Структурные средние
Наиболее часто используемыми в экономической практике структурными характеристиками являются мода и медиана.
Мода представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой. Медианой называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности. Основное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины:
Определим моду и медиану по несгруппированным данным.
Предположим, что 9 торговых фирм города реализуют товар А по следующим оптовым ценам (тыс. руб.): 4,4; 4,3; 4,4; 4,5; 4,3; 4,3; 4,6; 4,2; 4,6. Как видим, чаще всего встречается цена 4,3 тыс. руб. Она и будет модальной. Для определения медианы необходимо провести ранжирование приведенного цифрового ряда: 4,2; 4,3; 4,3; 4,3; 4,4; 4,4; 4,5; 4,6; 4,6.
Центральной в этом ряду является цена 4,4 тыс. руб. Следовательно, данная цена и будет медианой. Если ранжированный ряд включает четное число единиц, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений.
Если мода отражает типичный, наиболее распространенный вариант значения признака, то медиана выполняет функции средней
для неоднородной совокупности. В этих случаях средняя не позволяет объективно оценить исследуемую совокупность вследствие сильного влияния аномальных максимальных или минимальных значений. Проиллюстрируем сказанное следующим примером.
Допустим, нам необходимо дать обобщающую характеристику среднедушевых доходов группы людей, насчитывающей десять человек, из которых девять имеют доходы в интервале от 1 до 2 тыс. руб. в месяц, а месячные доходы последнего составляют 50 тыс. руб.:
№ п/п | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Доход, руб. | 1000 | 1000 | 1100 | 1200 | 1400 | 1500 | 1500 | 1700 | 2000 | 50000 |
Если мы воспользуемся средней арифметической, то получим средний доход, равный примерно 6240 руб., что не только почти в 8 раз меньше дохода 10-го человека, но и имеет мало общего с доходами остальной части группы. Медиана же, равная в данном случае 1450 руб., позволит дать объективную характеристику уровня доходов 90% данной совокупности людей.
Теперь рассмотрим определение моды и медианы по сгруппированным данным (рядам распределения). Предположим, распределение торговых предприятий города по уровню розничных цен на товар А имеет следующий вид:
Цена, руб. | Число торговых предприятий |
52 | 12 |
53 | 48 |
54 | 56 |
55 | 60 |
56 | 14 |
Итого | 190 |
Определение моды по дискретному вариационному ряду не составляет большого труда - наибольшую частоту (60 предприятий) имеет цена 55 руб., следовательно, она и является модальной.
Для определения медианного значения признака по следующей формуле находят номер медианной единицы ряда:
где п - ооъем совокупности.
В нашем случае
Полученное дробное значение, всегда имеющее место при четном числе единиц в совокупности, указывает, что точная середина находится между 95 и 96 предприятиями. Необходимо определить, в какой группе находятся предприятия с этими порядковыми номерами.
Это можно сделать, рассчитав накопленные частоты. Очевидно, что магазинов с этими номерами нет в первой группе, где всего лишь 12 торговых предприятий, нет их и во второй группе (12 + 48 = 60). Что касается 95-го и 96-го предприятий, то они находятся в третьей группе (12 + 48 + 56 = 116) и, следовательно, медианой является цена 54 руб.В отличие от дискретных вариационных рядов определение моды и медианы по интервальным рядам требует проведения определенных расчетов на основе следующих формул. Первая из них:
(6.15)
где x0 - нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту); h - ширина модального интервала; тМо - частота модального интервала; тМо_\- частота интервала, предшествующего модальному; /и*/0+1 - частота интервала, следующего за модальным.
Вторая:
(6.16)
где х0 - нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот); h - ширина медианного интервала; - накопленная частота интервала, предшествующего медианному; т,- частота /-го интервала, /=1,2,...,/:; тме- частота медианного интервала.
Проиллюстрируем применение этих формул, используя данные табл. 6.5.
Информация, подобная представленной в этой таблице, необходима для получения обоснованного представления об уровне жизни населения страны и региона, о его покупательной способности, для оценки эластичности спроса и, в конечном итоге, для выбора того или иного метода ценообразования и обоснования окончательной цены на товар.
Распределение населения РФ по уровню среднедушевых денежных доходов в 1998 г.
Среднедушевой денежный доход (в среднем за месяц), руб. | Численность населения, млн чел. |
До 400 | 22,1 |
400-600 | 27,8 |
600-800 | 25,2 |
800-1000 | 19,6 |
1000-1200 | 14,3 |
1200-1600 | 17,6 |
1600-2000 | 9,0 |
2000 и более | 1U |
Итого | 146,7 |
Для определения медианного интервала необходимо рассчитывать накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит 1/2 суммы накопленных частот (в нашем случае - 73,35):
Таким образом, медианным является интервал с границами 600- 800. Тогда медиана равна:
Интервал | Накопленная частота, млн чел. |
До 400 | 22,1 |
400-600 | 49,9 |
600- 800 | 75,1 |
Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволя-
ет оценить его асимметрию. Если М0lt;Меlt; х, то имеет место правосторонняя асимметрия, при х lt; Ме lt; М0 следует сделать вывод о левосторонней асимметрии ряда.
На основе полученных в последнем примере значений структурных средних можно заключить, что наиболее распространенным, ! типичным является среднедушевой доход порядка 537,3 руб. в месяц. В то же время, более половины населения располагает дохо- | дом свыше 786,1 руб. при среднем уровне 936,3 руб. (средняя ариф- § метическая взвешенная). Из соотношения этих показателей следует | вывод о правосторонней асимметрии распределения населения по | уровню среднедушевых денежных доходов.
Еще по теме Структурные средние:
- 5.4. Структурные средние
- 1.5. Средние величины и показатели вариации Что подразумевается под средней величиной?
- Политика структурных корректировок Контекст структурных корректировок
- З. Метод средних величин
- Структурная безработица
- Виды средних величин
- Структурная политика государства
- Средние издержки
- 10.3. Обобщающие показатели структурных сдвигов
- Структурный подход
- 2.2.1. Положение о структурных подразделениях
- 10.2. Структурные кризисы
- Среднее образование
- Структурные кризисы
- Структурный капитал
- Средние показатели
- Средняя арифметическая и ее свойства