Эффективный портфель, составленный из двух рискованных активов

Пусть портфель составлен из двух видов рискованных активов, в котором V — это доля рискованного актива 1, а (1 - V) — это доля рискованного актива 2. Тогда среднее значение ставки доходности такого портфеля будет:

Е(г) = УЕ(п) + (1 - У)Е(г2).              (6.4.5)

Формула дисперсии из (6.1.4) для двух активов запишется как о2= У2о2 + (1 - У)2а 2 + 2 У(1 - У)рlt;3]С2-(6.4.6)

Здесь ожидаемые ставки доходности рискованных активов обозначены соответственно через Е(гх) и Е(г2), а через р обозначен коэффициент корреляции.

Для рискованного актива 1: среднее значение 0,14; стандартное отклонение 0,20; а для рискованного актива 2: среднее значе-

Таблица 6.3

Соотношение риск-доходность для портфелей с двумя рискованными активами

ние 0,12; стандартное отклонение 0,16. Коэффициент корреляции для обоих активов равен нулю, т.е.

В зависимости от доли средств актива 1 и актива 2 по формуле (6.4.5) и (6.4.6) подсчитаны значения Е(г) и с и записаны в двух последних столбцах табл. 6.3.

Например, для точки В

Е(г) = 0,2 • 0,14 + 0,8 • 0,12 = 0,124,

ст2 = 0,22 • 0,22 + 0,82 • 0,162 = 0,01798; 0 = 0,134.

По точкам Е{г) и а, взятым из табл. 6.3, построена кривая соотношения риск — доходность для двух рискованных активов (рис. 6.8).

Рис. 6.8. Соотношение между риском и ожидаемой доходностью для рис,крвых активов

Дадим анализ кривой рис. 6.8. Берем точку А и перемещаем часть наших капиталов из рискованного актива 2 в рискованный актив 1. При этом наблюдается не только повышение средней ставки доходности, но и снижение стандартного отклонения. Оно снижается до точки Д а затем вновь повышается. Найдем координаты точки Д соответствующей минимальному значению а Берем функцию (6.4.6) и считаем а-о(у), а а\, и р постоянными. Тогда

с1а __ 2о\\-2{2-+2ра1а2-4ра1а2у 2^1 V2аI + (1 - у)сг2 + 2у(1 - у)ра,ст2

Приравнивая производную нулю, находим точку

У_а2~ Ра\а2

о2+о\-2рохог

Исследования показывают, что в этой точке кривая а - о(г) имеет минимум и, следовательно,

V™» = ———Р-(Т-2•(6.4.7)

ст, + о2 -2раха2

По этой формуле получаем

у. =              0Д6--0              = 0 39

т“ 0,22 +0Д62 -О

т.е. портфель с минимальной дисперсией состоит из 39% активов

              и 61% активов 2.