1.3. Эквивалентность процентных ставок
Во всех вышеприведенных примерах выплата как процентов, так и основной суммы долга предусматривалась в конце срока пользования ссудой. Однако в банковской практике нередко капитализация процентов может производиться несколько раз в год— ежемесячно, ежеквартально, по полугодиям и т.д.
Поэтому сравнение условий, предлагаемых банками своим клиентам, предполагает ответ на вопросы следующего типа: что лучше — положить деньги на депозите начислением процентов I раз в конце года или же с ежеквартальным начислением процентов, но с несколько меньшей процентной ставкой? Число раз начислений процентов обычно фиксируется в условиях финансового соглашения. Обозначим это число т. Тогда каждый раз проценты начисляются по ставке j/m, где / — номинальная процентная ставка. Например, при ежеквартальном начислении процентов (т = 4) и номинальной годовой ставке 10% каждый квартал проценты будут начисляться по ставке 2,5%.Пример 1.8. В каком банке клиент получит больший доход, если в одном из них ему предлагают 8,2% по депозиту с начислением процентов 1 раз в год, а в другом - 8%, но капитализация процентов осуществляется ежеквартально?
Для ответа на поставленный вопрос сопоставим множители наращения. В первом банке его величина составит 1,082 (1 +
+ 0,082), а во втором — ! ,08243
и ненамного, но процентный доход во втором банке будет выше.
Следует заметить, что переход от ежегодного к ежеквартальному начислению процентов по депозиту влечет за собой увеличение будущей стоимости, а следовательно, приносит дополнительную прибыль клиенту.
Общий вид формулы наращенной суммы для п периодов с т- разовым начислением процентов:
(1.7)
S= Р(\ + j/m)mn.
Сегодня в России банки нередко предлагают клиентам ежеквартальные начисления и выплаты процентов, но при этом делают оговорку в договоре, что «сумма процентов, не востребованная вкладчиком, не присоединяется к сумме вклада и проценты на нее не начисляются».
По сути дела вкладчику т раз начисляются проценты по ставке j/m, т.е. в итоге никакого выигрыша в абсолютной величине процентного дохода вкладчик не имеет, но он имеет выигрыш во времени и может получить дополнительный доход за счет реинвестирования процентов, полученных в первом, втором и третьем кварталах. Поэтому сроки выплаты доходов или уплаты клиентом процентов имеют столь важное значение при оценке предлагаемых условий разными финансовыми посредниками.Наряду с номинальной ставкой процентов с ш-разовой их капитализацией определяется величина эффективной ставки процентов, под которой понимается та годовая процентная ставка, которая дает тот же финансовый результат, что и т-разовое начисление процентов в год по ставке j/m. Гак, в примере 1.9 процентная ставка 8,243% представляет собой эффективную процентную ставку.
Для определения эффективной процентной ставки /’эф можно использовать равенство
(1 + і.^)" = (1 +j/m)'"\
откуда эффективная процентная ставка будет определена но фор-
(1.8)
муле
/’зф = (1 +JMm
Равенство (1.8) показывает, что процентная ставка приводит к тому же финансовому результату, что и начисления процентов т раз в году по ставке j/m, в этом смысле они являются эквивалентными.
Пример 1.9. Какая эффективная ставка соответствует номинальной ставке в 32% при начислении процентов 2 раза в месяц?
В этом примере j = 0,32; т = 2 • ! 2 = 24.
Используя формулу (1.8), получим размер эффективной процентной ставки:
/
Рассмотрим еще один пример.
Пример 1.10. Банк принимает депозиты на 3 мес. поставке 12%, на полгода - по ставке 13% и на год - по ставке 14%. Определить наилучший вариант вложения средств на год с учетом возможности переоформления 3- и 6-месячных депозитов с начисленными процентами.
Рассчитаем эффективную годовую ставку при переоформлении депозитов:
б) при переоформлении 6-месячных депозитов
а) при переоформлении 3-месячных депозитов эффективная ставка Следовательно, банк разрабатывает процентную политику так, чтобы стимулировать вложение средств на год по ставке 14%, поскольку эффективные ставки в вариантах а) и б) оказались ниже.
Можно было бы предположить, что с увеличением частоты начислений процентов (т.е.
с увеличением т) должно происходить бесконечное увеличение будущей стоимости.Допустим, что номинальная ставка равна 12%. Рассмотрим три варианта:
1) начисление процентов производится по полугодиям (т = 2),
( 0 12’
тогда коэффициент наращения будет равен 1 + ——
= 1,1236,
следовательно, эффективная ставка составляет 12,36%; 2)
начисление процентов производится ежемесячно (т - 12),
= 1,1268 и эффектив
тогда коэффициент наращения [1 +
ная ставка равна 12,68%; 3)
начисление процентов производится ежедневно (/« = 365), коэффициент наращения в этом случае составит 1,12747, т.е. эффективная ставка будет равна 12,75%.
Таким образом, можно предположить, что коэффициент наращения первоначальной суммы, т.е. величина (I + j/m)mn, будет ограничен в росте по мере увеличения т. Для случая, когда j = 1 и п = 1, величина коэффициента наращения будет принимать следующие значения для разных т:
т... 2 3 4 5 ... 10 ... 20 ... 100 ... 1000 (1 + /Я])т... 2,25 2.37 2,441 2,488 ... 2,593 ... 2,653 ... 2,717 ... 2,718
Следовательно, при значительном увеличении т величина (1 + + j/m)"' стремится к пределу - величине экспоненты е, равной 2,71828.... В пределе можно предположить, что начисления становятся настолько частыми, что проценты начисляются непрерывно.
При непрерывном наращении будущая стоимость денег определится так:
S=Pen\ (1.9)
где г— ставка непрерывного наращения.
Эквивалентная непрерывная процентная ставка, соответствующая дискретной процентной ставке с м-разовым начислением процентов, определяется так:
r= mln(l + j/m). (1-10) При у = 0.06 клі = 4 непрерывная ставка
г = 41п
= 4 0,014889 = 5,955%.
Дискретная ставка с т-разовым начислением процентов, эквивалентная непрерывный ставке, определится следующим образом:
(г \ і =т
ет — I
(1.10а) В частности, при г = 0,125 и т = 4 значение / станет равным 12,7%.
При непрерывном дисконтировании величина современной стоимости будущего денежного потока будет равна
Р = —. ет
В табл.
1.5 приведены формулы эквивалентности процентных ставок. Вывод этих формул основывается на равенстве соответ-Таблица 1.5
Формулы эквивалентности процентных ставок Сравниваемые ставки Формула расчета 1. Простая учетная (с/) и процентная ставки (4) с1
~ 1-ГХІ Пш„ 2. Простая (4) и сложная (4) процентная ставка і
п п 4 * (1 ? пі„),,п- 1 3. Простая учетная ставка (ф и ставка сложных процентов (4) 4 - (1 - пф'ш- 1 4. Непрерывная ставка (і) и ставка сложных процентов (/,) 4 = е'-1 г=Ш(1 +') 5. Средняя ставка для меняющихся по периодам простых процентных ставок (5П) 2>,
Г-1 е. Средняя ставка для меняющихся сложных процентных ставок <іе) /с .^(ЦЛ...(ИЛ -1. где Пш Г>1 + Л* + ... ? Л* ствующих множителей наращения. Для случая простых процентных и учетных ставок формула эквивалентности выводится из равенства
"пЫтЬ- <1И1
{1.1 откуда I = и = .
I - па I + т
Формула (1.11) выведена для одинаковой временной базы'(360 или 365 дней), что имеет значение при анализе краткосрочных финансовых операций. Из этой же формулы следует, что для одинаковых условий ссуды учетная ставка г/ всегда меньше простой процентной ставки.
При краткосрочных банковских операциях п = -^— , где Дтя
Дтол
может составлять 360 или 365 дней. В этом случае формулы эквивалентности простых процентных и учетных ставок могут быть приведены в двух вариантах. I
вариант. Число дней в году принимается равным (например Дад = 360) как для простой процентной, так и учетной ставки.
Тогда
, 360 .. .
360 + Дгп
При Д = 365 в формулах (1.11о) и (1.116) вместо 360 будет стоять цифра 365. II
вариант. При начислении простых процентов число дней в году принимается равным 365, а для учетной ставки Дтя = 360.
Формулы эквивалентности в этом случае будут записаны так:
; (1.1 \е)
" 360-Д6'
(1= ?<6°/" ? (1.11*) 365 + Д/п
Анализ эквивалентности процентных ставок бывает важен при сопоставлении условий предоставления кредита разными финансовыми институтами.
Как показано в табл.
1.5, при меняющихся во времени процентных ставках эквивалентные ставки являются средними величина-Если обратиться к формулам (1.3) и (1.3а) и приравнять множители наращения, то получим равенство
1+ш = ] + ?«*/*,
А=1
откуда
/
I "к ‘к
1=^—,
п
I
где П=^пк.
к=I
Таким образом, эквивалентная ставка для меняющихся простых процентных ставок представляет собой среднюю арифметическую взвешенную, где в качестве весов используют продолжительность периода, в течение которого применяется соответствующая ставка.
При использовании меняющихся сложных процентных ставок эквивалентная ставка определяется по формуле средней геометрической взвешенной.
Расчет эквивалентных ставок позволяет сравнить условия, предлагаемые клиенту различными банками, и выбрать наиболее выгодный вариант. Ставки считаются эквивалентными, если в конкретных условиях их применение приводит к одинаковым финансовым результатам.
Особые проблемы связаны с теми случаями, когда основная сумма долга также выплачивается несколькими платежами в течение всего срока пользования ссудой. Эти вопросы связаны с анализом потока платежей (cash flow).
Эквивалентные значения ставок простых или сложных процентов определяются и при анализе доходности купли-продажи таких финансовых инструментов, как векселя, депозитные сертификаты и т.д. Доход от проведения такой операции связан с разностью цен купли-продажи того или иного денежного обязательства. Если вексель или другой вид денежного обязательства через некоторое время после его приобретения вновь продан до наступления срока погашения, разность между ценой в момент покупки и ценой в момент продажи будет зависеть от сроков до наступления погашения данного финансового инструмента и размера учетных ставок.
Рассмотрим доходность операций с векселями для краткосрочных операций.
Например, вексель номинальной стоимостью 10 ООО дол. учтен банком за 70 дней до его погашения, учетная ставка равна 9%.
Через 30 дней вексель был реализован по ставке 8,0%. Определить доходность операции учета векселя, использовав в качестве временной базы для учетной ставки число дней в году (Д„ = 360) и точное число дней в году (Дк = 365), для простой процентной ставки.Определим цену, уплаченную банком за вексель в момент его покупки:
При продаже векселя через 30 дней банк получит сумму
Р2 = 10 000 (I - 0,080 ]= 9911 дол.
В то же время величина Р2 может быть получена наращением вложения (т.е. величины Р{) за период 30 дней [Д{ - Д2 = 70 - —
40 = 30] по годовой процентной ставке, являющейся мерой эффективности вложений средсгв в финансовый инструмент, т.е. получим следующее уравнение:
Подставив исходные данные, получим
откуда
Тогда ^„ = 0,1065 (10,65%).
Это означает, что доходность сделки составила 10,65% (в виде ставки простых процентов).
Формулу для расчета /х)| удобно записать так:
откуда
. Р2-Р\ Дк эф" Рх Ді-Дг'
Если использовать и для учетной, и для простой процентной ставки одну и ту же временную базу Дк ~ 360, то будет составлять:
/2 = --^~2958--- ^ = 0,10504 (10,504%).
Доходность сделки, измеряемая простой процентной ставкой, составила 10,504%, что несколько ниже, чем при Дк = 365 дней.
Еще по теме 1.3. Эквивалентность процентных ставок:
- § 4.2. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
- § 4.1. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
- § 4.3. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ. ЭФФЕКТИВНАЯ СЛОЖНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА
- § 4.4. НАХОЖДЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ НОМИНАЛЬНОЙ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
- 4.2. Риск процентных ставок
- Рисри процентных ставок .
- Регулирование процентных ставок
- 3.3. Формирование процентных ставок на финансовых рынках
- Изменение процентных ставок
- 2.8. Теории структуры процентных ставок
- 2. Структура процентных ставок
- 18.3. СИСТЕМА ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК
- Лекция : Управление рисками процентных ставок
- 18.4. СИСТЕМА ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК
- 15.4. Виды номинальных процентных ставок
- 18.2. ФОРМИРОВАНИЕ УРОВНЯ РЫНОЧНЫХ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК
- 2.2. Влияние изменения процентных ставок на валютный курс
- 18.3. ФОРМИРОВАНИЕ УРОВНЯ РЫНОЧНЫХ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК