Портфель из совокупности безрискового актива с рискованным активом
Предположим, что вы решили инвестировать 10000 у.е. Перед вами безрисковый актив с процентной ставкой 0,08 годовых и рискованный актив с ожидаемой ставкой доходности 0,14 годовых и стандартным отклонениям 0,02. Какую часть от 10000 у.е. вам следует вложить в рискованный актив?
Все доступные комбинации риска и доходности показаны в табл. 6.2 и на рис. 6.7.
Та б л и ца 6.2 Ожидаемая доходность и стандартное отклонение
Вариант портфеля | Доля портфеля, инвестированная в рисковой актив, % | Доля портфеля, инвестированная в безрисковой актив, % | Ожидаемая ставка доходности Е(г) | Стандартное отклонение а |
А | 0 | 100 | 0,08 | 0,00 |
В | 30 | 70 | 0,098 | 0,06 |
С | 50 | 50 | 0,110 | 0,10 |
?gt; | 70 | 30 | 0,122 | 0,14 |
Е | 100 | 0 | 0,14 | 0,20 |
Ожидаемая ставка доходности определяется по формуле (6.2.1), а стандартное отклонение равно:
а2 = Р, (г, - Е(г))2 + Р2 (г2 - Е(г))2 +...+ Рп (г„ - Е(г))2 =
= ^.(г,-Е(г))2. (6А1)
(=1
Однако, если в одном портфеле объединены рискованный и безрисковый активы, то стандартное отклонение доходности такого портфеля равно стандартному отклонению доходности рискового актива ир, умноженному на его вес V в портфеле.
Тогда получим формулу стандартного отклонения доходности портфеля в видео= ср ¦ V.(6.4.2)
Для нашего примера а- 0,2 • V.
На основании двух последних столбцов табл. 6.2. строим график зависимости между риском а и ожидаемой доходностью Е(г) (рис. 6.7).
Точке А на рис. 6.7 соответствует ситуация, когда вы вкладываете все свои деньги в безрисковый актив, а точке Е — ситуация, когда вы инвестируете все свои деньги в рискованный актив. Линия АЕ представляет набор (портфель) свободно доступных вам вариантов из рискованного и безрискового актива. Так портфель С наполовину состоит из рискованного актива, наполовину — из безрискового.
Рис. 6.7. Соотношение между риском и ожидаемой доходностью инвестиционного портфеля
Если мы хотим определить состав портфеля, для которого ожидаемая ставка доходности равна 0,12, то судя по рис. 6.7 такая точка лежит между точками С и ?gt;, но чтобы точно ответить на этот вопрос нужно записать и решить более общую задачу.
Пусть V обозначает долю от Р у.е., которая вложена в рисковой актив. Оставшаяся часть будет равна (1 - V) и она вложена в безрисковой актив. Ожидаемая ставка доходности портфеля Е(г) определится как
Е(г) = УЕ(гр) + (1 - У)гб = гб+ У(Е(гр) - гб), (6.4.3)
где Е(гр) — обозначает ожидаемую ставку доходности рискованного актива, а ге— безрисковая ставка доходности.Смысл уравнения (6.4.3) заключается в том, что базовой ставкой доходности для любого портфеля является безрисковая ставка доходности (0,08 в нашем примере). Кроме того, предполагается, что инвестиции в портфель принесут дополнительную премию за риск, которая зависит от премии за риск по рискованному активу (Е(гр) — гб) (0,06 в нашем случае) и от доли портфеля, инвестированной в рискованный актив и обозначенной V.
Чтобы определить состав портфеля, соответствующий ожидаемой ставке доходности в 0,12, надо подставить нужные значения в уравнение (6.4.3) и вычислить V.
0,12 = 0,08 + 0,06У; V = °^о^°8 = 0,667.
Таким образом, портфель на 66,7% должен состоять из рискованного актива, и на 33,3% — из безрискового.
Далее определяем связь между стандартным отклонением и долей инвестиций, приходящихся на рискованный актив. В формулу (6.4.2) подставляем наши данные ар- 0,2 и V - 0,667 и находим стандартное отклонение доходности портфеля:
а = арУ = 0,2 ¦ 0,667 = 0,1334.
Из (6.4.2) находим V и подставляем его в выражение (6.4.3), получаем
Е(гв)—ггgt;
Е(г) = г6+ ^—6 -с, (6.4.4)
°р
т.е. нашли связь между ожидаемой доходностью и риском в виде прямой линии.
Для нашего примера
Е(г) = 0,08 + 0,30а.
Угловой коэффициент этой прямой равен 0,30, а угол наклона, равный примерно 16,7°, характеризует дополнительную ожи-даемую доходность, предлагаемую рынком для каждой дополнительной единицы риска, которую согласен нести инвестор.
Рассмотрим предыдущий пример, дополнительно включив в него еще один рискованный актив 2, который имеет ожидаемую ставку доходности 0,098 в год и стандартное отклонение 0,10. На рис. 6.7 это точка К
Нужно получить эффективный портфель, под которым мы понимаем такой портфель, который предлагает инвестору максимально возможный ожидаемый уровень доходности при заданном уровне риска.
Инвестор, который хочет получить ожидаемую ставку доходности в 0,098 годовых, может добиться своей цели, вложив всю сумму в рискованный актив 2. Тогда он окажется в ситуации, описываемой точкой Б. Но при этом портфель инвестора неэффективен, потому что в точке В инвестор может получить такую же ожидаемую ставку доходности (0,098 в год) при меньшем значении стандартного отклонения.
Из табл. 6.2 видно, что в точке В стандартное отклонение составляет только 0,06. Это объясняется тем, что 30% инвестиций данного портфеля вложены в рискованный актив 1, а 70% — в безрисковый актив.
Действительно, не желающий рисковать инвестор выберет на прямой риск-доходность, соединяющей точки В и Е, любую точку — только не точку Б. Любая из этих точек соответствует вполне приемлемой ситуации, когда некоторое количество рискованного актива 1 уравновешивается безрисковым активом. Например, портфель в точке С имеет стандартное отклонение, равное стандартному отклонению рискованного актива 2 (сг = 0,10), но его ожидаемая ставка доходности составляет 0,110 годовых, а не 0,098. Из табл. 6.2, нам известно, что такое соотношение соответствует портфелю, который на 50% состоит из рискованного актива 1 и на 50% из безрискового актива.С помощью уравнений (6.4.3) и (6.4.2) можно определить состав других эффективных портфелей, которые описываются точками между В и Си имеют, следовательно, более высокую ожидаемую ставку доходности и меньшее значение стандартного отклонения в сравнении с рискованным активом 2. Рассмотрим, например, портфель, который на 62,5% состоит из рискованного актива 1 и на 37,5% — безрискового актива. Его ожидаемая ставка доходности равна 0,1175 в год, а стандартное отклонение составляет 0,125.
Еще по теме Портфель из совокупности безрискового актива с рискованным активом:
- Оптимальный портфель, составленный из безрисковых активов и рискованных активов
- 1.3. Портфель, состоящий из актива без риска и рискованного актива. Кредитный и заемный портфели
- 2.1. Эффективная граница портфелей, состоящих из актива без риска и рискованного актива
- ПОРТФЕЛЬ ИЗ РИСКОВАННЫХ АКТИВОВ
- Глава 41 ПОРТФЕЛЬ ИЗ РИСКОВАННЫХ АКТИВОВ
- Портфели с множеством рискованных активов
- 5.3. ФОРМИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЕЙ АКТИВОВ ПРИ ВОЗМОЖНОСТИ БЕЗРИСКОВОГО КРЕДИТОВАНИЯ И ЗАИМСТВОВАНИЯ
- Эффективный портфель, составленный из двух рискованных активов
- 5.3.1. Понятие безрискового актива
- 6.2.2. Модель САРМ по версии Блэка при отсутствии безрискового актива
- 5.4. Спрос на рискованные активы
- Ставки доходности рискованных активов
- 1.2.5.2. Риск портфеля из двух активов с корреляцией доходностей -1
- 1.2.6. Риск портфеля, состоящего из нескольких активов
- Теория портфеля и модель оценки ДОХОДНОСТИ финансовых активов