Тема 3. Расчеты потоков платежей

Потоки платежей являются неотъемлемой частью всевозможных сделок на финансовом рынке: с кредитами, ценными бумагами, а также при управлении финансами предприятий, осуществлении инвестиционных проектов и во многих других задачах экономической теории и практики.

Примерами потоков могут служить: поступающие в Пенсионный фонд взносы; календарь «порционной» выдачи кредита и погашении по нему; купонные выплаты владельцам облигаций; растянутые во времени инвестиции в проект и доходы от его реализации и т. д.

Заинтересованные в платежах стороны преследуют определенные цели, успешность в достижении которых, помимо прочего, зависит от размеров платежей и времени их поступления, то есть от параметров потока {C|, T N}.

Получатели доходов стремятся к их увеличению и оценивают свой успех суммарным доходом, заработанным за полный срок действия платежей, - "ft. Разумеется, что с учетом временной неравноценности денег они не ограничиваются простой алгебраической суммой всех платежей, а оценивают их как взвешенную сумму, где весами являются множители наращения каждого платежа на определенную дату в будущем, например, "ft.

Вопрос о выборе ставки начисления процентов, входящей в весовые коэффициенты, решается в зависимости от имеющихся альтернатив использования денежного капитала, например, внесение средств на депозит банка по ссудному проценту R Ввиду однозначной математической связи наращения с дисконтированием за базовую оценку потока платежей можно принять и алгебраическую сумму дисконтированных платежей на какой-либо прошлый момент.

В финансовом анализе эти обобщенные характеристики (оценки) последовательности платежей называются наращенной суммой (FV) и современной величиной (текущей или приведенной стоимостью) потока (А).

Их числовые значения дают будущий и соответственно упреждающий финансовые эквиваленты распределенного потока платежей.

Финансовая рента

Финансовая рента или аннуитет - это частный случай потока платежей, все члены которого - положительные величины, а временные интервалы между двумя последовательными платежами постоянны.

Общая постоянная рента (простая годовая рента). Такой рентой называется последовательность К одинаковых выплат на протяжении года в течение всего срока ренты N (число лет) с М-разовым ежегодным начислением процентов по одной и той же годовой ставке R (десятичная дробь).

Одинаковые и постоянные потоки, равномерно распределенные во времени называют аннуитетом или рентой. В данном случае аннуитет — это ежегодная денежная сумма определенного размера (рента), выплачиваемая кредитору в погашение полученных от него средств (инвестиций), включая проценты. В общем случае аннуитет означает как получение периодически уплачиваемой денежной суммы, так и ее выплату.

Дисконтированную стоимость рентных платежей определяют по выражению

(1 + r)л-1

FV = A * r ,              (10)

где A - размер очередного платежа

R - годовая ставка

N - срок ренты в годах.

Другой обобщающей характеристикой финансовой ренты (аннуитета) является ее современная (приведенная) величина, представляющая собой сумму платежей, дисконтированных на момент начала ренты по ставке начисляемых сложных процентов:

1 - (1 + г) -n              * (1 + r) n-1

FV = A * г              или              FV              =              A г(1 + г) n              (11)

Вечная (бессрочная рента). Вечная рента представляется последовательностью платежей, число членов которой не ограничено, - она выплачивается в течение бесконечного числа лет. Вечная рента не является чистой абстракцией и может использоваться для приближенного описания долгосрочных потоков, когда-либо период всех выплат достаточно велик, либо не оговариваются какими-либо конкретными сроками прибыль от эксплуатируемого оборудования, выплаты по обязательствам пенсионных фондов, периодические купонные поступления для долгосрочных облигационных займов и т.

Современную величину вечной ренты можно определить, суммируя бесконечное число платежей A, дисконтированных на ее начало, или непосредственно из формулы для простой ренты, устремляя число ее членов к бесконечности. Независимо от способа получения приведенная стоимость такой ренты равна:

A

FV = г              (12)

при этом, как легко доказывается формально и что следует по существу, ее наращенная сумма будет равна бесконечно большой величине.

Пример 6. Найти настоящую стоимость обычного аннуитета, выплаты по которому в размере $5000 осуществляются в конце каждого года в течение 3-х лет. Процентная ставка - 10 %.

Решение: используем формулу (11):

1 1 1 1

PVA°t-vi%,n-3 PMTx - X (1              = $5000 X — X (1                = $2434,25

I              (1 + i)n              0,1              (1              +              0,1)3

Пример 7. Найти настоящую стоимость обычного аннуитета, выплаты по которому в размере $5000 осуществляются в конце каждого месяца в течение 3х лет. Процентная ставка - 10 %, начисление процентов ежемесячно.

Решение: используем формулу (11):

PVA°i.vi%k=12 n=3 = PMTx — x (1              1              ) = $5000 x — x (1              1              ) = $154956,178

i ,, \ nx/              0,1 0,1' (1 + -)nxk              —              (1 + ^)3x12

k              k 12              12

Пример 8. Определить сумму, которая будет накоплена на счете, приносящем 14 % годовых, к концу третьего года, если ежегодно, в конце каждого года откладывать на счет $1200.

Решение: используем формулу (10):

FVAo,n = PMTx 1 x ((1 +1)n -1) = $1200x — x ((1 + 0,14)3 -1) = $4127,524 i              0,14

Пример 9. Определить сумму, которая будет накоплена на счете, приносящем 11 % годовых, к концу шестого года, если ежемесячно, в конце каждого месяца, откладывать на счет $500.

Решение: используем формулу (10):

FVA0in = PMTx - x ((1 + -) n^k -1) = $1200 x — x ((1 + °H)6x12 -1) = $121612,430 i k 0,11 12

IF

Для закрепления изложенного материала выполните следующие задания:

Задание 1

Анализируются два варианта накопления средств по схеме аннуитета:

План 1. Вносится вклад на депозит 500 руб. каждые полгода при условии, что банк начисляет 8 % годовых с полугодовым начислением процентов.

План 2. Делается ежегодный вклад в размере 1000 руб. на условиях 9 % годовых при ежегодном начислении процентов.

Определите: 1. Какая сумма будет на счете через 12 лет при реализации каждого плана? Какой план более предпочтителен? Измениться ли Ваш выбор, если процентная ставка в плане 2 будет снижена до 8,5 %?

Задание 2

Г-н N желает приобрести пенсионный контракт, по которому он мог бы получать ежегодно по $7000 в течение оставшейся жизни. Страховая компания, используя таблицы смертности, оценила, что клиент сможет прожить 20 лет, и установила 6 % годовых. Сколько нужно заплатить за контракт? Как изменится цена, если - 8 % годовых?

Задание 3

Определите наращенную сумму аннуитета. Срок аннуитета - 7 лет. Сумма платежа - 13 млн. руб. и на них начисляется сложный процент в размере 1 % годовых.

Задание 4

Выиграв в лотерею 150 тыс. руб., вы анализируете следующие инвестиционные возможности: а) покупка дачи за 150 тыс. руб.; б) участие в краткосрочном инвестиционном проекте с ожидаемой годовой доходностью в 25 %, требующем вложения 105 тыс. руб. Постройте линию возможностей потребления на следующий год, если банковская процентная ставка 10 % годовых.

Задание 5

Имея на счете 40 000 руб., вы прогнозируете свой доход в течение следующих двух лет в сумме 60 000 руб. и 70 000 руб. соответственно.

Ожидаемая процентная ставка в эти годы будет 8 и 14 %. Минимальные расходы составляют: в текущем году 20 000 руб.; в последующие годы ожидается их прирост с темпом 10 % в год. Рассчитайте потенциально доступную к потреблению сумму в каждом из следующих двух лет.

Задание 6

Участок сдан в аренду на 20 лет. Сумма годового платежа 1000 руб., причем каждые пять лет, происходит индексация величины платежа на 10 %. Рассчитайте текущую цену договора на момент его заключения, если банковская процентная ставка равна 15 %.

Задание 7

К моменту выхода на пенсию, т.е. через 8 лет, г-н N желает иметь на счете $30 000. Для этого он намерен делать ежегодный взнос в банк. Определите размер взноса, если банк предлагает 7 % годовых.

Задание 8

Г-н H в течение шести лет намерен ежегодно вкладывать по $15000 в облигации с купонной доходностью 8 %. Чему равна сумма к получению в конце периода?

Задание 9

Определите коэффициент наращения и наращенную сумму аннуитета. Срок аннуитет - 5 лет. Сумма платежа - 2 млн. руб. Платежи вносятся раз в полгода и на них начисляется сложный процент в размере 20 % годовых.

Задание 10

Определите сумму платежей по аннуитету. Процентная ставка - 10 % годовых. Размер денежного фонда - 1000 млн. руб. Срок создания фонда - 5 лет. Платежи в фонд вносятся один раз в год.

Задание 11

Студентка 3 курса выиграла в лотерею 5 тыс. руб. К окончанию ВУЗА она решила купить норковую шубу, цена которой 20 тыс. руб. 5 тыс. руб. студентка положила на депозит на 2 года из расчета 35 % годовых с поквартальным начислением. Какую сумму должны ежегодно откладывать родители студентки из расчета 40 % годовых, чтобы через два года помочь дочери сделать покупку, если уровень инфляции составляет 50 % в год.

Задание 12

Директор инвестиционной компании в течение 10 лет откладывал ежегодно по 5 тыс. руб. В конце 11 года потратил 60 тыс. руб. В конце 12 года еще 75 тыс. руб. Через 20 лет директор уходит на пенсию, и хотел бы получать по 20 тыс. руб. ежегодно. Сколько он должен откладывать ежегодно с 13 по 20 год, чтобы после выхода на пенсию, в течение 20 лет, иметь ежегодную ренту в сумме 20 тыс. руб., если сложная процентная ставка будет составлять 10 % годовых?

Задание 13

Вам необходимо продать свою квартиру, аналоги которой приносят на протяжении последних трех лет неизменный и стабильный ежегодный доход в размере 30 тыс. руб. и, по мнению аналитиков рынка недвижимости, будут приносить такой же доход на протяжении еще 5 лет. Какова текущая стоимость квартиры, если, по мнению тех же аналитиков рыночная стоимость вашей квартиры через 5 лет будет составлять 1 млн. руб.?

Задание 14

Вы являетесь собственником офисной недвижимости площадью 560 м.кв. Потенциальный арендатор выразил желание оплатить стоимость пятилетней аренды единоразовым платежом из расчета годовой ставки арендной платы 6 руб. за 1 м.кв. и ставки дисконтирования 11 %. Размер платежа, предложенного арендатором, составляет 12 868 800 руб.. Насколько выгодно для вас предложение арендатора, если учесть, что одним из условий типичного платежа на рынке аренды офисных площадей в вашем городе является помесячное внесение арендной платы в конце каждого месяца?

Задание 15

Аренда торговых площадей магазина принесет его владельцу в течение первых 3-х лет ежегодный доход в $70 000, в последующие 5 лет доход составит $98 000 в год. Определить текущую стоимость совокупного дохода, если принять ставку дисконтирования, равной 12 %.

Задание 16

К Вам как к менеджеру по недвижимости бизнес-центра обратилась организация с предложением арендовать офисные площади в количестве 780 м.кв. по установленной вами на основе рыночных данных цене 750 руб. за 1 м.кв. в месяц, сроком на 1 год. При этом потенциальные арендаторы предложили вам следующую схему оплаты: разовый платеж в сумме 45 000 руб., затем, в конце 3-го, 4-го и 5-го месяцев - платежи в размере 585 000 руб., в начале 6-го, 7-го и 8-го месяцев - 580 000 руб. и в конце 12-го месяца - внесение последнего платежа в сумме 2 400 000 руб. Проанализируйте варианты вашего решения, если на рынке аренды офисной недвижимости в вашем городе одним из условий типичного платежа является помесячное внесение арендной платы в конце каждого месяца, а ставка дисконтирования равна 14 %.

Задание 17

Вы взяли в аренду сроком на 5 лет торговые площади в супермаркете, и, в соответствии с условиями договора, имеете право сдавать площади в субаренду. Договорная цена за арендуемые площади - 900 руб. за 1 м.кв. в месяц является фиксированной на весь срок арендного договора, внесение арендной платы - в конце месяца. При этом сразу после подписания и регистрации арендного договора рыночная цена за аренду 1 м.кв. торговых площадей выросла на 15 % и, по мнению аналитиков рынка недвижимости, вновь установившаяся рыночная цена ожидается неизменной в течение ближайших 5 лет. Оцените стоимость ваших арендных прав, если принять ставку дисконтирования, равной 23 %.

Задание 18

Вы уезжаете в командировку сроком на 12 месяцев. При этом вам необходимо обеспечить возможность получения ежемесячного дохода для ваших престарелых родителей. Какую сумму вам необходимо положить в банк под 12 % годовых с ежемесячным начислением процентов, чтобы обеспечить возможность для ваших родителей в конце каждого месяца периода вашего отсутствия получать в банке сумму в 5 000 руб.? />Задание 19

Владелец ресторана предполагает в течение 5 лет получать ежегодный доход от аренды в сумме $60 000. В конце 5-го года ресторан должен быть продан по цене $1 350 000, расходы по продаже составят 5 % от продажной цены. Прогнозирование доходов от аренды имеют большую степень вероятности, чем возможность продажи ресторана за указанную цену. Различия в уровне риска определили выбранные аналитиками ставки дисконта для дохода от аренды и продажи: 10 и 24 % соответственно. Определить текущую стоимость ресторана.

Задание 20

Договор аренды офисного помещения составлен на 5 лет. Арендные платежи вносятся в конце каждого года, причем первые два года - в размере $100 000, следующие три года - в размере $120 000. При ставке дисконтирования в 16 % определите текущую стоимость арендных платежей. Рассмотрите при этом несколько вариантов решения.

Задание 21

В конце каждого месяца вы откладываете на банковский депозит под 11 % годовых сумму в 1 200 руб. для того, чтобы накопить и вернуть деньги вашим родителям, которые два года назад вложили их в виде единоразового взноса в 25 000 руб. в ваше обучение. Сколько времени вам понадобится для того, чтобы рассчитаться с вашими родителями, если принять ставку дисконтирования равной 15 %, а деньги, вложенные родителями за ваше обучение - как беспроцентный кредит?

Задание 22

В начале каждого месяца вы откладываете на счет под 13 % годовых 1000 руб. Спустя 4 месяца банк поднял ставку по депозитам до 15 %, и вы стали откладывать 1500 руб. Какая сумма накопится на вашем вкладе по истечении одиннадцатого месяца?

Задание 23

Определить текущую стоимость обычного аннуитета, выплаты по которому осуществляются ежегодно в течение 7 лет. Элементы аннуитета равны $3 000, ставка дисконтирования - 8 %.

Задание 24

Определить настоящую стоимость аннуитета, состоящего из серии ежемесячных платежей, вносимых в конце каждого месяца в сумме $200 на протяжении 5 лет при номинальной годовой ставке 11 %.

Задание 25

Какова текущая стоимость аннуитетных платежей в размере $300, выплачиваемых в начале года на протяжении 11 лет при ставке дисконтирования, равной 10 %?

Задание 26

Определить текущую стоимость авансового аннуитета, состоящего из серии ежемесячных платежей в $170, осуществляемых на протяжении 5 лет при ставке дисконта 14 %.

Задание 27

Какую сумму вы получите в банке через 9 месяцев, если в начале каждого месяца будете помещать на счет под 14 % годовых сумму в 750 рублей?

Задание 28

Согласно условиям арендного договора арендатор в начале каждого месяца вносит плату за пользование вашей квартиры на ваш банковский счет под 12 % годовых в размере 3 500 рублей. Сможете ли вы через 10 месяцев обменять вашу квартиру на квартиру площадью на 30 м.кв. больше с доплатой, если известно, что стоимость квадратного метра на рынке недвижимости будет составлять через 10 месяцев 750 руб. за 1 м.кв.?

Тестовые задания Метод эквивалентного аннуитета применяется при сравнении инвестиционных проектов:

а) с неординарными денежными потоками

В)              различной продолжительности c) с противоречивыми критериальными оценками с одинаковыми сроками окупаемости Если собственник капитала располагает суммой денежных средств PV, то вложив их в некоторый источник накопления капитала, гарантирующий ему определенный доход R процентов в год, собственник через период T получает доход, величина которого рассчитывается по формуле:

FV

PV =

(I + R)

FV = PV (1 + Д)Г Поток платежей - это:

а) рост инвестированного капитала на величину процентов; распределенные во времени выплаты и поступления; перманентное обесценивание денег;

С)              платеж в конце периода. Вечная рента - это:

а) рента, подлежащая безусловной выплате; рента с выплатой в начале периода; рента с бесконечным числом членов;

С)              рента с неравными членами. Аннуитет - это:

а) частный случай потока платежей, когда члены потока только положительные величины; частный случай потока платежей, когда число равных временных интервалов ограничено; частный случай потока платежей, когда члены равны и имеют одинаковую направленность, а периоды ренты одинаковы.

Вопросы для проверки Охарактеризуйте потоки платежей. Какая стоимость денег является реальной: современная или будущая? Как следует корректировать ожидаемые денежные потоки в связи с инфляцией? Когда процесс инвестирования становится невыгодным? Когда процесс инвестирования становится убыточным? Какой денежный поток называется аннуитетом? Какими способами можно рассчитать аннуитет? Как определить современное и будущее значения аннуитета? Что такое бесконечный аннуитет и как рассчитать его современное значение? В чем отличие текущей стоимости аннуитета от будущей стоимости аннуитета?