<<
>>

             Портфель Тобина

 

Через несколько лет после исследования Марковица другой крупнейший американский экономист Д. Тобин, также впоследствии лауреат Нобелевской премии заметил, что если на рынке есть безрисковые бумаги (к таким можно с некоторой натяжкой отнести государственные ценные бумаги), то решение задачи об оптимальном портфеле сильно упрощается и приобретает замечательное новое качество.В параграфе 6.4.2 был рассмотрен портфель с безрисковым активом и получена связь между ожидаемой доходностью Е{г) и риском а в виде зависимости (6.4.4)

.

Е(гР)~гб _

Е(г) = г6+—                            сг,              (6 8 9)

ир

где Гб — безрисковая ставка доходности (эффективность безрисковых бумаг);

?(/gt;) — ожидаемая ставка доходности рискованного актива;

lt;7гУ[о~ — стандартное отклонение доходности рискованного актива;

Б, — дисперсия (вариация) рисковой части портфеля, вариация портфеля равна Уп = (1 - *0)2ИГ и риск портфеля равен ап = (1 - х0)ог.

Если л'о — доля капитала вложенного в безрисковую часть портфеля, а (1 - *о) — безрисковая доля портфеля, то задача Марковица об оптимальном портфеле в этом случае такова:

/ )

Еп =х0гб + '?х1Е1,

(6.8.10)

+ = 1*

I

Изложим решение этой задачи, полученное Тобиным. Пусть ?1 — матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг, X = (х,), V = (у;) — вектор-столбцы долей х капитала, вкладываемых в г-й вид рисковых ценных бумаг и ожидаемых эффективностей этого вида, г = 1,..., п. Пусть также/—«-мерный вектор-столбец, компоненты которого равны 1. Тогда оптимальное значение долей х, есть

Е(гп)-г*              ,

х* =а-'(у-г61).(68Ш

(у-гбт-'-(у-гб1)

Здесь О'1 — матрица, обратная к О.. В числителе дроби стоит число, в знаменателе, если выполнить все действия (операция транспонирования первого сомножителя в знаменателе цр указана, но подразумевается), тоже получится число, причем константа, определяемая рынком и не зависящая от инвестора, О 1(У - гс,1) — вектор-столбец размерности п.

Как видим, этот вектор не зависит от эффективности портфеля Е(гр). Таким образом, вектор долей рисковых видов ценных бумаг, пропорциональный этому вектору, также не зависит от Е{гр). Следовательно, структура рисковой части портфеля не зависит от Е(гр). Однако сумма компонент вектора X* зависит от Е(гр), а именно, компоненты вектора X* пропорционально увеличиваются с ростом Е(гр), поэтому доля хо безрисковых вложений будет при этом сокращаться.

Выразим риск оптимального портфеля в зависимости от его доходности. Для этого в формулу вариации портфеля Ур = ХтО.Х подставим оптимальный вектор X* из формулы (6.8.11), обозначив знаменатель формулы (6.8.11) через с1. Получим:

уп = —-W\y-r6I)]TQ[Q-\y-r6I)b = —-(1V-r6I)іЙчШ_1(У-r6I)=              ,

Окончательно:

JE(rp)-r6)2E(r )-r6

УПTiили°n = —4

Можно также написать выражение эффективности оптимального портфеля от его риска

E(rp) - (r6) = don или E(rp) = гб + don,

что перекликается с результатами параграфа 6.4.2.

Полученный оптимальный портфель называется портфелем Тобина минимального риска, т.е. портфель Тобина — это портфель Марковица при наличии на рынке безрисковых ценных бумаг.

Если на рынке есть безрисковые бумаги, то задача формирования портфеля максимальной эффективности имеет решение, похожее на решение Тобина в предыдущей постановке.

Формула

Формула

В матрично-векторной форме задача формирования портфеля максимальной эффективности при наличии на рынке безрисковых ценных бумаг такова:

Х()Гб + VX —» max,

XQX = ап2,(6.8.13)

Х0 + 1Х= 1.

Для нахождения условного максимума составим функцию Лагранжа

L — А'о/"б + УХ + Ло (XQX - lt;Jfj2) + Я[(л'о + IX — 1).

Находим частные производные L по X и по хо и приравниваем их к нулю

 

Формула

Формула

 

Формула

Формула

_q получаем

Выразим из второго уравнения Л, и подставим в первое, получим V - гб1 = - Л0?}Х, так что

М-Юа-1

Ас

Для нахождения Ло подставим найденное X в равенство

XQX= оп2, получим

 

Формула

Формула

отсюда

Г

\

1 V

Г (V-r6I)^\V-r6I) = a2n

оf i Л2 ^-2

_an

К

Обозначая -Xr = {y-r6l)amp; xiy~r6l), получаем

d2

или —= и окончательно X* = ^~(V-r6I), т.е.

формулу Aq d              d

(6.8.12).

Опять видно, что структура рисковой части оптимального в этом смысле портфеля также не зависит от ограничения на величину риска.

Будем называть полученный оптимальный портфель портфелем Тобина максимальной эффективности. 

<< | >>
Источник: Шапкин А. С.. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций: Монография. — М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°». — 544 с.: ил.. 2003

Еще по теме              Портфель Тобина:

  1. Модель Баумоля—Тобина
  2.              Модель Тобина — Шарпа — Линтнера (ТШЛ)
  3. 8-3. Спрос на деньги Модель Баумоля—Тобина
  4. Е. С. Шишкина, г. Самара ВКЛАД ДЖ. ТОБИНА В СТАБИЛИЗАЦИЮ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
  5. 4.6. Определение оптимального портфеля при возможности формирования заемных и кредитных портфелей
  6. 6.4.6. Основные рекомендации по формированию портфеля ценных бумаг в рамках «классической» теории оптимального портфеля»
  7. 5.2.1.3. Оценка величины не хеджируемого риска портфеля. Определение коэффициента детерминации портфеля с помощью программы Excel
  8. §4. О разложимости исходного портфеля на элементарные (простые) портфели
  9. 1.3. Портфель, состоящий из актива без риска и рискованного актива. Кредитный и заемный портфели
  10. 5.3.4. Свойства оптимальных комбинированных портфелей
  11. 1.2.8. Доминирующий портфель
  12. Риск инвестиционного портфеля
  13. ХЕДЖИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ОБЛИГАЦИЙ