<<
>>

              Задача оптимизации портфеля

 

Теперь, понимая взаимосвязь между риском и доходом и влияние ковариации, мы можем определить задачу оптимизации портфеля. Задача оптимизации портфеля заключается в том, чтобы определить, какая доля портфеля должна быть отведена для каждой из инвестиций так, чтобы величина ожидаемого дохода и уровень риска оптимально соответствовали целям инвесторов.

Предположим, что цель инвестора состоит в минимизации риска портфеля, где риск измеряется дисперсией портфеля.

На практике инвестор обычно устанавливает ограничения относительно способа, по которому может быть построен портфель. Например, целевой функцией может быть минимизация риска, но при каком-то минимальном уровне дохода, а также при ограничениях на минимальные и максимальные доли, которые могут быть инвестированы в каждый актив. Как поступать с этими ограничениями — объясним позже.

Сейчас же проиллюстрируем портфельную задачу, рассмотрев оптимизацию при ограничениях для случая портфеля из трех активов.

Требования инвестора обычно ограничивают процесс выбора. Например, инвестор может потребовать минимизации риска при ожидаемом доходе не менее или равном данному уровню.

Портфельная задача, таким образом состоит в минимизации дисперсии портфеля при каком-то минимальном уровне дохода. Из (6.7.4) видно, что дисперсия портфеля Оп может быть выра-

—т

жена через произведение транспонированного вектора V, т.е. V ,

дисперсионно-ковариационной матрицы О, и вектора V, т.е. V. Следовательно, поставленная задача является задачей квадратического программирования и может быть записана следующим образом.

Минимизировать функцию

              = с2=УТО.У              (6.7.10)

при ограничениях

У1+У2+У3=1

У,Е(г1) + У2Е(г1) + У3Е(г3)gt;Е11р(г),(6 7 11)

У,gt;0,У2gt;0,У3gt;0,

где Е,1р(г) — это минимальный приемлемый уровень дохода.Рассмотрим некоторый портфель акций, которые находятся на денежном счете и полностью оплачены, т.е.

они куплены не за счет кредита. Отметим, что входные данные для нахождения эффективного портфеля это прибыли, которые мы ожидаем по данной акции, и дисперсия, которая ожидается от этих прибылей. Прибыли по акциям определяются как дивиденды, ожидаемые за определенный период времени, плюс повышение рыночной стоимости акций (или минус уменьшение) за этот же период, выраженные в процентах.

Предположим, что мы имеем три актива — 1, 2 и 3 с ожидаемыми доходами 0,14,0,16, 0,10 соответственно. Известна дисперсионно-ковариационная матрица ?2 :

0,0002 0,00006 - 0,00008^ 0,00006 0,0003 -0,00004 -0,00008 - 0,00004 0,0001

Нужно найти пропорции V, для инвестирования в каждый актив, чтобы получить требуемый доход 13% при минимальной дисперсии.

= К,2lt;72 + УІо\+ VIс\ +2Уп соу12 + 2К,3 соу,3+2К23 соу23=

Составляем дисперсию (целевую функцию)

( 0,0002

0,00006

-0,00008"

ГМ

0,00006

0,0003

-0,00004

Уі

-0,00008

-0,00004

0,0001

/

Уг \ /

= 0,0002Р-',2 +0,0003К22 +0,0001 К32 +0,00012^^ -0,00016Г,К3 - -0,00008К2К3.

Таким образом, наша задача формулируется следующим образом: минимизировать целевую функцию

(6.7.12)

г = 0,0002К, + 0,0003К22 + 0,0001К2 + 0,00012К, к2

              при ограничениях

0,00016К,Г3 - 0,000081^2 Гз

V, +У2+У3 =1,

0Д4У, +0,16У2 +0,1У3 =0,13, V] gt;0,У2 gt;0,У3gt;0.

Если имеем задачу математического программирования: минимизировать функцию

г=ЛУи Уг,..., Уп)

при ограничениях

lt;р1(У1,У2,~,Уп) = 0, { = то функция Лагранжа имеет вид

П

иух ,..У„ Д, А„ ) - т,у2,....(У,, У2,У„).

1=1

Для нашего случая функция Лагранжа запишется как

, У2, У3Я,, Я2) = 0,0002^ + 0,0003У22 + 0,0001У32 +

+ 0,0001 - 0,00016У,У3 -0,00008^2У3 +Я| (V, + У2 +У3 -1) + +А2(0Д4У, +0,16У2 + 0,1У3 -0,13).(6.7.14)

Находим частные производные этой функции по У\, У2, Уз, Яь Я2 и приравниваем их к нулю

-|^- = 0,0004У, +0,00012У2 -0,00016У3 +Х, +1,2Х2 =0,

«V,

г)Т

—- = 0,0006У2 + 0,00012У, -0,00008У3+Хг +1,4Х2 =0, оУ2

Дт

Т—- = 0,0002У3 -0,00016^ -0,00008У2 +Х, +Х2 =0, оУ3

lt;6'715gt;

^- = 0,14У,+0,16У2+0,1У3 -0,13 = 0.

С/А. 2

Исключаем У3 из 4-го и 5-го уравнений системы, найдем 4У1 + 6У2 = 3.

Исключаем Я] из 1-го и 3-го уравнений системы и исключаем Я] из 2-го и 3-го уравнений системы, получаем:

0,00028 У\ - 0,00048 У2 - 0,00008 У3 - 0,2Я2 = 0,

0,00028 V; + 0,00668 У2 - 0,00028 У3 + 0,4Я2 = 0.

Из этих двух уравнений исключаем переменную Я2, находим 0,00084 У\ - 0,00028 У2 - 0,00044 У3 = 0.

Подставляя сюда У3 - 1 - У\ - У2, имеем 32^1+4^2= 11.

Из системы

Г 4У| + 6У2 = 3,

132У, + 4У2 =11

находим, что У\ = 0,307; У2 = 0,295 и, следовательно, У3 = =1 - Уі- У2 = 0,398.

При этом определяем, что Я] = 0,000432 и Я2 = -0,000439.

Таким образом, минимальные риски (дисперсия) соответствуют портфелю, в котором имеются 30,7% активов 1-го вида, 29,5% активов 2-го вида и 39,8% активов 3-го вида.

Пакет линейного программирования позволяет быстро решать системы вида (6.7.15).

Рассмотрим четыре потенциальные инвестиции, три из которых — в акции, а одна — в сберегательный счет с процентной ставкой 8,5% в год. Отметим, что продолжительность периода инвестирования равна одному году (табл. 6.9).

Таблица 6.9

Инвестиция

Ожидаемая

прибыль

Ожидаемая

дисперсия

прибыли

Ожидаемое

стандартное

отклонение

прибыли

Т

9,5%

10%

0,316

J

13%

25%

0,5

I,

21%

40%

0,632

5

8,5%

0%

0

Ожидаемая прибыль — это то же самое, что и потенциальная прибыль, а дисперсия (или стандартное отклонение) ожидаемых прибылей — то же самое, что и потенциальный риск. Отметим, что данная модель двумерная. Мы может сказать, что модель представлена правым верхним квадрантом декартовой системы координат (рис.

6.20), где по вертикали откладывается ожидаемая прибыль, а по горизонтали откладывается ожидаемая дисперсия, или стандартное отклонение прибылей, или риск.

Рис. 6.20. Правый верхний квадрант декартовой системы координат

Есть и другие аспекты потенциального риска, такие как потенциальный риск (вероятность) катастрофического убытка, который мы не рассматриваем отдельно от дисперсии прибылей. Оптимальный портфель отвечает зависимостям (6.6.10) — (6.6.11) в классическом варианте. Марковиц также утверждал, что портфель, полученный из этой задачи, оптимален только в том случае, если полезность, т.е. «удовлетворение» инвестора, является лишь функцией ожидаемой прибыли и дисперсии ожидаемой прибыли. Марковиц указал, что инвестор может использовать и более высокие моменты распределения, а не только первые два Е(г) и г, например асимметрию и эксцесс ожидаемых прибылей.

Потенциальный риск — очень емкое понятие, он является функцией гораздо большего числа переменных и включает более высокие моменты распределений. Тем не менее мы будем определять потенциальный риск как дисперсию ожидаемых прибылей. Не следует, однако, полагать, что этим риск полностью определен. Риск намного шире, и его реальная природа плохо поддается количественной оценке.

Первое, что должен сделать инвестор, это придать количественный смысл своим предположениям относительно ожидаемых прибылей и дисперсий прибылей рассматриваемых ценных бумаг на определенном временном горизонте (периоде удержания). Эти параметры можно получить эмпирически. Инвестор может рассмотреть прошлую историю ценных бумаг и рассчитать прибыли и их дисперсии за определенные периоды. Как уже было отмечено, термин «прибыли» означает не только дивиденды по ценной бумаге, но и любые повышения стоимости ценной бумаги (в процентах). Дисперсия является статистической дисперсией процентных прибылей. Для определения ожидаемой прибыли в период удержания можно использовать линейную регрессию по прошлым прибылям. Дисперсия как входной параметр определяется путем расчета дисперсии каждой прошлой точки данных на основе ее спрогнозированного значения (а не на основе линии регрессии, рассчитанной для прогнозирования следующей ожидаемой прибыли).

Вместо того чтобы определять эти значения эмпирическим способом, инвестор может оценить значения будущих прибылей и дисперсий. Возможно, наилучшим способом нахождения параметров является комбинация обоих подходов. Инвестору следует использовать эмпирический подход (т.е. использовать исторические данные), затем, если это необходимо, можно учесть прогноз относительно будущих значений ожидаемых прибылей и дисперсий.

Следующими параметрами, которые должен знать инвестор для использования данного метода, являются коэффициенты линейной корреляции прибылей. Эти параметры можно получить эмпирически, путем оценки или с помощью комбинации обоих подходов.

При определении коэффициентов корреляции важно использовать точки данных того же временного периода, который был использован для определения ожидаемых прибылей и дисперсий. Другими словами, если мы используем годовые данные для определения ожидаемых прибылей и дисперсии прибылей (т.е. ведем расчеты на годовой основе), следует использовать годовые данные и при определении коэффициентов корреляции. Если мы используем дневные данные для определения ожидаемых прибылей и дисперсии прибылей (т.е. ведем расчеты на дневной основе), тогда нам следует использовать дневные данные для определения коэффициентов корреляции.

Вернемся к нашим четырем инвестициям — Т,1,Ь и к сберегательному счету (5'). Ниже приведена таблица их коэффициентов линейной корреляции

т

I

?

5

т

1

-0,15

0,05

0

I

-0,15

1

0,25

0

ь

0,05

0,25

1

0

Используя метод п. 6.2, вычисляем дисперсионно-ковариационную матрицу О. Отметим еще раз, что ковариация ценной бумаги самой к себе является дисперсией, так как коэффициент линейной корреляции ценной бумаги самой к себе равен 1.

ТI Ь Б

т

{ 0,1

-0,0237

0,01

0"

I

ь

о.=

-0,0237

0,01

0,25

0,079

0,079

0,4

0

0

5

0

0

0

0

V                            /

Составляем целевую функцию (дисперсию)

( од

-0,0237

0,01

0'

УЛ

-0,0237

0,25

0,079

0

у2

0,01

0,079

0,4

0

У3

0

\

0

0

0

У

У а

= У2а2 + К2 lt;т| + У1о\ + 2Уп соу,2+2Уи соу,3+ 2У2У соу23 =

= 0,1 -У,2 +0,25-У22 + 0,4У2 -0,0474У]У2 +0,02У{У3+0,158У2У3.

Тогда задача формулируется следующим образом: минимизировать целевую функцию

(6.7.16)

г = 0,1 ¦ V,2 +0,25У22 + 0,4У32 _ 0,0474^2 + +0,02У,У3 + 0,158-У2У3

при ограничениях

У,+У2 + У,+У4=1,

0,095У, +0,13У2 +0,21У3 +0,085У4 = Е, (6 ? 1?) У,gt;0,У2gt;0,У3gt;0,У4gt;0.

Здесь через Е мы обозначили требуемый доход.

Функцию Лагранжа зададим в виде

ДV,,У2,У3,У4,Л,,А2) = ОДУ,2 + 0,25У22 + 0,4У32 - -0,0474У,У2 +0,021^ + 0,158-У2У3 + Я,(У, + У2 + У3 + У4 -1) +

+ Я2(0,095У, + 0,13У2 +0,2 IV, + 0,085У4-Е).

Находим частные производные этой функции по У\, У2, Уз, У4, Яь Яг ц приравниваем их к нулю

              = 0,2У| - 0,0474У2 + 0,02У3 + х , + 0,095х 2 = 0,

ОУ,

= 0,5У2 - 0,0474У, + 0,158У3 + х ,+0,13x2=0.

оУ2 г) Т.

              = 0,8У3 + 0,02У, +0,158У2 +х , +0,21х 2 =0,

Эь

~~~ = х , + 0,085х 2 = 0,

ЭЬ(6-718)

-— = V, + У2 + У3 + У4 -1 = о,

Эх ,

эт

-— = 0,095У, + 0,13У2 + 0,21 У3 + 0,085У4 - Е = 0.

Ох 2

Тогда проблема минимизации г при данном Е для рассматриваемого портфеля может быть решена с помощью системы линейных алгебраических уравнений (6.7.18) с применением ЭВМ.

Так как порядок системы (6.7.18) небольшой, то решим ее в конечном виде.Исключая Уц из пятого и шестого уравнений системы, найдем: 0,015Fi + 0,045У2 + 0,125У3 + 0,085 -Е-0(а)

Из первого и второго уравнений исключаем Ai и из второго и третьего исключаем Аь получаем:

0,2474 V, - 0,5474 V2- 0,138 У3 - 0,035А2 = 0,

-0,0674 V\+ 0,342 V2- 0,642 V3 - 0,08A2 = 0.

Из этих двух уравнений исключаем А2.

0,022151 • V\- 0,055762 У2 + 0,01143 У} = 0.

Из этого уравнения c помощью уравнения (а) исключаем У3

25^730 • У, - 748460 • У2 - 97155 + 1143000 • Е = 0. (Ь)

Из первого и четвертого уравнений системы, второго и четвертого уравнений и третьего и четвертого уравнений исключаем А], получаем три уравнения:

0,2 У, - 0,0474 У2 + 0,02 У3 + 0,01Я2 = 0,

-0,0474 Ух + 0,05 У2 + 0,158 У3 + 0,045А2 = 0,

0,02 У, + 0,158 У2 + 0,8 У3 + 0,125А2 = 0,

в которых из первого и второго, второго и третьего исключаем А2, находим

0,009474 V, - 0,007133 У2 - 0,00068 У3 = 0,^

-0,006825 У\ + 0,05539 Г2 - 0,01625 У3 = 0.

Из этих двух уравнений исключаем У3

158593 F,- 153576F2 = 0.

Из этого уравнения и уравнения (Ь) находим, что

У\ - 2,2271?-0,188,...

(а)

Подставляя решения (lt;3) в уравнение (с), найдем

У3 = 6,9 • ?-0,582.(е)

Из последнего уравнения системы (6.7.18), подставляя в нее выражения (б) и (е), найдем, что

К4 = -11,427 ¦? + 1,965.(0

Подставляя решения (с1), (е) и (0 в (6.7.16), получим значение целевой функции (дисперсии, риска)

гть = 23,919 • Е2 - 4,039 Е + 0,156.

Таким образом, минимальный риск

Гщт = л]23,919Е2 -4,039- ? + 0,156(6.7.19)

при требуемом доходе Е будет отвечать оптимальному портфелю составленному из акций Т, Ь, I, Б соответственно в долях

У, =2,227 -?-0,188,

Уг = 2,30 - ?-0,195,(6 7 20)

У3 = 6,90 -?-0,582,

У4 = -11,427 ¦? + 1,965.

Пусть ожидаемая отдача (доход) ? = 14. Тогда У\ = 0,1238,

Уг - 0,127, Уз = 0,384, У4 = 0,3652, дисперсия Отш = сг^ = 0,05935, а = '¦щт = 0,2436 = 24,36% .

Первые четыре значения, от У\ до У4, дают нам веса, т.е. доли инвестируемых средств, для получения оптимального портфеля с 14%-ой ожидаемой прибылью. Нам следует инвестировать 12,38% в Т, 12,7% в I, 38,4% в ? и 36,52% в сберегательный счет. Если мы хотим инвестировать 50000 долларов, то получим:

Акция

Процент

(*50000=)сумма инвестиций

Т

0,1238

Г

$6190

I

0,127

$6350

Ь

0,384

$19200

Сберегательный счет

0,3652

$18260

Таким образом, в I мы бы инвестировали 6350 доллара. Теперь допустим, что I котируется по цене 20 долларов за акцию, т.е. следует купить 317,5 акции (6350/20). На самом деле мы не можем купить дробное число акций, поэтому купим либо 317, либо 318 акций. Следует также отметить, что небольшой лот из 17 или 18 акций, остающийся после покупки первых 300 акций, будет стоить дороже. Нестандартные, малые лоты обычно стоят несколько дороже, поэтому мы переплатим за 17 или 18 акций, а это коснется ожидаемой прибыли по нашей позиции в / и в свою очередь затронет оптимальную комбинацию портфеля.

В некоторых случаях следует ограничиться только стандартным лотом (в нашем случае — это 300 акций). Как видите, необходимо учитывать некоторый коэффициент ухудшения. Мы можем определить оптимальный портфель с точностью до дробной части акции, но реальная торговля все равно внесет свои коррективы.

Естественно, чем больше наш счет, тем ближе будет реальный портфель к теоретическому. Допустим, вместо 50000 долларов мы оперируем пятью миллионами долларов. Мы хотим инвестировать 12,7% в / (если речь идет только об этих четырех инвестиционных альтернативах) и поэтому будем инвестировать 5000000 • 0.127 = $635000. При цене 20 долларов за акцию мы бы купили 635000/20 = 31750 акций. Когда для инвестирования у нас есть только 50000 долларов, мы купим 300 акций вместо оптимального количества 317,5 и таким образом отклонимся от оптимального значения примерно на 5,8%.

Составим табл. 6.10, в которой приведем для различных значений Е веса акций в портфеле и соответствующий им риск.

Таблица 6.10 Требуемая доходность Е — минимальный риск г,пт

Е

У\

У2

Уз

У4

2

7*тт

0,11

0,057

0,058

0,177

0,708

0,00113

0,0336

0,12

0,079

0,081

0,246

0,594

0,0158

0,1257

0,13

0,101

0,104

0,315

0,480

0,0352

0,1875

0,14

0,124

0,127

0,384

0,365

0,0593

0,2436

0,15

0,146

0,150

0,453

0,251

0,0883

0,2972

Е

VI

у2

Уз

Уа '

г

^|т1ш

0,16

0,124

0,127

0,384

0,365

0,1221

0,3494

0,17

0,191

0,196

0,591

0,022

0,1606

0,4008

0,18

0,128

0,191

0,681

0

0,213

0,4615

0,19

0,050

0,179

0,771

0

0,264

0,5138

0,20

0

0,125

0,875

0

0,326

0,571

0,21

0

0

1,0

0

0,40

0,632

Так как при Е= 0,18 значение У4 в формуле (6.7.20) будет отрицательным, то систему (6.7.18) нужно изменить, исключив четвертое уравнение и положив У4 - 0. Тогда решение новой системы имеет вид:

К, = 1,537-7,826?,

У2 =0,416-1,249Е,

Зависимость требуемой доходности от минимального

Зависимость требуемой доходности от минимального

   У4 =0,

г^п = gt;/35,78 Ш2-8,128?+0,517 .(6.7.21)

У3 = 0,953 + 9,015Е,

При Е = 0,20 значение У1 lt; 0 и тогда систему (6.7.18) нужно изменить, исключив четвертое и первое уравнения системы и положив У\ = V,4 = 0. После этого решение новой системы имеет вид:

У2 = 2,625-12,5Е,

У3 =1,625 +12,5Е,

(6.7.22)

гт1п = л/76,875?2-24,263? + 2,105.

На рис. 6.21 приведен график требуемой доходности от минимального риска ДГщт), из которого видно, что при изменении риска от 0,25 и больше зависимость Е(гтт) практически является линейной.

<< | >>
Источник: Шапкин А. С.. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций: Монография. — М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°». — 544 с.: ил.. 2003

Еще по теме               Задача оптимизации портфеля:

  1. 5.2.2. Решение задачи оптимизации структуры портфеля
  2. 6.4.5. Классические постановки задач оптимизации портфеля ценных бумаг
  3. 7.23. Задача оптимального программного управления, как задача оптимизации в бесконечномерном пространстве
  4. Раздел 16. ОПТИМИЗАЦИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ
  5. 11.4. Оптимизация инвестиционных портфелей
  6. Тема 4. Методы оптимизации инвестиционного портфеля
  7. 3.3.3 Метод последовательной оптимизации портфеля проектов УР
  8. 5.2. ОПТИМИЗАЦИЯ СТРУКТУРЫ ПОРТФЕЛЯ РИСКОВЫХ ЦЕННЫХ БУМАГ
  9. 2.5.Оптимизация портфеля ценных бумаг
  10. 6.7.4. Сравнение методов оптимизации портфелей
  11. ПУТИ ОПТИМИЗАЦИИ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ ПРЕДПРИЯТИЯ
  12. 2 Оптимизация фондового портфеля при инвестировании в ПАЕВЫЙ ИНВЕСТИЦИОННЫЙ ФОНДы
  13. 7.2. Оптимизация инвестиционного портфеля по модели Шарпа
  14. 4.2. Оптимизация инвестиционного портфеля по модели Шарпа
  15. 4.1. Метод оптимизации инвестиционного портфеля по модели Г. Марковица