<<
>>

             Выбор оптимального ассортимента продукции

  Применяя изложенный математический аппарат двойственной задачи линейного программирования, рассмотрим пример выбора оптимального ассортимента и объема продукции швейного предприятия.
Эта социальная задача сферы сервиса связана с удовлетворением потребностей населения в бытовых услугах и направлена на улучшение основных производственных показателей эффекта бытового обслуживания, заключающегося в снижении стоимости товаров, экономии свободного времени и улучшении качества обслуживания.

Рассмотрим работу швейного предприятия, выпускающего детские костюмы, платья и плащи, сбыт которых зависит от состояния погоды, при этом реализация продукции происходит через фирменные магазины.

По данным наблюдений за предшествующие одиннадцать лет предприятие в течении апреля — мая в условиях теплой погоды может реализовать 600 костюмов, 2000 платьев и 300 плащей, в условиях прохладной погоды —1000 костюмов, 500 платьев и 800 плащей и в условиях обычной погоды — 800 костюмов, 1100 платьев и 600 плащей. Затраты на единицу продукции в течение указанных месяцев составили для костюмов 30 ден. ед., для платьев 10 ден. ед. и для плащей 15 ден. ед., а цена реализации равна соответственно 50 ден. ед., 20 ден. ед. и 28 ден. ед.

Задача заключается в максимизации средней величины прибыли от реализации выпущенной продукции с учетом неопределенности погоды в рассматриваемые месяцы.

Подобная задача рассматривается как игра с природой. Ее отличительная особенность состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников (предприятие), называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные ходы партнер по игре.

Первоочередной задачей является построение платежной матрицы.

Предприятие располагает тремя чистыми стратегиями: стратегия Р( с расчетом на теплую погоду, стратегия Рг с расчетом па прохладную погоду и стратегия Рз с расчетом на обычную погоду.

Природа, рассматриваемая как второй игрок, также располагает тремя стратегиями: обычная погода (стратегия Пi), прохладная погода (стратегия Пг) и теплая погода (стратегия Пз).

Если предприятие выберет стратегию Рь то в случае обычной погоды (стратегия природы ПО доход составит:

(50 - 30) 600 + (20 - 10)1100 + (28 - 15)300 - (20 - 10)(2000 - 1000)=

= 17900 ден. ед.,

в случае прохладной погоды (стратегия природы П2) доход будет равен

20 • 600 + 10 • 500 + 13 • 300 - 10(2000 - 500) = 5900 ден. ед.,

и в случае теплой погоды (стратегия природы Пз) имеем доход, равный

20 • 600 + 10 • 2000 + 13 • 300 = 35900 ден. ед.

Если предприятие выберет стратегию Рг, то реализация продукции в условиях обычной погоды дает доход:

20 • 800 + 10 - 500 + 13 • 600 - 20(1000 - 800) - 13(800 - 600) =

= 22000 ден. ед.,

в условиях прохладной погоды доход будет:

20 • 1000 + 10 • 500 + 13 • 800 = 35400 ден. ед.,

а в условиях теплой погоды имеем доход:

20 • 600 + 10 • 500 + 13 • 300 - 20(1000 - 600) - 13(800 - 300) =

= 6400 ден. ед.

Если предприятие выберет стратегию Рз, то в случае обычной погоды доход будет равен:

20 • 800 + 10 • 1100 + 13 • 600 = 34800 ден. ед.,

при прохладной погоде имеем доход, равный:

Z9 ¦ 800 + 10 ¦ 500 + 13 ¦ 600 - 10(1100 - 500) = 22800 ден. ед.,

и в случае теплой погоды доход составит:

20 • 600 + 10 • 1100 + 13 • 300 - 20(800 - 600) - 13(600 - 300) =

= 16000 ден. ед.Результаты вычислений сведены в табл. 2.8.

Платежная матрица

Стратегия

природы

Стратегия^\^

предприятия

Обычная

п,

Прохладная

п2

Теплая

П3

Теплая — Р1

17 900

5 900

35 900

Прохладная — Рг

22 000

35 400

6400

Обычная — Рз

34 800

22 800

16 000

Платежная матрица рассматриваемой производственной ситуации имеет вид:

Е =

(2.6.20)

17 900 5900 35900 22000 35400 6400 34800 22800 16000

Платит, естественно, не природа, а некая третья сторона (или совокупность сторон, влияющих на принятие решений игроком 1 и объединенных в понятие «природа»).

В данной ситуации платит само предприятие, получая меньшую или большую прибыль.

Можно задавать матрицу игры с природой и в виде так называемой матрицы рисков И = ||гу || или матрицы упущенных возможностей. Величина риска — это размер платы за отсутствие информации о состоянии среды. Матрицу К построим на основе матрицы выигрышей Е = |су ||.

Риском гу игрока при использование им стратегий Р\, Р2или Р3 и при состоянии природы П\, П2или Щбудем называть разность между выигрышем, который игрок получил бы, если бы он узнал, что состоянием среды будет ИЛИ П\,или П2, ИЛИ 77з и выигрышем, который игрок получит, не имея этой информации.

Матрицу рисков находим по формуле (2.2.2).

Для матрицы (2.6.20) имеем ?\ = 34 800, Дг — 35 400, = 35 900. Получаем матрицу рисков:

R =

(2.6.21)

(16900 29500 0 12800 0 29500

              12600 19900

Для определения критериев эффективности построим табл. 2.9.

Таблица 2.9

Таблица 2.9

   Вспомогательная таблица

Для предприятия лучшими являются стратегии: по критерию гарантированного результата:

Ег = maxmin е,. = max {5900, 6400,16000} = 16000 -Р3;

              j

по критерию оптимизма:

Е0 - max maxetj = max{35900, 35400, 34800} = 35900-P^ i i

по критерию пессимизма:

En =min min с,. = min{5900, 6400,16000} = 5900- Р,;

' i

по критерию Сэвиджа, исходя из матрицы рисков (2.6.21):

Erc- min max r„ = min{29500, 29500,19900} = 19900 - P3;

              j

no критерию Гурвица при коэффициенте оптимизма к = 0,6 Ег = max{/lt; min еу +(!-/:) maxву } =

= тах{17900,18000, 23520} = 23520-Р3.Стратегия Р3 повторяется в качестве оптимальной по трем критериям выбора из пяти критериев, а стратегия Р\ — по двум критериям. Однако, преимущество дал критерий Гурвица, зависящий от коэффициента оптимизма к и, если принять к = 0,9, то по критерию Гурвица оптимальной будет стратегия Рг¦ Поэтому к практическому применению можно рекомендовать как стратегию Р\, так и стратегию Р$.

В данном случае видно, что однозначного ответа о выборе оптимальной стратегии, исходя из критериев оптимальности, дать нельзя.

Дальнейший экономический анализ, с целью определения оптимального объема производства, проведем с использованием теории двойственности задач линейного программирования.

Для матрицы (2.6.20), исходя из общей постановки (2.6.16) —

              имеем следующую пару двойственных задач:

для определения оптимальной стратегии игрока Р нужно решить задачу линейного программирования: найти минимум функции

Т=1х + 12 + Ь              (2.6.22)

при ограничениях

17900*, +22000г2 +З4800*3 gt;1,

5900*, + 35400;2 + 22800* 3 gt; 1,

(2.6.23)

ш

35900*! + 6400*2 +16000*3 gt;1,

*, gt;0, ; = 1,2,3.

Оптимальную стратегию игрока П определим, решив задачу линейного программирования: найти максимум функции

(2.6.24)

Т оп

Z=¦u\ + иг + щ

при ограничениях

о*п

17900«] + 5900м2 + 35900«з lt;1,

22000м, + 35400м2 +6400м3 lt;1,

34800м,+22800м2 +16000м3 lt;1,

Ujgt;0, у = 1,2,3.

Решаем более простую обратную задачу (2.6.24) — (2.6.25). Вводя положительные базисные переменные (б.п.) иа, щ, ив, систему неравенств (2.6.24) — (2.6.25) записываем в виде системы уравнений

17900м, + 5900м 2 +З5900м3+ил= 1,

22000«] + 35400м2 + 6400« 3 + м5 =1,

34800м, + 22800м2 + 16000м3 + и6 = 1,(2.6.26)

-м, -м2 -м3+ г = 0.

Систему (2.6.26) записываем в виде табл. 2.10.

Таблица 2.10

Таблица 2.10

  

Совершая последовательно три шага модифицированных жор- дановых исключения, получим табл. 2.11.

Таблица 2.11

\с.П

б.п\

и6

1/5

1/4

1

иъ

17587661581

14703

45973049029

43237368013

679081024890800

1410461980

509289611738400

2037243074672400

и2

489549

2094351

35148

113361

14104619800

42313859400

5289232245

5289232425

123406727061

524987

44031622991

32266536049

1772401474964988

14104619800

2037158446953600

8076781399859952

2

4919630499

16008

11495892639

532279964702

1772327848 849632

705230990

509289611738400

11077509218531175

Так как в табл.

2.11 все элементы в г-строке и 1-столбце неотрицательны, то получаем оптимальное решение.

Переходим к решению прямой задачи. Установим соответствие переменных двойственных задач:

С.П.Б.П.

11\              1lt;2              Щ              И4              и$ 11(,

/4              /5              *6              *1              ^2 *3

Транспонируем табл. 2.11, знаки перед всеми элементами, кроме элементов Z — строки, меняем на обратные, переменные 1] заменяем на соответствующие переменные щ, получаем табл. 2.12.

Таблица 2.12

\.п.

бЛ

h

lt;5

h

1

lt;3

0,259 • 10"4

0,347 • IO-4

-0,697- IO-4

0,028 ¦ 10"4

h

-0,104- К)-4

- 0,495 • 10-4

0,372 • IO-4

0,227 ¦ IO-4

ii

-0,903 • 10~4

-0,066- 1C4

0,216 - IO-4

0,225 • IO-4

Т

-0,217- 10~4

-0,221 • IO-4

-0,041 - IO-4

0,480 • 10 4

Из табл. 2.12 получаем оптимальное решение. Так как

Т = ^- = 0.48 10 4, то цена игры V = 20833. Из f, =—- = 0,225-10 4

получаем х\ = 0.469. Аналогично получим хг = 0,472 и х3 = 0,059.

Это означает, что стратегию Р\ нужно применять с вероятностью 0,469, стратегию Рг — с вероятностью 0,472 и стратегию Рз — с вероятностью 0,059.

Формируем оптимальный план производства:

(600 кост. + 2000 плат. + 300 плащ.) • 0,469 + (1000 кост. +

+ 500 плат. + 800 плащ.) ¦ 0,472 + (800 кост. + 1100 плат. +

+ 600 плащ.) • 0,059 = 801 кост. + 1239 плат. + 554 плащ.

Таким обратом, предприятие при производстве 801 костюма, 1239 платьев и 554 плащей получит наибольшую прибыль, которая в среднем составит 20833 ден. ед.

Для приведенной формулировки производственной задачи получили однозначный ответ.

Недостатком данного метода является достаточно большой объем вычислительных операций даже для матрицы с размерностью 3x3. Однако, существуют стандартные программы применения симплексного метода на ЭВМ и это снимает подобное неудобство.  

<< | >>
Источник: Шапкин А. С.. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций: Монография. — М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°». — 544 с.: ил.. 2003

Еще по теме              Выбор оптимального ассортимента продукции:

  1. АНАЛИЗ СОСТАВА, АССОРТИМЕНТА И СТРУКТУРЫ ПРОДУКЦИИ
  2. 10.7. Анализ ассортимента и структуры продукции
  3. 6.2. Анализ ассортимента, структуры и номенклатуры выпуска продукции
  4. Оптимальный выбор
  5. Анализ ассортимента и структуры продукции
  6. 8.2. Выбор оптимального портфеля
  7. 3.3. Анализ ассортимента и структуры продукции
  8. Выбор оптимального портфеля
  9. Решения по выбору ассортимента при существующих мощностях
  10. Примеры релевантной информации: выбор объема и ассортимента выпуска
  11.               ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА РЕКОНСТРУКЦИИ ФАБРИКИ-ХИМЧИСТКИ
  12. 4.5. Выбор оптимальной стратегии