<<
>>

2.2 Метод Марковица в нечетко-множественной постановке

В 1952 году Гарри Марковиц опубликовал фундаментальную работу [133], которая является основой подхода к инвестициям с точки зрения современной теории формирования портфеля. Подход Марковица начинается с предположения, что инвестор в настоящий момент времени имеет конкретную сумму денег для инвестирования.

Эти деньги будут инвестированы на определенный промежуток времени, который называется периодом владения. В конце периода владения инвестор продает ценные бумаги, которые были куплены в начале периода, после чего использует полученный доход на потребление, либо реинвестирует доход в различные ценные бумаги (либо делает и то, и другое одновременно). Таким образом, подход Марковица может быть рассмотрен как дискретный подход, при котором начало периода обозначается t = 0, а конец периода обозначается t = 1. В момент t = 0 инвестор должен принять решение о покупке конкретных ценных бумаг, которые будут находиться в его портфеле до момента t = 1. Поскольку портфель представляет собой набор различных ценных бумаг, это решение эквивалентно выбору оптимального портфеля из набора возможных портфелей. Поэтому подобную проблему часто называют проблемой выбора инвестиционного портфеля [106].

Принимая решение в момент t = 0, инвестор должен иметь в виду, что доходность ценных бумаг (и, таким образом, доходность портфеля) в предстоящий период владения неизвестна. Однако инвестор может оценить ожидаемую (или среднюю) доходность различных ценных бумаг, основываясь на некоторых предположениях, а затем инвестировать средства в бумагу с наибольшей ожидаемой доходностью. Марковиц отмечает, что это будет в общем неразумным решением, так как типичный инвестор хотя и желает, чтобы «доходность была высокой», но одновременно хочет, чтобы «доходность была бы настолько определенной, насколько это возможно». Это означает, что инвестор, стремясь одновременно максимизировать ожидаемую доходность и минимизировать неопределенность (т.е.

риск), имеет две противоречащие друг другу цели, которые должны быть сбалансированы при принятии решения о покупке в момент t = 0. Подход Марковица к принятию решения дает возможность учесть обе эти цели.

Подход Марковица к проблеме выбора портфеля предполагает, что инвестор старается решить две проблемы: максимизировать ожидаемую доходность при заданном уровне риска и минимизировать неопределенность (риск) при заданном уровне ожидаемой доходности [106].

Согласно подходу Марковица структура оптимального портфеля определяется доходностью актива, его риском и степенью коррелированности доходности разных активов друг с другом. При этом Марковиц под риском понимал не риск неэффективности инвестиций, а степень колеблемости ожидаемого дохода по портфелю, причем как в меньшую, так и в большую сторону.

С точки зрения теории нечетких множеств использовать данный метод в его первоначальном виде представляется не совсем правильным. И вот почему.

Во-первых, инвестор никогда не будет располагать всеобъемлющей оценкой риска, так как число разнообразий внешней среды всегда превышает управленческие возможности принимающего решения лица, и обязательно найдется маловероятный сценарий развития событий (любая катастрофа, к примеру), который, будучи неучтен в проекте, тем не менее, может состояться и сорвать инвестиционный процесс.

Во-вторых, в ряде частных случаев традиционные методы анализа риска оказываются несостоятельными, так как они ориентируются на традиционный тип неопределенности, связанный с поведением однотипных объектов с неизменными свойствами. Однако сторонники нечетко-множественного подхода утверждают, что фондовый рынок является ненадлежащим объектом для классического статистического исследования, так как он не обладает ни однородностью, ни неизменностью условий. Кроме того, согласно данной теории, что не сохраняется однородность и с течением времени. Так как объекты выборки из генеральной совокупности не обладают свойством статистической однородности, а случайные процессы не имеют постоянных параметров, так что никакие статистические гипотезы о виде указанных процессов не могут быть подтверждены.

Для этого случая в теории нечетких множеств вместо термина «статистика» используют понятие «квазистатистика», введенное в [47] А.О. Недосекиным.

В таких условиях моделирование имеющейся информационной ситуации рекомендуется осуществлять с помощью нечетких множеств.

Такой подход уже был использован в [52] для фондового рынка облигаций и акций А.О. Недосекиным.

Мы попытались составить оптимальный портфель, включающий паи трех типов паевых инвестиционных фондов (Паевых инвестиционных фондов) – акций, облигаций и смешанных инвестиций.

Пусть портфель содержит паи трех типов Паевых инвестиционных фондов. Каждый пай характеризуется пятью параметрами:

начальной ценой

начальная цена

одного пая перед помещением его в портфель; -

числом паев

число паев  в портфеле

в портфеле; -

начальными инвестициями

начальные инвестиции

в данный портфельный сегмент, причем

Пай

; (1) -

среднеожидаемой доходностью пая

среднеожидаемая доходность пая

; -

его стандартным отклонением

отклонение пая

от значения

среднеожидаемая доходность пая

.

Сам портфель характеризуется: -

суммарным объемом портфельных инвестиций

отклонение пая

; -

долевым ценовым распределением паев в портфеле

суммарный объем портфельных инвестиций

, причем для исходного портфеля выполняется

исходный портфель

; (2) -

корреляционной матрицей

корреляционная матрица

, коэффициенты которой характеризуют связь между доходностями i-ым и j-ым паями.
Если

пиф

, то это означает полную отрицательную корреляцию, если

пиф

- имеет место полно положительная корреляция. Всегда выполняется

пиф

, так как пай одного инвестиционного фонда положительно коррелирует сам с собой.

Таким образом, портфель описан системой статистически связанных случайных величин с нормальными законами распределения.

Ожидаемая доходность портфеля r находится по формуле

пиф

(3),

а стандартное отклонение портфеля

пиф

пиф

(4)

Задача управления таким портфелем состоит в оптимизации его структуры, максимизирующей целевую функцию

пиф

вида (3) при заданном ограничении на уровень риска. Причем в качестве прогнозных значений параметров структуры мы получим треугольные числа.

Задача управления таким портфелем имеет следующее описание: определить вектор

суммарный объем портфельных инвестиций

, максимизирующий целевую функцию r вида (3) при заданном ограничении на уровень риска

пиф

, оцениваемый (4):

пиф

(5)

где

пиф

– риск бумаги с максимальной средней ожидаемой доходностью.
Запись (5) есть представляет собой классическую задачу квадратичной оптимизации, которая может решаться любыми известными вычислительными методами.

Решая задачу оптимизации портфельных инвестиций, можно получить зависимость максимальной доходности от риска

пиф

вида

пиф

(6)

Выражение (6) называется эффективной границей портфельного множества. В координатах «риск-доходность» она является кусочно-параболической вогнутой функцией без разрывов. Правой точкой границы является точка, соответствующая тому случаю, когда в портфеле оказывается одна бумага с максимальной средней ожидаемой доходностью.

В нечетко-множественной постановке условия (3) и (4) записываются в форме нечетких чисел, и задача квадратичной оптимизации также решается в этой форме. Решением задачи является эффективная граница в виде нечеткой функции полосового вида.

Каждому отрезку на эффективной границе, отвечающей абсциссе портфельного риска, соответствует нечеткий вектор оптимальных портфельных долей.

Исходными данными для решения поставленной задачи явились результаты работы паевых инвестиционных фондов акций, облигаций и смешанных инвестиций за период с 2003 по 2005 гг. Ввиду отсутствия единой «стандартной» базы данных по стоимости паев Паевых инвестиционных фондов, мы сформировали свою базу на основе информации, полученной из открытых источников.

Доходность трех типов Паевых инвестиционных фондов за каждый год мы представили в виде треугольных нечетких чисел. Эти числа моделируют высказывание следующего вида: "параметр

пиф

приблизительно равен

пиф

и однозначно находится в диапазоне

пиф

".

Полученное описание позволяет взять в качестве исходной информации интервал параметра

пиф

и наиболее ожидаемое значение

пиф

, и тогда соответствующее треугольное число

пиф

построено.
Параметры

пиф

называются значимыми точками треугольного нечеткого числа

пиф

.

Например, доходность Паевых инвестиционных фондов акций в 2005 г. представлена в виде треугольного числа [15,80, 55,86, 100,20]. Это означает, что рост стоимости паев Паевых инвестиционных фондов акций в среднем составил 55,86% и находится в диапазоне от 15,80 до 100,20%.

От нечеткой оценки входных параметров после ряда преобразований мы перешли к нечетким результатам оптимизации структуры портфеля.

В таблицу 2 сведены границы для модельных классов паевых инвестиционных фондов акций, облигаций и смешанных инвестиций в структуре модельного портфеля для различных уровней риска.

Таблица 2. Оптимальная доля паевых инвестиционных фондов в портфеле.

ПАЕВЫЙ ИНВЕСТИЦИОННЫЙ ФОНДы

Риск портфеля, %

10

20

30

40

50

60

70

80

акций

мин

0

0

0

0

0

0

0

0

 

сред

0,153

0,439

0,563

0,665

0,753

0,833

0,905

0,973

 

макс

0,468

0,656

0,8

0,922

1

1

1

1

облигаций

мин

0,532

0,344

0,2

0,078

0

0

0

0

 

сред

0,615

0,561

0,437

0,335

0,247

0,167

0,095

0,027

 

макс

0,854

0,680

0,555

0,451

0,361

0,280

0,205

0,137

смешанных

<p>инвестиций

мин

0

0

0

0

0

0

0

0

 

сред

0,146

0

0

0

0

0

0

0

 

макс

0,232

0,32

0,445

0,549

0,639

0,72

0,795

0,863

На базе нечетко-множественных описаний входные и выходные данные представлены не точечными, а размытыми. Так, например, можно сказать, что оптимальная доля паевых инвестиционных фондов облигаций при риске портфеля 40% составляет [0,078, 0,335, 0,451] и может быть представлена в виде (рис. 8).

пиф

Рис. 8. Оптимальная доля паевых инвестиционных фондов облигаций при риске портфеля 40%

Задача инвестиционного выбора в приведенной выше постановке есть процесс принятия решения в расплывчатых условиях, когда решение достигается слиянием целей и ограничений.

Таким образом, по результатам нечетко-множественной оптимизации, мы получили оптимальное распределение модельных активов, но не с фиксированными, а с расплывчатыми границами. Это максимум того, что мы можем добиться в условиях существенной неопределенности. Инвестор, используя «зазоры», может манипулировать долями, оставаясь при этом в пределах оптимального портфеля.

<< | >>
Источник: Л. Д. Панкратова. ПАЕВЫЕ ИНВЕСТИЦИОННЫЕ ФОНДЫ РФ. 2008

Еще по теме 2.2 Метод Марковица в нечетко-множественной постановке:

  1. Стратегическое планирование с использованием нечетко-множественных описаний
  2. 4.1. Метод оптимизации инвестиционного портфеля по модели Г. Марковица
  3. 7.1. Метод оптимизации инвестиционного портфеля по модели Г. Марковица
  4. 2.4.3. Методы повышения качества модели множественной регрессии
  5. 4.1.2. Постановка и методика решения ассортиментной задачи симплексным методом
  6. ПОРТФЕЛЬ МАРКОВИЦА
  7. Недосекин А.О.. Оценка риска бизнеса на основе нечетких данных, 2004
  8. Разработка нечеткого механизма свертки
  9. Модель торговли на основе нечеткой логики
  10. Нечеткие критерии
  11.              Модель Марковица для двух активов
  12.              Портфель Марковица максимальной эффективности