Показатель доходности ценных бумаг

1>/

F = i=L_ (3.26)

п

где г = 1,2,...тг; тг - число измерений (наблюдений) доходности ценных бумаг.

Если известно прогнозное распределение вероятностей величин доходности, то будущее (прогнозное) значение доходности ценной бумаги может быть определено как математическое ожидание (среднее значение, центр распределения) доходности:

я

r=M(r) = ? ггр, (/;.), (3.27)

i=i

где (r,j_ вероятность такого события на рынке, при котором реализуется доходность данной ценной бумаги, равная величине.

Поясним данную процедуру следующим примером, в котором для определенности в качестве ценных бумаг выбраны акции.

Таблица 3.2

Расчет прогнозной доходности акций 1 Акции компании А Акции компании В Вероятность Доходность, % Вероятность Доходность, % 0,25 0 0,1 -5 0,50 10 0,6 10 0,25 20 0,3 15 1.0 F,= 10% 1,0 Гв= 10% Рассчитаем ожидаемую доходность акций компании А:

гА=гх-Р\+г2Р1+гъРг= 0%' +10% • 0,5 + 20% ? 0,25 = 5% + 5% = 10%'

То же повторим для акций В: гв = -5% • 0,1 +10% -0,6 + 15% • 0,3 = -0,5% + 6% + 4,5% = 10%.

Для наглядности отобразим результаты расчетов на диаграммах (рис. 3' и рис. 3.8). Р(г) 0,6 - 0,5 -0,4 -0,3 "0,2" / \ А Ч 0,1 -5 3 5 1 Ь 15 20 г, % Р(г) 0,6-

0,4-

0,2.

10

* В V

т5 20 г, %

Рис. 3.7. Связь доходности и вероятности акции компании А

Рис. 3.8. Связь доходности и вероятности акции компании В

Ожидаемая доходность акций обеих компаний оказалась одинаковой и равной 10%.

Приведенный пример в значительной мере является условным, поскольку вариантов значений доходности акций на реальном фондовом рынке бесконечное число (в частности, отметим, что цена акции может изменяться, принимать новые значения). Следствием этого является то, что столбчатая диаграмма трансформируется в непрерывную кривую - кривую плотности распределения вероятностей значений доходности (рис.

Здесь вероятность, доходность.

Из этой формулы следует, что размерность плотности вероятности есть отношение размерностей вероятности и доходности.

Рис. 3.9. Характер функции плотности распределения вероятностей значений доходности ценных бумаг компаний АиВ

На рис 3.9 условно (качественно) показаны плотности распределения вероятностей значений доходности ценных бумаг компаний АиВ. Основное свойство функции (р (г) заключается в том, что соответствующая пло-

щадь под кривой f (г) в координатах (г, ср) равна вероятности достоверного события, т.е. единице:

р = jq>(r)dr = 1.

При переходе от дискретного распределения к непрерывному изменяется и вид формулы для расчета средней доходности ценный бумаг. Математическое ожидание величины доходности в этом случае есть:

г = M(r) = | г ? cp(r)dr. (3.28)

-00

Видно, что в рассматриваемом случае (рис. 3.9) ценные бумаги В имеют более узкое и высокое распределение, чем ценные бумаги А. Это говорит о том, что возможные значения величин доходности ценных бумаг В «теснее» расположены к среднему значению, их разброс меньше, т.е. действительное (реальное, рыночное) значение доходности этих бумаг будет ближе к средневзвешенному значению доходности. Таким образом, очевидно, что риск вложения в ценные бумаги В меньше, чем соответствующий риск вложения в ценные бумаги А, плотность распределения которых шире.

Обычно принимают, что для активного развитого фондового рынка справедливо так называемое нормальное (гауссово) распределение плотности вероятности доходности:

2ст2

где сг - среднеквадратичное (стандартное) отклонение текущей величины доходности от средней (ожидаемой) величины доходности.