<<
>>

Модель бильярдного стола

Второй общий тип самозарождающегося цикла дает система, в которой не все уравнения линейны. В экономике имеется ряд хорошо известных явлений насыщения, технических барьеров, вроде полной занятости, и порогов, таких, как воздержание от инвестиций, пока имеющиеся мощности не будут полностью использованы, и все эти явления указывают на наличие нелинейностей.

В такой системе расширение может протекать беспрепятственно, пока не встретит некоторого барьера, такого, как полная занятость или как границы кредитной экспансии, и тогда, поскольку режим системы резко нарушен, начнется понижательное движение в направлении другого предела. В качестве механической аналогии можно вообразить шар, который катится по гладкому бильярдному столу, пока

не ударится о стенку, повернет обратно, ударится о другую стенку и так далее. В противоположность этому маятник, как во всех линейных теориях, постепенно накопляет нарастающие обратно направленные силы по мере того, как удаляется от точки равновесия. Нелинейная система представляет собой общий тип колебаний, а линейную систему следует считать его весьма специальным случаем. Нелинейная система охватывает все возможные формы колебаний, в то время как линейная система ограничена синусоидальными волнами. Она может также, как это обычно и имеет место, вызывать колебания, которые не затухают и не расширяются, а скорее сами себя поддерживают на определенном уровне даже при отсутствии “внешних” нарушений. Пример такой системы подробно разбирается в разделе “В” этой главы.

Уравнения в конечных разностях

Имеются два рода математически различных моделей цикла: основанные на уравнениях в конечных разностях (на промежутках отставания) и основанные на дифференциальных уравнениях (на скорости изменения). Имеются, конечно, и смешанные модели, включающие тот и другой род. Так, простое Робертсоново отставание приводит к следующему уравнению в конечных разностях:

Yt = Ct + It,

Ct = C(Yt-i), отсюда Yt = C(Yt-i) + It.

Дифференциальные уравнения

Если мы рассматриваем только стимулированные инвестиции, то в соответствии с принципом акселерации имеем

К = aY,

где К — масса капитала и а — коэффициент акселерации. Так как It (чистые инвестиции) обозначает скорость роста капитала, то

dY

dt

и, пренебрегая промежутком отставания потребления

Y=C(Y) + c^

что является простейшим возможным дифференциальным уравнением.

Смешанные разностно-дифференциальные уравнения

Принимая во внимание тот факт, что скорость роста дохода может определять принятие решений об инвестировании, но что соответствующие расходы будут отставать на некоторое, и притом значительное, время, получаем следующее смешанное разностно-дифференциальное уравнение:

alt="" />(1Y

Г It '

dY

Yt + e= C(Yt + e) + a~jj , или

Уравнения в конечных разностях чаще употребляются в экономической науке, и этим она резко отличается от естественных наук, где ни одна значительная теория не пользуется уравнениями в конечных разностях. Уравнения в конечных разностях заманчивы потому, что с ними можно производить простые численные подсчеты и следить за характером решений по мере того, как они развертываются. Так, если экономическая система может быть представлена уравнением

Yt = 80 — 1,3 У* - 1 — 0,80 Уг - 2

и если даны в хронологической последовательности значения в моменты времени t-2 и М, то достаточно просто помножить первое на 0,8 и второе на 1,3 и вычесть оба полученных числа из 80, чтобы получить значение Y в момент t. Затем мы можем взять Ум и Yt, чтобы вычислить Уж, и, таким образом, экстраполировать наши результаты вперед (или, если угодно, назад), пока что-либо не изменится в отношениях, выраженных в уравнении. Эти вычисления удобно расположить, как показано в табл. 22, где числа 30 и 25 даны в качестве “начальных” значений. Таким образом, чтобы получить /г, умножаем 25 на -1,3 (что дает -32) и 30 на -0,80 (что дает -24) и вычитаем 32 и 24 из 80; получаем Уг = 24.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

г

80

- 1,3 Ум

- 0,80У,-2

(2)+(3)+(4) Yt

0

30

1

25

2

80

-32

-24

24

3

80

-31

-20

29

4

80

-38

-19

23

5

80

-30

-23

27

6

80

-35

-18

27

7

80

-35

-22

23

8

80

-30

-22

28

9

80

-36

-18

26

10

80

-34

-22

24

11

80

-31

-21

28

12

80

-36

-19

25

В результате имеем временной ряд Yt, нанесенный на диаграмму (рис.

62). Читателю предлагается выполнить вычисления хотя бы для одного примера, чтобы проследить возникновение эндогенного цикла. Для простоты вычислений можно опустить постоянную (в данном случае число 80). Результаты тоща выступят в виде отклонений от равновесия, и это все, что нам нужно, если нас интересует прежде всего динамика. Для того чтобы получить полное решение, остается прибавить ко всем отклонениям число, выражающее состояние равновесия.

Экономистам часто бывает не ясно, какого именно рода действительность они желают выразить разностными уравнениями. Одна из интерпретаций состоит в том, что время в изучаемых ими процессах прерывно и принимает значение только -1, 0, +1, +2 и так далее, как в примере с базаром, который бывает только раз в месяц. В таком случае перед нами грубое приближение к явлению, большей частью представляющему собой скорее непрерывный процесс. С другой стороны, в разностном уравнении иногда видят обыкновенный временной ряд, показывающий сумму продаваемых товаров, сделок и тому подобное за известный период, например за месяц или за квартал. Наконец, оно может означать — и это наиболее законная интерпретация — действительный промежуток отставания, в течение которого процесс, происходящий в какое-то одно время, оказывает влияние на другой процесс, который проявится на некоторый постоянный отрезок времени позднее; например, производство, начатое сейчас, становится выпущенной продукцией через несколько недель или месяцев.


28

26

24

22

I 2345              678              9              10              11              12              Время

Рис. 62. Эндогенный цикл

Хотя дифференциальные уравнения по виду весьма отличаются от этих разностных уравнений, они имеют довольно сходные решения, которые можно найти в учебниках математики.

<< | >>
Источник: Хансен Э. Экономические циклы и национальный доход. 1959

Еще по теме Модель бильярдного стола:

  1. Бильярдный стол
  2. Посуда для сервировки стола
  3. Смотрицкая И.И. Обзор выступлений участников «Круглого стола»
  4. Урок 24 ЕДИНСТВЕННЫЙ НАИБОЛЕЕ ЭФФЕКТИВНЫЙ СПОСОБ ОДЕРЖАТЬ ВЕРХ ПРИ ПЕРЕГОВОРАХ - ЭТО СУМЕТЬ УЙТИ ИЗ-ЗА СТОЛА, НЕ ЗАКЛЮЧИВ СДЕЛКИ
  5. 1.2.4. Сравнение различных типов моделей (вычислимых моделей общего равновесия и эконометрических моделей) и возможности совмещения различных подходов
  6. Модель ЕВО или модель Эдвардса — Белла — Ольсона при оценке интеллектуальной собственности и нематериальных активов
  7. 7.3.2. Модификации модели ARCH: модели GARCH и EGARCH
  8. Взаимосвязь кейнсианской модели с моделями совокупногоспроса и совокупного предложения
  9. 1.1.3.2. Модель вычислимого общего равновесия в непрерывном времени Описание методологии используемых моделей
  10. 8.5 Модель эффекта от создаваемых государствомпроизводительных общественных благс «перегрузкой» и модель защитыправ собственности
  11. Модели рыночной экономики. Особенности белорусской модели
  12. Прикладные модели управления запасами на предприятии: модель экономичной партии заказа
  13.   3.2 Простейшая модель эндогенногоэкономического роста — АК-модель
  14. 4.2.3. Основные модели японских свечей 4.2.3.1. Модели разворота тренда
  15. 10.3. Неоклассические модели равновесного экономического роста. Модель Р. Солоу
  16. Модель 4: Модель выравнивания степени изменчивости (волатильности) позиций
- Бюджетная система - Внешнеэкономическая деятельность - Государственное регулирование экономики - Инновационная экономика - Институциональная экономика - Институциональная экономическая теория - Информационные системы в экономике - Информационные технологии в экономике - История мировой экономики - История экономических учений - Кризисная экономика - Логистика - Макроэкономика (учебник) - Математические методы и моделирование в экономике - Международные экономические отношения - Микроэкономика - Мировая экономика - Налоги и налолгообложение - Основы коммерческой деятельности - Отраслевая экономика - Оценочная деятельность - Планирование и контроль на предприятии - Политэкономия - Региональная и национальная экономика - Российская экономика - Системы технологий - Страхование - Товароведение - Торговое дело - Философия экономики - Финансовое планирование и прогнозирование - Ценообразование - Экономика зарубежных стран - Экономика и управление народным хозяйством - Экономика машиностроения - Экономика общественного сектора - Экономика отраслевых рынков - Экономика полезных ископаемых - Экономика предприятий - Экономика природных ресурсов - Экономика природопользования - Экономика сельского хозяйства - Экономика таможенного дел - Экономика транспорта - Экономика труда - Экономика туризма - Экономическая история - Экономическая публицистика - Экономическая социология - Экономическая статистика - Экономическая теория - Экономический анализ - Эффективность производства -