"Мягкая" форма случайности
Простейший тип случайности, выраженный кривой Гаусса, впервые оказался в центре внимания два столетия назад. С самого начала ее теория была влиятельной и одновременно противоречивой.
Ее открытие породило споры об авторстве (о которых часто говорят, но я считаю не лишним еще раз напомнить о них) между особо выдающимся математиком Адриеном Мари Лежандром и одним из величайших ученых всех времен Карлом Фридрихом Гауссом.В начале XIX века вычисление астрономических орбит было на переднем крае математических исследований. Усовершенствованные телескопы обеспечили ученых новыми данными о небесах, а сформулированный Ньютоном закон всемирного тяготения стал средством интерпретации этих данных. Но, как было известно со времен датского астронома Тихо Браге, жившего в конце XVI века, телескопические наблюдения могут сопровождаться грубейшими ошибками. Одна из них — систематическая, обусловленная недостатками приборов: неидеально отшлифованные линзы, неровно установленный телескоп. Ошибку такого вида можно объяснить, измерить и компенсировать. Однако была и случайная ошибка, неконтролируемая, к которой приводили изменчивые атмосферные условия, колебания
Глава 2. Подбрасывать монету или пускать стрелу
69
земной поверхности, нетрезвые ассистенты. Неконтролируемая ошибка существенно осложняла расчеты орбиты обнаруженной кометы или планеты.
Подобно большинству великих математиков, живших в сравнительно недавно закончившуюся эпоху универсальности, Лежандр и Гаусс отличались широкими профессиональными интересами. Так, Лежандр в Париже по-новому изложил знаменитые принципы геометрии Евклида, предложив стандарт в этой области, написал первый полный трактат по теории чисел, а в эпоху Наполеона участвовал в создании точной карты Франции. Гаусс в северном немецком герцогстве Ганновер (правитель которого впоследствии взошел на гораздо более богатый престол в Лондоне) был сыном простого чернорабочего, но также вундеркиндом, научившимся считать раньше, чем говорить; свое первое знаменитое математическое доказательство, в области геометрии, он представил в 18-летнем возрасте.
Он усовершенствовал почти каждую область, которой касался: простые числа, алгебраические функции, бесконечные ряды, теория вероятностей, топология. Вместе с коллегой сконструировал первый электрический телеграф. Подобно Лежандру активно занимался картографией. Имея лишь скудные исходные данные, рассчитал орбиты нескольких открытых малых планет. Вычисления он производил с удивительной быстротой: определил и проверил орбиту астероида Веста за десять часов, на что менее одаренному человеку потребовалось бы несколько дней напряженных расчетов с построением таблиц, перепроверкой и поиском ошибок.Столкновение двух ученых произошло в сфере астрономии [12]. В1806 году Лежандр опубликовал трактат о расчете орбит, в котором имелось дополнение, названное "О методе наименьших квадратов". В нем говорилось об общей проблеме: как найти "истинное" значение орбиты или любого другого природного явления, имея совокупность наблюдений, не лишенную ошибок. Лежандр предложил простой метод. Сделать предположение об истинном значении и рассчитать, насколько удалено от него каждое наблюдение, т.е. рассчитать ошибку. Затем возвести каждую ошибку в квадрат и просуммировать полученные числа. Вновь предположить истинное значение и проверить, не уменьшилась ли новая сумма квадратов ошибок. Повторять процесс вновь и вновь [13]. Оценка по методу наименьших
70
Часть I. Старый путь
квадратов позволяет определить ошибки, дающие наименьшую сумму квадратов, и, таким образом, значение, максимально близкое ко всем наблюдениям. Это был эффективный метод, немедленно нашедший признание как удобный и даже сегодня пригодный для регулярного использования в различных физических исследованиях, начиная с астрономии и заканчивая биологией. Однако Гаусс спустя три года после появления трактата Лежандра описал подобный метод, не упомянув работу француза. Лежандр высказал свой протест, но немедленной реакции Гаусса не последовало, поскольку немец никогда не любил тратить время на ссоры с другими математиками.
Прямого ответа от него научная общественность так и не получила, однако Гаусс заверил коллег, что придумал этот метод еще в восемнадцатилетнем возрасте и неоднократно использовал его в своих астрономических вычислениях. Примирить математиков попытался Лаплас, но безуспешно. В конце концов авторство открытия присудили обоим математикам. Доказательство приоритета Гаусса, найденное позднее в его объемных записных книжках, несколько спорно, но несомненно, что немецкий математик видел в ставшем яблоком раздора методе более глубокий смысл, чем Лежандр.Вернемся к эксперименту с монетой. Допустим, что Гарри или Том ведут записи отклонений от ожидаемого среднего значения — от нуля (в итоге они получат диаграмму, подобную приведенной на рис. 2.1 диаграмме Феллера). По примеру тенниса разделим всю игру на "сеты", состоящие из миллиона бросков, и запишем, сколько Гарри выиграл в первом сете, во втором и т.д. Размер выигрыша в отдельных сетах будет, конечно же, значительно колебаться. В частности, нередко выигрыш окажется близким к нулю. Но, как утверждает теория, чаще в сете будет выигрывать один из братьев, как правило, на тысячу очков, т.е. бросков. И в совсем редких случаях получим намного, намного большую "ошибку", или отклонение от ожидаемого среднего значения. Если бы братья затем изобразили результаты своей игры графически в виде так называемой "гистограммы", состоящей из примыкающих друг к другу вертикальных прямоугольников разной высоты, соответствующей количеству раз, когда встречалось отдельное значение, то мы получили бы знакомую структуру (рис. 2.2). Многочисленные небольшие выигрыши сгруппированы вокруг ожидаемого среднего
Глава 2. Подбрасывать монету или пускать стрелу
71
значения — нуля (высокого центрального прямоугольника). Редкие крупные выигрыши находятся по краям гистограммы. Соединив непрерывной линией середины прямоугольников, получим уже известную нам кривую Гаусса, имеющую форму колокола.