<<
>>

6.7.4. Сравнение методов оптимизации портфелей

  Исследуем портфель составленный в предыдущем п. 6.7.3 с помощью симплексного метода изложенного в п. 6.6.

Для выбранных доходностей ?' = 0,14и?, = 0,18 были составлены оптимальные портфели (табл.

6.10)

Исходя из формулы (6.5.3) определим коэффициенты /Здля акций Т, I, Ь.

При Е = 0,14 акции Т, I, Ь, Б входили в состав оптимального портфеля в долях У\ = 0,124, Уг = 0,127, Уз = 0,384, У4 = 0,365 при этом сгт;п^ 0,2436.

Тогда ковариация между доходностью у-й ценной бумаги и доходностью рыночного портфеля определяется как

= УП =

(а\П’а2П

аЗЛ’а4п)

=

( 0,124'

( 0,1

-0,0237

0,01

0,127

-0,0237

0,25

0,079

0

0,384

0,01

0,079

0,4

0

0,365

V /

0

\

0

0

0

У

= (0,01323; 0,05915; 0,1649; 0). Коэффициенты «бета» равны:

А= ад»»

(0,2436)

0°’1649 =2,779,/34=0. (0,2436)2

Формулируем задачу линейного программирования: максимизировать функцию

г = 0,095 К! + 0,13К2 + 0,21 У3 + 0,085 К4

при ограничениях

0,223У, +0,997У2 +2,779У3 lt;рп, У,+У2+У3+У4=1,

0lt; V, lt;1,

(6.7.23)

0lt;У2lt;1, 0lt;У3 lt;1,

0lt;У4 lt;1.

Здесь величина «бета» портфеля обозначена через Рп- При уровне доходности Е = 0,18 акции компаний Т, I, Ь, 5 входят в портфель в долях

У\ - 0,128, К2 = 0,191, У3 = 0,681, У4 = 0 при этом ст(п = 0,4615.

Коэффициенты «бета» в этом случае равны:

/3, = 0,071; 0г = 0,4625; /З3 = 1,356; amp; = 0.

Аналогично (6.7.23) запишем задачу линейного программирования

г = 0,095^1 + 0,13Уо + 0,21 Уз + 0,085^4 —gt; шах при ограничениях

0,07IV, + 0,462У, + 1,356У, lt;рп, У,+У2+У3+У4 =1,

0lt;Уі lt;1,

(6.7.24)

0lt;У2lt;1,

0lt;У3 lt;1,

0lt;У4 lt;1.

Результаты решения задач (6.7.23) и (6.7.24) для различных Рп сведены в табл. 6.11. Решения проведены с использованием стандартных программ на ЭВМ.

Из табл. 6.11 видно, что с ростом риска гтт растет прибыль и с ростом «бета» портфеля растет величина максимального дохода Етах.

Гтт

Рп

К,

У2

Уз

V4

2 — ?тих

0,2436

0,8

0,773

0

0,227

0

0,128

1,0

0,695

0

0,305

0

0,132

1,3

0,578

0

0,422

0

0,144

0,4615

1,05

0,238

0

0,762

0

0,183

1,3

0,044

0

0,956

0

0,205

1,7

0

0

1,0

0

0,21

Далее рассмотрим пример составления оптимального портфеля ценных бумаг с применением ЦМРК (САРМ).

Ранее было отмечено, что существует бесконечное число портфелей, доступных для инвестора, но в то же время инвестор должен рассматривать только те портфели, которые принадлежат эффективному множеству. Однако эффективное множество Марковица представляет собой изогнутую линию, что предполагает наличие бесконечного числа точек на ней. Это означает, что существует бесконечное количество эффективных портфелей. Как может быть использован подход Марковица, если инвестору необходимо определить структуру каждого из бесконечного числа эффективных портфелей. Марковиц видел эти потенциальные проблемы и внес основной вклад в их преодоление, представив метод их решения.

Он включает в себя алгоритм квадратического программирования, известный как метод критических линий.

Рассмотрим портфель из четырех акций (табл. 6.9), для которых известны коэффициенты линейной корреляции и ковариационная матрица ?2. Прежде всего составляем портфель из трех рискованных акций компаний Т, I, Ь.

Для нахождения эффективного множества определяем количество «угловых» портфелей, которые связаны с ценными бумагами и полностью описывают эффективное множество. «Угловой» портфель — это эффективный портфель, обладающий следующими свойствами: любая комбинация двух смежных «угловых» портфелей представляет из себя третий портфель, лежащий в эффективном множестве между двумя «угловыми» портфелями. Данное Утверждение можно проиллюстрировать примером.

Алгоритм начинается с определения портфеля с наивысшей ожидаемой доходностью. Данный портфель соотносится с точкой Ь на рис. 6.22 и является эффективным портфелем. Он состоит только из одной ценной бумаги с наибольшей ожидаемой доходностью. То есть, если инвестор хочет приобрести данный портфель, все, что он должен сделать, это купить акции компании с наивысшей ожидаемой доходностью. Любой другой портфель будет иметь меньшую ожидаемую доходность, так как в конечном счете часть фондов инвестора будет помещена в акции других компаний, имеющих ожидаемую доходность ниже Ь.

Например, компанией, акции которой наиболее доходны, является компания Ь. Соответствующим эффективным портфе-

«Угловые» портфели

«Угловые» портфели

  

лем будет первый «угловой» портфель, определенный алгоритмом. Его состав описывается следующим вектором весов, обозначенным ^(1)

У( 1) =

0,00 0,00

1,00

Его ожидаемая доходность и стандартное отклонение связаны только с ожидаемой доходностью и стандартным отклонением акций Ь и соответственно составляют 21% и (ОД)'7', или 63,24%.

На рис. 6.22 данный «угловой» портфель обозначен как П (1).

Составляем «угловой» портфель из акций / и Ь. Его состав описываем следующим вектором весов:

У(2) =

по формуле (6.4.7) находим Уг - 0,652, Уз = 0,348. Ожидаемая доходность Е = 0,13 • 0,652 + 0,21 • 0,348 = 0,158, а стандартное отклонение по формуле (6.4.6) равно 0,436, или 43,6%. На рис. 6.22 данный портфель обозначен как П (2).

Говоря о первом и втором «угловых» портфелях, важно отметить, что они являются смежными эффективными портфелями и любой эффективный портфель, лежащий в эффективном множестве между двумя данными, будет представлять собой просто комбинацию их составов.

Определяем третий «угловой» портфель, который имеет следующий состав:

У(3) =

'0,693' 0,307 , 0

состоящий из акций Ти I, для него Ер = 0,106, ар = 0,248. На рис.

              это точка П (3).

«Угловой» портфель, состоящий из акций Ти Ь имеет следующий весовой состав:

У(4) =

0,812 О ОД 88

Для портфеля П (4) находим, что Ер = 0,117 и ар = 0,288.

Поскольку второй и четвертый «угловые» портфели являются смежными, то любая их комбинация является эффективным портфелем, лежащим в эффективном множестве между двумя данными.

Изображение графика данного эффективного множества является простой задачей для компьютера, обладающего высокими графическими возможностями. Он может определить состав и соответственно ожидаемые доходности и стандартные отклонения каждого из, например 20, эффективных портфелей, равномерно распределенных между первым и вторым «угловыми» портфелями. Затем он последовательно соединит отрезками точки, соответствующие данным портфелям. Это придаст графику вид изогнутой линии, показанной на рис. 6.22, так как данные портфели расположены близко друг к другу.

Таблица 6.12 «Угловые» портфели в случае трехрисковых акций

«Угловые»

Веса

«Угловые» портфели

портфели

Т

/

?

Ер

чР

II

П(1)

0

0

1

0,21

0,632

П (2)

0

0,652

0,348

0,158

0,436

П(3)

0,693

0,307

0

0,106

0,248

П (4)

0,812

0

0,188

0,117

0,280

Продолжая в том же духе, можно построить, например, 20 эффективных портфелей между вторым и четвертым «угловыми» портфелями, а затем соответствующий сегмент эффективного множества.

После того, как данная процедура будет выполнена для следующего промежутка между четвертым и третьим «угловыми» портфелями, график будет полностью построен.

Однако эту процедуру можно значительно упростить. Нами доказано, что верхняя ветвь эффективного множества представляет собой параболу вида

¦

Ер = аа2р + Ьор + с.

Проведем параболу через три точки П (1) (Ер\,Г\), П (2) (Ер2',г2) и П (3) (Еру,гз), координаты которых берем из табл. 6.12. Нетрудно показать, что параметры а, Ь, с определяются по формулам:

^ _ (?р)-?р2)(п-г0-(?р1-?рз)('1-'2)

(^-^Хп-ТзХгг-Гз)

ъ . ФРх ЛзХ^ — *2 ) ~(Ер[ -Ер1)^-г1)

(Г1 _г2)(г1 -гзХ*2 -гз)

(ггЕР\ -г\Ер1)Ф\-гъ)~(ЪЕр\ -г\ЕРъ)Ф\~гг) (п-'гХп-'зХ'г-'з)

Подставляя сюда координаты точек П (1), П (2) и П (3), получим, что а = -0,02940; Ъ = 0,29671 и с - 0,03423. Тогда рыночная эффективная граница описывается уравнением:

Ер = -0,02940сг2 + 0,29671ор + 0,03423.

Если подставить сюда координаты точки П (4) из табл. 6.12, то получим тождество. Это наглядно говорит о том, что рыночная эффективная граница описывается параболой.

После того, как были определены структура и местоположение эффективного множества, можно определить состав оптимального портфеля инвестора.

Процедура определения состава оптимального портфеля начинается с графического определения инвестором уровня его ожидаемой доходности. То есть из графика инвестор может определить, где располагается О*, а затем с помощью линейки отметить его ожидаемую доходность. Для этого следует провести из точки О линию, перпендикулярную вертикальной оси (с помощью компьютера это можно сделать значительно более точно).

Проведя данную операцию, инвестор теперь может определить два «угловых» портфеля с ожидаемыми доходностями, «окружающими» данный уровень. То есть инвестор может определить «уг

ловой» портфель, который имеет ближайшую ожидаемую доходность, большую, чем у данного портфеля (ближайший «угловой» портфель, расположенный «выше» О), и «угловой» портфель с ближайшей, меньшей ожидаемой доходностью (ближайший «угловой» портфель, расположенный «ниже» О).

Рассмотрим рисковой портфель с Ер = 0,158. На графике рис.

              ему соответствует ср = 0,436.

Из формулы (6.4.3) имеем:

Е,7 = 0,158- F+(l-V)' 0,085.

Выбирая доходность портфеля, равной Еп = 0,15, получим 0,15 = 0,158 ¦ V+(l-V)-0,085 или V- 0,89.

Это означает, что оптимальный портфель состоит из 0,11, или 11% безрисковых акций и 0,89 или 89% рисковых акций.

Далее нужно определить состав рисковой части оптимального портфеля V\, V2, V3.Для этого составляем систему

0,1 • Fj2+ 0,25 F22 + 0,4F32-0,0474F,F2 + 0,02F,F3 + 0,158F2F3 = 0,19,

              095F, + 0,13F2 + 0,21F3 = 0,158,

F1+F2+F3=l.

Решение этой системы равно: Vt= 0,0015, V2 = 0,585, V3 - 0,4135. Следовательно, состав рисковой части оптимального портфеля определим как

( 0,0015^

( 0,001)

0,9-

0,585

=

0,521

0,4135

ч gt;

0,368

^ /

Таким образом, оптимальный портфель состоит на 11% из безрисковых акций (сберегательный счет), 0,1% акций Т, 52,1% акций / и 36,8% акций I., при этом его доходность Еп = 0,15 или 15%, а риск lt;7Я = 0,436, или 43,6%.

Так если инвестор имеет один млн у.е. и он захотел вложить их в акции, то для получения дохода в 14% он должен вложить в сберегательный счет 110000 у.е., купить акций Т на 1000 у.е., акций„/купить на 521000 у.е. и приобрести акций ? на 368000 у.е.

Далее выберем на графике рис. 6.22 точку, соответствующую Ер - 0,117 и ср = 0,28. Если выбран портфель с требуемой доходностью Еп =0,14, или 14%, то по формуле (6.4.5) найдем, что безрисковая доля портфеля составляет 0,179, или 17,9%, а рисковая — 0,821, или 82,1%. Производя расчеты как и в предыдущем примере, получим два оптимальных портфеля акций

Т

(0,390^

С 0,630

1

0,394

и

0,049

Ь

0,037

0,142

5

0,179

V У

0,179

V

Сравним между собою результаты составления оптимальных портфелей в этом параграфе. В п. 6.7.3 рассмотрено формирование портфеля из четырех акций Т, I, Ь, Б и выводы вычислений представлены в виде табл. 6.10 и графика рис. 6.21. Оптимальный портфель составлялся, исходя из минимального риска при требуемой доходности, методом квадратического программирования (метод Лагранжа).

Затем та же задача решалась методом линейного программирования (симплексным методом), исходя из максимальной прибыли при заданном риске. Результаты вычислений представлены в табл. 6.11 и они в значительной степени зависят от коэффициента «бета».

Если взять гт1П = 0,2436 в методе Лагранжа, то доходность портфеля Еп = 0,14, а если взят риск г = 0,2436 в симплексном методе, то в зависимости от коэффициентов «бета» максимальная доходность Етах равна 0,128, 0,132 и 0,144; для гт;п = 0,4615 имеем Еп = 0,18, а при допустимом риске г = 0,4615 максимальный доход равен 0,183, 0,205, 0,21. Эти сопоставления говорят об удовлетворительном совпадении оптимальных портфелей, составленных по методу Лагранжа и симплексному методу. Хотя, естественно, необходимы исследования на ЭВМ для различных видов портфелей.

Портфель из тех же самых акций составлялся и с применением ЦМРК (САРМ). Результаты также хорошо согласуются с двумя предыдущими методами, а доходность по ЦМРК оказывается ниже на 5 — 15% при тех же уровнях риска.

<< | >>
Источник: Шапкин А. С.. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций: Монография. — М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°». — 544 с.: ил.. 2003

Еще по теме 6.7.4. Сравнение методов оптимизации портфелей:

  1. Тема 4. Методы оптимизации инвестиционного портфеля
  2. 3.3.3 Метод последовательной оптимизации портфеля проектов УР
  3. 4.1. Метод оптимизации инвестиционного портфеля по модели Г. Марковица
  4. 7.1. Метод оптимизации инвестиционного портфеля по модели Г. Марковица
  5. Модели и методы оптимизации портфеля венчурных инновационных проектов
  6. 5. Разработан и обоснован метод последовательной оптимизации портфеля проектов для повышения результативности программы УР компании
  7. Раздел 16. ОПТИМИЗАЦИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ
  8. 11.4. Оптимизация инвестиционных портфелей
  9. 5.2.2. Решение задачи оптимизации структуры портфеля
  10. 5.2. ОПТИМИЗАЦИЯ СТРУКТУРЫ ПОРТФЕЛЯ РИСКОВЫХ ЦЕННЫХ БУМАГ
  11.               Задача оптимизации портфеля
  12. 2.5.Оптимизация портфеля ценных бумаг
  13. ПУТИ ОПТИМИЗАЦИИ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ ПРЕДПРИЯТИЯ