Портфель Тобина
Через несколько лет после исследования Марковица другой крупнейший американский экономист Д. Тобин, также впоследствии лауреат Нобелевской премии заметил, что если на рынке есть безрисковые бумаги (к таким можно с некоторой натяжкой отнести государственные ценные бумаги), то решение задачи об оптимальном портфеле сильно упрощается и приобретает замечательное новое качество.В параграфе 6.4.2 был рассмотрен портфель с безрисковым активом и получена связь между ожидаемой доходностью Е{г) и риском а в виде зависимости (6.4.4)
.
Е(гР)~гб _Е(г) = г6+— сг, (6 8 9)
ир
где Гб — безрисковая ставка доходности (эффективность безрисковых бумаг);
?(/gt;) — ожидаемая ставка доходности рискованного актива;
lt;7гУ[о~ — стандартное отклонение доходности рискованного актива;
Б, — дисперсия (вариация) рисковой части портфеля, вариация портфеля равна Уп = (1 - *0)2ИГ и риск портфеля равен ап = (1 - х0)ог.
Если л'о — доля капитала вложенного в безрисковую часть портфеля, а (1 - *о) — безрисковая доля портфеля, то задача Марковица об оптимальном портфеле в этом случае такова:
/ )
Еп =х0гб + '?х1Е1,
(6.8.10)
+ = 1*
I
Изложим решение этой задачи, полученное Тобиным. Пусть ?1 — матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг, X = (х,), V = (у;) — вектор-столбцы долей х капитала, вкладываемых в г-й вид рисковых ценных бумаг и ожидаемых эффективностей этого вида, г = 1,..., п. Пусть также/—«-мерный вектор-столбец, компоненты которого равны 1. Тогда оптимальное значение долей х, есть
Е(гп)-г* ,
х* =а-'(у-г61).(68Ш
(у-гбт-'-(у-гб1)
Здесь О'1 — матрица, обратная к О.. В числителе дроби стоит число, в знаменателе, если выполнить все действия (операция транспонирования первого сомножителя в знаменателе цр указана, но подразумевается), тоже получится число, причем константа, определяемая рынком и не зависящая от инвестора, О 1(У - гс,1) — вектор-столбец размерности п.
Как видим, этот вектор не зависит от эффективности портфеля Е(гр). Таким образом, вектор долей рисковых видов ценных бумаг, пропорциональный этому вектору, также не зависит от Е{гр). Следовательно, структура рисковой части портфеля не зависит от Е(гр). Однако сумма компонент вектора X* зависит от Е(гр), а именно, компоненты вектора X* пропорционально увеличиваются с ростом Е(гр), поэтому доля хо безрисковых вложений будет при этом сокращаться.Выразим риск оптимального портфеля в зависимости от его доходности. Для этого в формулу вариации портфеля Ур = ХтО.Х подставим оптимальный вектор X* из формулы (6.8.11), обозначив знаменатель формулы (6.8.11) через с1. Получим:
уп = —-W\y-r6I)]TQ[Q-\y-r6I)b = —-(1V-r6I)іЙчШ_1(У-r6I)= ,
Окончательно:
JE(rp)-r6)2E(r )-r6
УПTiили°n = —4
Можно также написать выражение эффективности оптимального портфеля от его риска
E(rp) - (r6) = don или E(rp) = гб + don,
что перекликается с результатами параграфа 6.4.2.
Полученный оптимальный портфель называется портфелем Тобина минимального риска, т.е. портфель Тобина — это портфель Марковица при наличии на рынке безрисковых ценных бумаг.
Если на рынке есть безрисковые бумаги, то задача формирования портфеля максимальной эффективности имеет решение, похожее на решение Тобина в предыдущей постановке.
Формула
В матрично-векторной форме задача формирования портфеля максимальной эффективности при наличии на рынке безрисковых ценных бумаг такова:
Х()Гб + VX —» max,
XQX = ап2,(6.8.13)
Х0 + 1Х= 1.
Для нахождения условного максимума составим функцию Лагранжа
L — А'о/"б + УХ + Ло (XQX - lt;Jfj2) + Я[(л'о + IX — 1).
Находим частные производные L по X и по хо и приравниваем их к нулю
Формула
Формула
_q получаем
Выразим из второго уравнения Л, и подставим в первое, получим V - гб1 = - Л0?}Х, так что
М-Юа-1
Ас
Для нахождения Ло подставим найденное X в равенство
XQX= оп2, получим
Формула
отсюда
Г
\
1 V
Г (V-r6I)^\V-r6I) = a2n
оf i Л2 ^-2
_an
К
Обозначая -Xr = {y-r6l)amp; xiy~r6l), получаем
d2
или —= и окончательно X* = ^~(V-r6I), т.е.
формулу Aq d d(6.8.12).
Опять видно, что структура рисковой части оптимального в этом смысле портфеля также не зависит от ограничения на величину риска.
Будем называть полученный оптимальный портфель портфелем Тобина максимальной эффективности.
Еще по теме Портфель Тобина:
- Модель Баумоля—Тобина
- Модель Тобина — Шарпа — Линтнера (ТШЛ)
- 8-3. Спрос на деньги Модель Баумоля—Тобина
- Е. С. Шишкина, г. Самара ВКЛАД ДЖ. ТОБИНА В СТАБИЛИЗАЦИЮ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
- 4.6. Определение оптимального портфеля при возможности формирования заемных и кредитных портфелей
- 6.4.6. Основные рекомендации по формированию портфеля ценных бумаг в рамках «классической» теории оптимального портфеля»
- 5.2.1.3. Оценка величины не хеджируемого риска портфеля. Определение коэффициента детерминации портфеля с помощью программы Excel
- §4. О разложимости исходного портфеля на элементарные (простые) портфели
- 1.3. Портфель, состоящий из актива без риска и рискованного актива. Кредитный и заемный портфели
- 5.3.4. Свойства оптимальных комбинированных портфелей
- 1.2.8. Доминирующий портфель
- Риск инвестиционного портфеля
- ХЕДЖИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ОБЛИГАЦИЙ