<<
>>

(e) Сравнение стратегий с фиксированной долей: вероятность, что одна стратегия опередит другую после n попыток.

Теорема 1 (iv) гласит, что капитал при использовании стратегии Келли будет стремиться, в конечном счете, к бесконечно большому приумножению капитала, чем использовании любой "существенно иной" стратегии.

Можно показать, что любое фиксированное f ? f*  - это "существенно иная" стратегия. Это приводит нас к вопросу о том, насколько стратегия  Келли опережает другую стратегии фиксированной доли, и шире говоря, насколько быстро одна стратегия фиксированной доли опережает другую (или отстает от другой).

Если Wn - число побед за n попыток, а n — Wn - число проигрышей, то

G(f)=(Wn/n) ln (l + f) + (1 - Wn/n) ln (1 - f)

это фактически (случайная переменная) коэффициент роста.

 Как мы видели, его ожидание

(3.5)            g(f)=E(G(f))=p log(1 + f) + qlog(1 - f)

а дисперсия G(f) -

   

и из этого следует, что G(f), который представиться как G(f)=a(?Tk)/n+b, приблизительно нормально распределено со средней g(f) и дисперсией VarG(f). Это позволяет нам получить распределение Xn и еще раз ответить на вопрос заданный в 3(c). Проиллюстрируем это на примере.

Пример 3.3     p=0.51  q=0.49  f*=0.02  N=10,000  и

s= стандартное отклонение G(f)

Далее находим распределение G(f2) - G(f1). Мы рассматриваем два случая.

Случай 1. Одна и та же игра.

Здесь мы предполагаем, что оба игрока делают ставки на одни и те же попытки, например, на монету, или на одинаковые сдачи в блэк джеке, или на одно и тот же исход на тотализаторе. На рынке акций, оба игрока могут вкладывать в одну и ту же бумагу одновременно, например, инвестирую в индексный фонд S&P 500.

Мы находим

где G(f2) — G(f1) приблизительно нормально распределено с этими средним и дисперсией.

Случай 2. Одинаково распределенные независимые игры.

Это соответствует ставкам на два различных ряда бросков одной и той же монеты.

E(G(f2) — G(f1)) - как и прежде. Но теперь Var(G(f2) — G(f1)) =Vаr(G(f2))+Var(G(f1)), потому что G(f2) и G(f1) теперь независимы. Таким образом, Var(G(f2) — G(f1))=

Пусть

Тогда в случае 1, V1=(pq/n)(a - b)2 , а в случае 2, V2 =(pq/n)(a2 + b2) и так как a, b > 0, то V1 < V2, как и ожидалось. Мы можем теперь сравнить стратегию Келли с другими стратегиями фиксированных долей, чтобы определить вероятность лидерства Келли после n попыток. Обратите внимание, что эта вероятность всегда больше 1/2 (с точностью непрерывного приближения, которое является аппроксимацией биноминального распределения с помощью нормального, с его известными и полностью изученными свойствами), потому что g(f*) — g(f) > 0, где f*=p — q и f  ? f*  - некоторая альтернатива. Это может не быть истинным для малых n, когда аппроксимация неточна. В предельном случае, если n=1, любое f > f* побеждает Келли с вероятностью p > 1/2. Если же n=2, f > f* побеждает с вероятностью p2 и p2 > 1/2, если p>1/?2 =0.7071. Также, если f 1/2 , если p2 < 1/2, то есть p < 1/?2 =0.7071. Итак, когда n=2, Келли всегда проигрывает некоторому другому f больше половины времени пока не выполняется p= 1/?2.

Теперь у нас есть формулы, с которыми мы можем исследовать много практических применений критерия Келли.

<< | >>
Источник: Эдвард О. Торп. Критерий Келли в блек-джеке, спортивных тотализаторах и на фондовой бирже..

Еще по теме (e) Сравнение стратегий с фиксированной долей: вероятность, что одна стратегия опередит другую после n попыток.:

  1. (a) Вероятность достижения установленной цели за n попыток.
  2. ПРИЛОЖЕНИЕ 2 РЕАЛЬНЫЙ ПРИМЕР ПОПЫТОК РЕАЛИЗАЦИИ СТРАТЕГИИ РАЗВИТИЯ КОМПАНИИ, ОСНОВАННОЙ НА , МЕТОДАХ БИЗНЕС-ПЛАНИРОВАНИЯ
  3. (с) Вероятность попадания в или выше указанной величины  в конце определенного числа попыток.
  4. Вероятность успеха стратегий по матрице И. Ансоффа
  5. 5.8.4. Риск фиксированной процентной долей капитала при каждой возможности
  6. Методика – Риск Фиксированной Процентной Долей Капитала при Каждой Возможности
  7. Сравнение стратегий
  8. ОТ СТРАТЕГИИ К ТРЕБОВАНИЯМ ДОЛЖНОСТИ: ЧТО ФОРМАЛИЗУЕМО, А ЧТО НЕТ
  9. 3| Стратегия группы, стратегия марки и/или стратегия деятельности
  10. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ НАИЛУЧШЕЙ СТРАТЕГИИ ВЫХОДА НА РАЗЛИЧНЫХ РЫНКАХ
  11. А что насчет стратегии?