<<
>>

1.3. Эквивалентность процентных ставок

Во всех вышеприведенных примерах выплата как процентов, так и основной суммы долга предусматривалась в конце срока пользования ссудой. Однако в банковской практике нередко капитализация процентов может производиться несколько раз в год— ежемесячно, ежеквартально, по полугодиям и т.д.

Поэтому сравнение условий, предлагаемых банками своим клиентам, предполагает ответ на вопросы следующего типа: что лучше — положить деньги на депозите начислением процентов I раз в конце года или же с ежеквартальным начислением процентов, но с несколько меньшей процентной ставкой? Число раз начислений процентов обычно фиксируется в условиях финансового соглашения. Обозначим это число т. Тогда каждый раз проценты начисляются по ставке j/m, где / — номинальная процентная ставка. Например, при ежеквартальном начислении процентов (т = 4) и номинальной годовой ставке 10% каждый квартал проценты будут начисляться по ставке 2,5%.

Пример 1.8. В каком банке клиент получит больший доход, если в одном из них ему предлагают 8,2% по депозиту с начислением процентов 1 раз в год, а в другом - 8%, но капитализация процентов осуществляется ежеквартально?

Для ответа на поставленный вопрос сопоставим множители наращения. В первом банке его величина составит 1,082 (1 +

+ 0,082), а во втором — ! ,08243

и ненамного, но процентный доход во втором банке будет выше.

Следует заметить, что переход от ежегодного к ежеквартальному начислению процентов по депозиту влечет за собой увеличение будущей стоимости, а следовательно, приносит дополнительную прибыль клиенту.

Общий вид формулы наращенной суммы для п периодов с т- разовым начислением процентов:

(1.7)

S= Р(\ + j/m)mn.

Сегодня в России банки нередко предлагают клиентам ежеквартальные начисления и выплаты процентов, но при этом делают оговорку в договоре, что «сумма процентов, не востребованная вкладчиком, не присоединяется к сумме вклада и проценты на нее не начисляются».

По сути дела вкладчику т раз начисляются проценты по ставке j/m, т.е. в итоге никакого выигрыша в абсолютной величине процентного дохода вкладчик не имеет, но он имеет выигрыш во времени и может получить дополнительный доход за счет реинвестирования процентов, полученных в первом, втором и третьем кварталах. Поэтому сроки выплаты доходов или уплаты клиентом процентов имеют столь важное значение при оценке предлагаемых условий разными финансовыми посредниками.

Наряду с номинальной ставкой процентов с ш-разовой их капитализацией определяется величина эффективной ставки процентов, под которой понимается та годовая процентная ставка, которая дает тот же финансовый результат, что и т-разовое начисление процентов в год по ставке j/m. Гак, в примере 1.9 процентная ставка 8,243% представляет собой эффективную процентную ставку.

Для определения эффективной процентной ставки /’эф можно использовать равенство

(1 + і.^)" = (1 +j/m)'"\

откуда эффективная процентная ставка будет определена но фор-

(1.8)

муле

/’зф = (1 +JMm

Равенство (1.8) показывает, что процентная ставка приводит к тому же финансовому результату, что и начисления процентов т раз в году по ставке j/m, в этом смысле они являются эквивалентными.

Пример 1.9. Какая эффективная ставка соответствует номинальной ставке в 32% при начислении процентов 2 раза в месяц?

В этом примере j = 0,32; т = 2 • ! 2 = 24.

Используя формулу (1.8), получим размер эффективной процентной ставки:

/

Рассмотрим еще один пример.

Пример 1.10. Банк принимает депозиты на 3 мес. поставке 12%, на полгода - по ставке 13% и на год - по ставке 14%. Определить наилучший вариант вложения средств на год с учетом возможности переоформления 3- и 6-месячных депозитов с начисленными процентами.

Рассчитаем эффективную годовую ставку при переоформлении депозитов:

б) при переоформлении 6-месячных депозитов

а) при переоформлении 3-месячных депозитов эффективная ставка Следовательно, банк разрабатывает процентную политику так, чтобы стимулировать вложение средств на год по ставке 14%, поскольку эффективные ставки в вариантах а) и б) оказались ниже.

Можно было бы предположить, что с увеличением частоты начислений процентов (т.е.

с увеличением т) должно происходить бесконечное увеличение будущей стоимости.

Допустим, что номинальная ставка равна 12%. Рассмотрим три варианта:

1) начисление процентов производится по полугодиям (т = 2),

( 0 12’

тогда коэффициент наращения будет равен 1 + ——

= 1,1236,

следовательно, эффективная ставка составляет 12,36%; 2)

начисление процентов производится ежемесячно (т - 12),

= 1,1268 и эффектив

тогда коэффициент наращения [1 +

ная ставка равна 12,68%; 3)

начисление процентов производится ежедневно (/« = 365), коэффициент наращения в этом случае составит 1,12747, т.е. эффективная ставка будет равна 12,75%.

Таким образом, можно предположить, что коэффициент наращения первоначальной суммы, т.е. величина (I + j/m)mn, будет ограничен в росте по мере увеличения т. Для случая, когда j = 1 и п = 1, величина коэффициента наращения будет принимать следующие значения для разных т:

т... 2 3 4 5 ... 10 ... 20 ... 100 ... 1000 (1 + /Я])т... 2,25 2.37 2,441 2,488 ... 2,593 ... 2,653 ... 2,717 ... 2,718

Следовательно, при значительном увеличении т величина (1 + + j/m)"' стремится к пределу - величине экспоненты е, равной 2,71828.... В пределе можно предположить, что начисления становятся настолько частыми, что проценты начисляются непрерывно.

При непрерывном наращении будущая стоимость денег определится так:

S=Pen\ (1.9)

где г— ставка непрерывного наращения.

Эквивалентная непрерывная процентная ставка, соответствующая дискретной процентной ставке с м-разовым начислением процентов, определяется так:

r= mln(l + j/m). (1-10) При у = 0.06 клі = 4 непрерывная ставка

г = 41п

= 4 0,014889 = 5,955%.

Дискретная ставка с т-разовым начислением процентов, эквивалентная непрерывный ставке, определится следующим образом:

(г \ і =т

ет — I

(1.10а) В частности, при г = 0,125 и т = 4 значение / станет равным 12,7%.

При непрерывном дисконтировании величина современной стоимости будущего денежного потока будет равна

Р = —. ет

В табл.

1.5 приведены формулы эквивалентности процентных ставок. Вывод этих формул основывается на равенстве соответ-

Таблица 1.5

Формулы эквивалентности процентных ставок Сравниваемые ставки Формула расчета 1. Простая учетная (с/) и процентная ставки (4) с1

~ 1-ГХІ Пш„ 2. Простая (4) и сложная (4) процентная ставка і

п п 4 * (1 ? пі„),,п- 1 3. Простая учетная ставка (ф и ставка сложных процентов (4) 4 - (1 - пф'ш- 1 4. Непрерывная ставка (і) и ставка сложных процентов (/,) 4 = е'-1 г=Ш(1 +') 5. Средняя ставка для меняющихся по периодам простых процентных ставок (5П) 2>,

Г-1 е. Средняя ставка для меняющихся сложных процентных ставок <іе) /с .^(ЦЛ...(ИЛ -1. где Пш Г>1 + Л* + ... ? Л* ствующих множителей наращения. Для случая простых процентных и учетных ставок формула эквивалентности выводится из равенства

"пЫтЬ- <1И1

{1.1 откуда I = и = .

I - па I + т

Формула (1.11) выведена для одинаковой временной базы'(360 или 365 дней), что имеет значение при анализе краткосрочных финансовых операций. Из этой же формулы следует, что для одинаковых условий ссуды учетная ставка г/ всегда меньше простой процентной ставки.

При краткосрочных банковских операциях п = -^— , где Дтя

Дтол

может составлять 360 или 365 дней. В этом случае формулы эквивалентности простых процентных и учетных ставок могут быть приведены в двух вариантах. I

вариант. Число дней в году принимается равным (например Дад = 360) как для простой процентной, так и учетной ставки.

Тогда

, 360360 + Дгп

При Д = 365 в формулах (1.11о) и (1.116) вместо 360 будет стоять цифра 365. II

вариант. При начислении простых процентов число дней в году принимается равным 365, а для учетной ставки Дтя = 360.

Формулы эквивалентности в этом случае будут записаны так:

; (1.1 \е)

" 360-Д6'

(1= ?<6°/" ? (1.11*) 365 + Д/п

Анализ эквивалентности процентных ставок бывает важен при сопоставлении условий предоставления кредита разными финансовыми институтами.

Как показано в табл.

1.5, при меняющихся во времени процентных ставках эквивалентные ставки являются средними величина-

Если обратиться к формулам (1.3) и (1.3а) и приравнять множители наращения, то получим равенство

1+ш = ] + ?«*/*,

А=1

откуда

/

I "к ‘к

1=^—,

п

I

где П=^пк.

к=I

Таким образом, эквивалентная ставка для меняющихся простых процентных ставок представляет собой среднюю арифметическую взвешенную, где в качестве весов используют продолжительность периода, в течение которого применяется соответствующая ставка.

При использовании меняющихся сложных процентных ставок эквивалентная ставка определяется по формуле средней геометрической взвешенной.

Расчет эквивалентных ставок позволяет сравнить условия, предлагаемые клиенту различными банками, и выбрать наиболее выгодный вариант. Ставки считаются эквивалентными, если в конкретных условиях их применение приводит к одинаковым финансовым результатам.

Особые проблемы связаны с теми случаями, когда основная сумма долга также выплачивается несколькими платежами в течение всего срока пользования ссудой. Эти вопросы связаны с анализом потока платежей (cash flow).

Эквивалентные значения ставок простых или сложных процентов определяются и при анализе доходности купли-продажи таких финансовых инструментов, как векселя, депозитные сертификаты и т.д. Доход от проведения такой операции связан с разностью цен купли-продажи того или иного денежного обязательства. Если вексель или другой вид денежного обязательства через некоторое время после его приобретения вновь продан до наступления срока погашения, разность между ценой в момент покупки и ценой в момент продажи будет зависеть от сроков до наступления погашения данного финансового инструмента и размера учетных ставок.

Рассмотрим доходность операций с векселями для краткосрочных операций.

Например, вексель номинальной стоимостью 10 ООО дол. учтен банком за 70 дней до его погашения, учетная ставка равна 9%.

Через 30 дней вексель был реализован по ставке 8,0%. Определить доходность операции учета векселя, использовав в качестве временной базы для учетной ставки число дней в году (Д„ = 360) и точное число дней в году (Дк = 365), для простой процентной ставки.

Определим цену, уплаченную банком за вексель в момент его покупки:

При продаже векселя через 30 дней банк получит сумму

Р2 = 10 000 (I - 0,080 ]= 9911 дол.

В то же время величина Р2 может быть получена наращением вложения (т.е. величины Р{) за период 30 дней [Д{ - Д2 = 70 - —

40 = 30] по годовой процентной ставке, являющейся мерой эффективности вложений средсгв в финансовый инструмент, т.е. получим следующее уравнение:

Подставив исходные данные, получим

откуда

Тогда ^„ = 0,1065 (10,65%).

Это означает, что доходность сделки составила 10,65% (в виде ставки простых процентов).

Формулу для расчета /х)| удобно записать так:

откуда

. Р2-Р\ Дк эф" Рх Ді-Дг'

Если использовать и для учетной, и для простой процентной ставки одну и ту же временную базу Дк ~ 360, то будет составлять:

/2 = --^~2958--- ^ = 0,10504 (10,504%).

Доходность сделки, измеряемая простой процентной ставкой, составила 10,504%, что несколько ниже, чем при Дк = 365 дней.

<< | >>
Источник: Ефимова М.Р. . Финансово-экономические расчеты: пособие для менеджеров: Учеб. пособие. - М.: ИНФРА-М. - 185 с.. 2004

Еще по теме 1.3. Эквивалентность процентных ставок:

  1. § 4.2. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
  2. § 4.1. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
  3. § 4.3. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ. ЭФФЕКТИВНАЯ СЛОЖНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
  4. § 4.4. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
  5. 4.2. Риск процентных ставок
  6.              Рисри процентных ставок .
  7. Регулирование процентных ставок
  8. 3.3. Формирование процентных ставок на финансовых рынках
  9. Изменение процентных ставок
  10. 2.8. Теории структуры процентных ставок
  11. 2. Структура процентных ставок
  12. 18.3. СИСТЕМА ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК
  13. Лекция : Управление рисками процентных ставок
  14. 18.4. СИСТЕМА ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК
  15. 15.4. Виды номинальных процентных ставок
  16. 18.2. ФОРМИРОВАНИЕ УРОВНЯ РЫНОЧНЫХ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК
  17. 2.2. Влияние изменения процентных ставок на валютный курс
  18. 18.3. ФОРМИРОВАНИЕ УРОВНЯ РЫНОЧНЫХ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК
- Антикризисное управление - Деловая коммуникация - Документоведение и делопроизводство - Инвестиционный менеджмент - Инновационный менеджмент - Информационный менеджмент - Исследование систем управления - История менеджмента - Корпоративное управление - Лидерство - Маркетинг в отраслях - Маркетинг, реклама, PR - Маркетинговые исследования - Менеджмент организаций - Менеджмент персонала - Менеджмент-консалтинг - Моделирование бизнес-процессов - Моделирование бизнес-процессов - Организационное поведение - Основы менеджмента - Поведение потребителей - Производственный менеджмент - Риск-менеджмент - Самосовершенствование - Сбалансированная система показателей - Сравнительный менеджмент - Стратегический маркетинг - Стратегическое управление - Тайм-менеджмент - Теория организации - Теория управления - Управление качеством - Управление конкурентоспособностью - Управление продажами - Управление проектами - Управленческие решения - Финансовый менеджмент - ЭКОНОМИКА ДЛЯ МЕНЕДЖЕРОВ -