях при предположении, что в будущем она составит S, носит название дисконтирования.

Величину Р, найденную дисконтированием будущей стоимости 5, называют современной или текущей стоимостью S(present value). В этом случае говорят о математическом дисконтировании будущего потока денежных средств.

Процесс дисконтирования связан с определением настоящей (или текущей) стоимости денег, если известна сумма, получаемая в определенный момент в будущем. В отличие от процесса наращения, где известна текущая стоимость Р, в процессе дисконтирования мы основываемся на величине наращенной суммы S, служащей исходной величиной для определения Р.

Содержание операций наращения (рис. 1.3) и дисконтирования (рис. 1.4) можно наглядно представить графически.

Штриховая линия на графике показывает наращенную сумму S, которая должна будет иметь место в будущем через п периодов. Сплошной линией на графиках показана известная величина.

5

Рис. 1.4. Процесс дисконтирования будущего потока денежных средств Э

Стрелки на графиках показывают движение от известной ве-

1ичины к определяемой. Связь между ними устанавливается с

помощью коэффициента наращения С, который показывает, во

сколько раз наращенная сумма больше современной (текущей)

5 5

стоимости, т.е. С = —, откуда в случае дисконтирования Р = —, а

Л V

в случае наращения 5= РС.

Величина коэффициента (множителя) наращения определяется в зависимости от вида процентной ставки (простая или сложная) и ее размера. При использовании простой процентной ставки С = 1 + л/, а при применении сложной — С* (1 + 0".

Далее будет показано влияние на множитель наращения С и правша начисления процентов.

Рассмотрим еще один пример, когда известны первоначальная сумма, наращенная сумма и размер процентной ставки, а требуется определить срок хранения вклада.

Пример 1.5. Вкладчик собирается положить в банк 5,0 млн руб. с целью накопления 6,0 млн руб. Ставка по депозитам на сумму 5,0 млн руб. и более составляет 20% годовых. Определить срок, на который будет открыт депозит (база для начисления процентов

ЛОЛ “ ^60 дней).

"Используя формулу (1.3), запишем: 6,0

= 5,0(1+0,2~\

^ 360/

откуда л = дней, т.е.

требуемая клиенту сумма

будет на счете через 360 дней. И наконец из формулы наращенной суммы можно определить процентную ставку при прочих заданных условиях.

Пример 1.6. Клиенту требуется через 4 мес. иметь 20 млн руб. Определить требуемую процентную ставку, если вкладчик собирается вложить в банк 18 млн руб.

Из этого условия сумма процентных денег 1—2 млн руб.

/ 2

Поскольку / = Рт, то / = —= т~ 0,3333.

“п

Таким образом, требуемая клиенту процентная ставка составит 33,33%.

В табл. 1.3 приведены формулы для расчета параметров кредитного соглашения при использовании простои и сложной процентной ставки.

Таблица 1.3

Определение параметров кредитного соглашения Определяемый показатель Метод определения Простая процентная ставка Сложная процентная ставка 1. Наращенная сумма б= Р(1 + П1) Р(1 + А" 2. Первоначальная сумма я. 5

(1 +л/) Р = 5 (1 + />" 3. Процентные деньги 1 = РЫ /=Р[(1 + ,Г-1! 4. Продолжительность ссуды а годах (й-Р)

л =* —

р/ . в >°9р

п * —

(од(1 + /) 5. Процентная ставка _ (5 - Р) Рп Величина процентной ставки по кредитам определятся достаточно широким спектром обстоятельств, среди которых следует назвать размер и валюту кредита, срок предоставления ссуды, финансовое положение заемщика, уровень инфляции, источники финансирования кредитов, качество обеспечения кредита и др. В качестве примера в табл. 1.4 приведены средневзвешенные процентные ставки по кредитам за январь 2003 г.

В табл. 1.4 наглядно представлены различия в значениях процентных ставок для различных категорий заемщиков. Наиболее дорогими являются кредиты для физических лиц — 21,2% по всем срокам, для предприятий и организаций средняя величина процентной ставки составила по всем срокам 14,7%, а на межбанковском рынке ее величина была еще ниже — 6,8%. Такое же соотно- Средневзвешенные процентные ставки по кредитам, предоставленным физическим лицам, предприятиям, организациям и банкам в рублях и долларах США за январь 2003 г.* Срок погашения Кредит Категории

заемщиков По всем срокам До 30 дней От 31 до 90 дней От 91 до 180 дней От 181 до 1 года Свыше 1 года Свыше 3 лет В рублях Физические

лица 21,2 21,0 25,7 20,3 21,8 19,8 16,6 Предприятия и организации 14,7 12,1 18,7 14,8 20,8 18,1 133 Банки 6? 6,7 10,4 13,8 17Д 15^4 5,0 В долларах

США Физические

лица 10,0 93 16,5 16,8 16,4 153 133 Предприятия и организации 8,5 8/> 10,0 11,7 8,2 6,8 Банки и 11 3,9 8Д 5,7 15 6,5 * Сост. по: Бюллетень банковской статистики. 2003. № 3(118). С. 75-77.

шение можно видеть и по конкретным срокам предоставления кредитов.

Для всех категорий заемщиков очевидны различия в величине процентных ставок в зависимости от сроков погашения кредита. Так, для физических лиц наиболее дорогостоящими являются кредиты в рублях на срок от 31 до 90 дней — средневзвешенная процентная ставка составляла 25,7%, а минимальный средний размер процентных ставок (16,6%) имел место при выдаче кредитов на срок свыше 3 лет. Для предприятий, организаций и банков наиболее дорогостоящими являются кредиты в рублях на полгода — соответственно 20,8 и 17,1%. И, наконец, очевидны существенные различия в величине процентных ставок в зависимости от валюты кредита. Для физических лиц средневзвешенные процентные ставки составляли по всем срокам кредитов в рублях и долларах США соответственно 21,2 и 10,0%, для предприятий и организаций 14,7 и 9,0%, для банков 6,8 и 1,1%.

При операциях с денежными обязательствами используется учетная ставка с1. В этом случае базой начисления процентных денег является сумма погашения долга, т.е., по существу, наращенная сумма &

Учетные ставки широко используются в банковских операциях, в частности при оформлении заемщиком векселя на имя кре- дитора. Владелец векселя с помощью его учета может получить деньги ранее указанного в векселе срока, но в размере, меньшем той суммы, которая указана на нем, т.е. владелец векселя реализует его с дисконтом. Дисконтом называется разность между номинальной стоимостью долгового обязательства и суммой, полученной владельцем векселя в результате его учета в финансовом учреждении.

Величина дисконта ?>за год будет равна произведению Sd, а за млет величине Sud (по определению, приведенному выше, учетная ставка равна отношению дисконта к наращенной сумме: d = = (5- P)/S).

Тогда формула для расчета величины Рбудет записана так:

P-S-D=S- Sud =5(1- nef), (1.6)

где п - продолжительность срока в годах от момента учета до даты уплаты по векселю. ч

В формуле (1.6) величину (I — nd) называют дисконтным множителем.

В данном случае речь идет уже не о математическом, а о банковском дисконт рова н и и.

Процесс дисконтирования имеет место и тогда, когда проценты с наращенной суммы 5удерживают непосредственно при выдаче ссуды (авансовые проценты).

Пример 1.7. В конце пятого года по векселю должны быть получены 1500 дол. Владелец векселя учитывает его в банке в конце второго года и получает 1140 дол. Каков размер учетной ставки, взимаемый банком?

Поскольку размер дисконта равен 360 дол. (1500 - 1140), а до погашения векселя осталось 3 года, величина учетной ставки.

S - Р 360

<< | >>
Источник: Ефимова М.Р. . Финансово-экономические расчеты: пособие для менеджеров: Учеб. пособие. - М.: ИНФРА-М. - 185 с.. 2004

Еще по теме 1.2. Сравнение результатов наращения по различным процентным ставкам:

  1. § 4.3. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ. ЭФФЕКТИВНАЯ СЛОЖНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
  2. § 4.2. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
  3. § 4.1. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
  4. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ НАИЛУЧШЕЙ СТРАТЕГИИ ВЫХОДА НА РАЗЛИЧНЫХ РЫНКАХ
  5. § 4.4. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
  6. ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ И РИСК, СВЯЗАННЫЙ С ПРОЦЕНТНЫМИ СТАВКАМИ
  7. § 5.              Номинальная и реальная ставка процента. Фактор риска в процентных ставках
  8. Корректировка ставки LIBOR и внерыночные процентные ставки
  9. § 6.1. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ ПРОСТОЙ УЧЕТНОЙ СТАВКИ
  10. 1.2.4. Сравнение различных типов моделей (вычислимых моделей общего равновесия и эконометрических моделей) и возможности совмещения различных подходов
  11. Влияние срока страхования, процентной ставки и других факторов на нетто-ставку по смешанному страхованию жизни
  12. ПРИМЕР РАСЧЕТА ВЛИЯНИЯ СРОКА СТРАХОВАНИЯ, ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ И ВЕРОЯТНОСТИ НЕСЧАСТНОГО СЛУЧАЯ НА НЕТТО-СТАВКУ ПО СМЕШАННОМУ СТРАХОВАНИЮ ЖИЗНИ
  13. ЭФФЕКТИВНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
  14. Процентная ставка
- Антикризисное управление - Деловая коммуникация - Документоведение и делопроизводство - Инвестиционный менеджмент - Инновационный менеджмент - Информационный менеджмент - Исследование систем управления - История менеджмента - Корпоративное управление - Лидерство - Маркетинг в отраслях - Маркетинг, реклама, PR - Маркетинговые исследования - Менеджмент организаций - Менеджмент персонала - Менеджмент-консалтинг - Моделирование бизнес-процессов - Моделирование бизнес-процессов - Организационное поведение - Основы менеджмента - Поведение потребителей - Производственный менеджмент - Риск-менеджмент - Самосовершенствование - Сбалансированная система показателей - Сравнительный менеджмент - Стратегический маркетинг - Стратегическое управление - Тайм-менеджмент - Теория организации - Теория управления - Управление качеством - Управление конкурентоспособностью - Управление продажами - Управление проектами - Управленческие решения - Финансовый менеджмент - ЭКОНОМИКА ДЛЯ МЕНЕДЖЕРОВ -