<<
>>

1.5. Средние величины и показатели вариации Что подразумевается под средней величиной?

Средней величиной признака х некоторой статистической совокупности называют обобщающий показатель, который характеризует типичный уровень явления в конкретных условиях времени и места, а также отражает величину варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности.

Она отражает характерный уровень изучаемых явлений, характеризует эти уровни и их изменения во времени и пространстве.

Каждая средняя величина характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку, но для характеристики любой совокупности, описания ее типичных черт и качественных особенностей применяют систему средних показателей. Средняя величина должна вычисляться с учетом экономического содержания исследуемого показателя.

В большинстве случаев средняя величина исчисляется путем отношения объема признака к числу явлений, обладающих этим признаком.

Среди основных направлений применения средних величин можно выделить следующие: характеристика уровня развития явления, характеристика изменения уровня явлений по времени, сравнение двух или нескольких уровней, производство прогнозных расчетов и расценок, выявление и характеристика связей явлений и т. д.

Что представляет собой средний показатель?

Средний показатель отражает то общее, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности, но в то же время игнорирует различия отдельных единиц. Вычисление среднего показателя — один из распрост раненных приемов обобщения. Он характеризует всю совокупность явлений, что позволяет выявить закономерности, присущие массовым общественным явлениям, незаметные в единичных явлениях.

Какие виды средних величин существуют?

Существуют различные виды средних величин, но наиболее часто применяются четыре: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратичная и средняя геометрическая.

Выбор вида средней величины определяется экономическим содержанием определенного показателя и исходных данных, а также путем конкретного анализа изучаемой совокупности, материальным содержанйем изучаемого явления и принципами суммирования и взвешивания.

Перечисленные виды средних величин можно объединить общей формулой:

где х — среднее значение исследуемого явления; т — показатель степени средней величины; х — текущее значение осредняемого признака; п — число признаков.

В зависимости от значения показателя степени т различают следующие виды степенных средних величин, если: т = -1 — средняя гармоническая; т = 0 — средняя геометрическая; т = 1 — средняя арифметическая; т = 2 — средняя квадратичная.

Что такое средняя арифметическая?

Средняя арифметическая величина представляет собой такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным. Для того чтобы исчислить среднюю арифметическую, необходимо сумму всех значений признаков разделить на их число.

Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Примером средней арифметической может служить общий фонд заработной платы — это сумма заработных плат всех работников.

Средняя арифметическая может быть вычислена по формуле:

П

Xv*

х=^—,

П

где X,- — средняя арифметическая; щ = и;

и — численность совокупности.

Какие виды средней арифметической вам известны?

Средняя арифметическая применяется в форме простой средней и взвешенной средней.

Средняя арифметическая простая равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений. Она применяется в тех случаях, когда имеются несгруппиро- ванные индивидуальные значения признака, и может быть вычислена по формуле:

7 _ зЕ* .

л, Zl п ’

где п = Хщ — общая численность совокупности значений х,.

Средняя арифметическая взвешенная — это средняя из вариантов, которые повторяются различное число раз или имеют различный вес.

Она может быть определена по формуле:

Какие основные свойства средней арифметической вам

известны? 1.

Если индивидуальные значения признака, т. е. варианты, уменьшить или увеличить в і раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится в і раз. 2.

Если все варианты осредняемого признака уменьшить или увеличить на числр А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это же число. 3.

Если вес всех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в к раз, то средняя арифметическая не изменится. 4.

Сумма отклонений отдельных значений признака (вариантов) от средней арифметической равна нулю.

Что представляет собой средняя гармоническая?

Определяющее свойство средней гармонической состоит в том, чтобы при осреднении оставалась неизменной сумма величин, обратных осредняемым.

Формула средней геометрической взвешенной применяется тогда, когда статистическая информация не содержит частот /по отдельным вариантам х совокупности, а представлена как их произведение х/ Для того чтобы исчислить среднюю, необходимо обозначить: х/ -w, откуда

/ = —. Теперь преобразуем формулу средней арифметической таким х

образом, чтобы по имеющимся данным х и w можно было исчислить среднюю. В формулу средней арифметической взвешенной вместо хп

W

подставим w, а вместо и — отношение — и таким образом получим

X

формулу средней гармонической взвешенной: -

Z* = і

гаР yi VV W V"

Средняя гармоническая простая применяется в тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице. Она исчисляется по формуле:

_ 1 + 1 +...+1 п 1

хгар - -Х і Г " ТГТ ~ ^ П sr ’

Xj Xi Хп X X

где отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по

х

одному разу;

п — число вариантов.

Что называется средней геометрической?

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.

е. характеризует средний коэффициент роста.

Она исчисляется извлечением корня степени п из произведений отдельных значений — вариантов признака х по формуле:

Х«ом = ^X,X2X3 ...Х„ = И[Ш,

где П — оператор умножения, знак произведения; п — число вариантов.

Что представляют собой средняя квадратичная и средняя кубическая?

Средняя квадратичная применяется, например, для вычисления средней величины сторон п квадратных участков, средних диаметров стволов, труб и т. д. Она подразделяется на два вида.

Средняя квадратичная простая. Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратичной средней величиной. Она является квадратным корнем из

где / — признак веса.

Средняя квадратичная взвешенная вычисляется по формуле:

частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:

Средняя кубическая применяется, например, при определении средней длины стороны и кубов. Она подразделяется на два вида.

Средняя кубическая простая:

Средняя кубическая взвешенная:

Что такое структурные средние?

Для характеристики центральной тенденции в статистических распределениях иногда бывает целесообразно вместе со средней арифметической использовать некоторое значение признака х, которое в силу тех или иных особенностей расположения в ряду распределения может характеризовать его уровень. Это особенно важно в тех случаях, когда в ряду распределения крайние значения признака имеют нечеткие границы. В связи с этим точное определение средней арифметической либо невозможно, либо очень сложно. В таких случаях средний уровень можно охарактеризовать, взяв, например, значение признака, которое расположено в середине ряда частот или которое чаще всего встречается в данном ряду. Такие значения х, зависят только от характера частот nh т.

е. от структуры распределения. Они типичны по месту расположения в ряду частот, ввиду этого такие значения х, рассматриваются в качестве характеристик центра распределения и поэтому получили название структурных средних.

Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.

Что представляет собой медиана?

Медиана — это такое значение признака, которое делит ранжированный ряд распределения на две равные (по числу единиц) части —

со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Для того чтобы найти медиану, нужно отыскать значение признака, которое находится на середине упорядоченного ряда. В ранжированных рядах несгруппированные данные нахождения медианы сводятся к отысканию порядкового номера медианы.

Медиана может быть вычислена по следующей формуле:

X/

Ме - X м, + 'л/ , ,

JMe

где Хм — нижняя граница медианного интервала;

iMt — медианный интервал;

X/

-=^ половина от общего числа наблюдений;

SMt t — сумма наблюдений, которая была накоплена до начала медианного интервала;

fMe — число наблюдений в медианном интервале.

Какие свойства медианы вам известны? 1.

Медиана не зависит от тех значений признака, которые расположены по обе стороны от нее. 2.

Аналитические операции с медианой весьма ограничены, поэтому при объединении двух распределений с известными медианами невозможно заранее предсказать величину медианы нового распределения. 3.

Медиана обладает свойством минимальности. Его суть заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений х, от медианы представляет собой минимальную величину по сравнению с отклонением х, от любой другой величины, т. е.:

Х(*~а) = шіп,

где a = Ме.

Каково графическое определение медианы?

Для определения медианы графическим методом используются накопленные частоты, по которым строится кумулятивная кривая.

Вершины ординат, соответствующих накопленным частотам, соединяются отрезками прямой. Разделив пополам последнюю ординату, которая соответствует общей сумме частот, и проведя к ней перпендикуляр пересечения с кумулятивной кривой, находим ординату искомого значения медианы.

Что представляет собой понятие «мода»?

Мода — значение признака, которое имеет наибольшую частоту в статистическом ряду распределения.

Отыскание моды производится по-разному, и это зависит от того, представлен ли варьирующий признак в виде дискретного или интервального ряда. Поиск моды в дискретном ряду происходит путем простого просматривания столбца частот. В этом столбце находится наибольшее число, характеризующее наибольшую частоту. Ей соответствует определенное значение признака, которое и является модой. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считают центральный вариант интервала с наибольшей частотой. В таком ряду распределения мода вычисляется по формуле:

ТД$ХМО — нижняя граница модального интервала;

'м0 — модальный интервал;

/м0,/м0А,/м0А ~ частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалах.

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.

Мода широко используется в статистической практике при изучении, например, покупательного спроса, регистрации цен и т. д.

Каковы соотношения между средней арифметической,

медианой и модой в статистических распределениях?

Для одномодального симметричного ряда распределения средняя арифметическая, медиана и мода совпадают. Для асимметричных распределений такого совпадения нет.

К. Пирсон на основе выравнивания различных типов кривых установил, что для умеренно асимметричных распределений справедливо следующее приближенное соотношение между средней арифметической, медианой и модой:

Что представляет собой вариация?

Вариация представляет собой различия в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. Причиной вариации являются разные условия существования разных единиц совокупности. Например, даже однояйцовые близнецы в процессе своего развития приобретают раз личия в росте, весе, а также в таких признаках, как специальность, уровень образования, доход, количество детей и т.д.

Вариация присуща всем без исключения явлениям природы и общества, кроме законодательно закрепленных нормативных значений отдельных социальных признаков. Исследования вариации в статистике имеют большое значение, помогают познать сущность изучаемого явления. Измерение вариации, выяснение ее причин, выявление влияния отдельных факторов дают важную информацию для применения научно обоснованных управленческих решений.

Для того чтобы руководитель предприятия, менеджер, научный работник могли управлять вариацией и изучать ее, статистикой разработаны специальные методц исследования вариации — система показателей. С их помощью вариация измеряется, характеризуются ее свойства. К показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации.

Что представляет собой вариационный ряд

и на какие виды он подразделяется?

Вариационный ряд — это упорядоченное распределение единиц совокупности чаще по возрастающим или убывающим (реже) значениям признака и подсчет числа единиц с тем или иным значением признака. В том случае, если численность единиц совокупности достаточно велика, ранжированный ряд становится громоздким, поэтому его построение занимает длительное время. В такой ситуации вариационный ряд строится с помощью группировки единиц совокупности по значениям изучаемого признака.

Существуют следующие формы вариационного ряда: 1.

Ранжированный ряд представляет собой, перечень отдельных единиц совокупности в порядке возрастания или убывания изучаемого признака. 2.

Дискретный вариационный ряд — это таблица, которая состоит из двух строк или граф: конкретных значений варьирующего признака х и числа единиц совокупности с данным значением / — признака частот. Он строится в тех случаях, когда признак принимает наибольшее число значений. 3.

Интервальный ряд.

Чем характеризуется понятие «размах вариации»?

Размах вариации представляет собой абсолютную величину разности между максимальными и минимальными значениями (вариантами) признака:

R =. х — у - ЛХ лтах лтт* Размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отдельных отклонений всех вариантов в ряду. Он характеризует пределы изменения варьирующего признака и зависит от колебаний двух крайних вариантов и совершенно не связан с частотами в вариационном ряду, т. е. с характером распределения, что придает ему неустойчивый, случайный характер.

Что такое среднее линейное отклонение?

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической (при этом всегда предполагают, что среднюю вычитают из варианта: х - х).

Оно определяется по следующим формулам:

1 гг 1 11^*1 1.

Для первичного ряда: d = к

п

т гг 7 Y\x-x\n V' 2.

Для вариационного ряда: a = где > п — сумма частот

п

вариационного ряда.

Преимущество среднего абсолютного отклонения как меры рассеивания перед показателем размаха вариации очевидно, потому что эта мера основана на учете всех возможных отклонений х от х. Однако этот показатель имеет существенные недостатки. Произвольные отбрасывания алгебраических знаков отклонений приводят к тому, что математические свойства этого показателя являются далеко не элементарными. Это значительно затрудняет использование среднего абсолютного отклонения при решении задач, связанных с вероятностными расчетами.

Поэтому среднее линейное отклонение как меру вариации признака применяют в статистической практике редко, а именно в тех случаях, когда суммирование показателей без учета знаков имеет экономический смысл. С его помощью, например, анализируется состав работающих, оборот внешней торговли, ритмичность производства и т. д.

Что называется средним квадратичным отклонением?

Среднее квадратичное отклонение представляет собой обобщающую характеристику размеров вариации признака в совокупности. Оно равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической и может быть вычислено следующим образом:

-\2

П

2. Для вариационного ряда: 5 =

— хУ

Х(*-х)2я 1.

Для первичного ряда: 5 =

Преобразование формулы среднего квадратичного отклонения приводит ее к виду, более удобному для практических расчетов:

5

.2 rj2

Среднее квадратичное отклонение показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения, а также является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому хорошо интерпретируется.

Для альтернативных признаков формула среднего квадратичного отклонения выглядит следующим образом:

JpQ-p) = -fpq,

где р — доля единиц в совокупности, обладающих определенным признаком;

q — доля единиц, не обладающих этим признаком.

Что представляет собой дисперсия и каким образом

может быть вычислена?

Дисперсия — это средний квадрат отклонения индивидуальных значений признака от средней арифметической. В зависимости от исходных данных она вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий: 1.

Простая дисперсия (для несгруппированных данных) вычисляется по формуле:

S2 Х(*-Ю

п 2.

Взвешенная дисперсия (для вариационного ряда):

2 Х(*-*)2«

? Х« •

Данную формулу можно преобразовать. Если X* = пх, то формула приобретает следующий вид:

Z(x-x)2 + Х*2-21Л*+1

п п п

,Id1-2?=+

п п

с2 X*2/ (X*/ = X/ ЧХ/

Из данной формулы следует, что дисперсия равна разности средней из квадратов вариантов и квадрата и средней.

Х*,7 ' У.Ч/

тгЧтг

Дисперсия в вариационных рядах с равными интервалами'по способу моментов может быть вычислена следующим способом при использовании второго свойства дисперсии (разделив все варианты на величину интервала). Расчет дисперсии по следующей формуле менее трудоемок:

б2 = i1(m2 -/и,2) = і2

где 6 — диЬперсия, вычисленная по способу моментов;

і — величина интервала; х - А

л, = новые значения вариантов;

і

— квадрат момента первого порядка;

А — условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой;

У Xі f

т2 = момент второго порядка.

Дисперсия альтернативного признака (если в статистической совокупности признак изменяется таким образом, что имеются только два взаимно исключающих друг друга варианта, то такая изменчивость называется альтернативной) может быть вычислена по формуле:

к* - Е(* ~ *)2/ _ (і - р)2 Р + (о - р)2Q

р Е7 р + я

Подставляя в данную формулу дисперсии q = 1 - р, получаем: 62

= q2p + Р2я = РЯІЯ + Р) =

Р+Я Р+Я

Какие виды дисперсии существуют?

Общая дисперсия характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, которые вызвали эту вариацию (формула ее была приведена выше).

Внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри группы и определяется по формуле:

*2 ... ZO -*)и 8' —ЕЇ '

где Xj — групповая средняя;

и, — число единиц в группе.

3-6548

Средняя из внутригрупповых дисперсий отражает случайную вариацию, т. е. ту часть вариации, которая происходила под влиянием всех прочих факторов, за исключением фактора группировки. Она определяется по формуле:

s - 2>г/

* _тг

Межгрупповая дисперсия измеряет вариацию изучаемого признака под влиянием группировочного признака (признака-фактора). Она вычисляется по формуле:

—ГЇ '

где Ц и я, — средние численности по отдельным группам.

Какие свойства дисперсии вам известны? 1.

Если все значения признака уменьшить или увеличить на одну и ту же постоянную величину А, то дисперсия от этого не изменится. 2.

Если все значения признака уменьшить или увеличить в одно и то же число / раз, то дисперсия соответственно уменьшится или увеличится в /2 раз.

Что называется коэффициентом вариации?

Коэффициент вариации — это отношение среднего квадратичного отклонения к средней арифметической, выраженное в процентах. Он применяется для сравнений колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различным средним арифметическим.

Он может быть вычислен по формуле:

V =4100.

х

Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки единиц совокупности, но и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

Что представляет собой правило сложения дисперсии и в чем его практическое значение?

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:

52 = I2 + а2.

Смысл данного правила состоит в том, что общая дисперсия, возникающая под влиянием всех факторов, должна быть равна сумме дисперсий, которые возникают под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет фактора группировки.

Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно определить по двум известным дисперсиям третью неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.

Что называется эмпирическим коэффициентом детерминации?

Эмпирический коэффициент детерминации широко используется в статистическом анализе и является показателем, представляющим долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии результативного признака и характеризующим силу влияния группировочного признака на образование общей вариации. Он может быть вычислен по формуле:

Данный коэффициент показывает долю вариации результативного признака у под влиянием факторного признака х. При отсутствии связи эмпирический коэффициент детерминации равен нулю, а при функциональной связи — единице.

Что такое эмпирическое корреляционное отношение?

Эмпирическое корреляционное отношение представляет собой корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации. Оно показывает тесноту связи между группировочными и результативными признаками и определяется по формуле:

где о2 — дисперсия групповых средних;'

52 — общая дисперсия.

Корреляционное отношение равно нулю, если связь отсутствует. В данном случае все групповые средние будут равны между собой и межгрупповой вариации не будет.

Корреляционное отношение равно единице в том случае, если связь функциональная. В этом случае дисперсия групповых средних будет равна общей дисперсии, т. е. внутригрупповой вариации не будет.

Чем значения корреляционного отношения ближе к единице, тем теснее, ближе к функциональной зависимости связь между признаками.

Каким образом вычисляется критерий Пирсона?

Критерий Пирсона вычисляется по формуле:

х2 - у (/э -/т-)2 L fr '

где /э и fr — эмпирические и теоретические частоты.

С помощью х2 по специальным таблицам определяется вероятность Р(хг). Входами в таблицу являются значения х2 и число степеней свободы к = п- р-1. Если Р > 0,05, то считается, что эмпирические и теоретические распределения близки. При Р є [0,02; 0,05] совпадение между ними удовлетворительное, а в остальных случаях — недостаточное.

Что представляет собой коэффициент асимметрии?

Коэффициент асимметрии рассчитывается по формуле:

к - >-1з

Y (х - xV /

где цз — центральный момент третьего порядка ц3 = ‘fpj- —* 63

— куб среднего квадратичного отклонения.

Этот коэффициент является безмерным, что позволяет использовать его для различных распределений. При левосторонней асимметрии М„ ? М, ? х, при правосторонней — обратные соотношения. Это позволяет применять более простой показатель асимметрии:

_ х-М0 , х - М, 0

5 ’ " “ 6

При левосторонней асимметрии эти показатели отрицательные, при правосторонней — положительные.

Что называется эксцессом?

Эксцесс представляет собой степень крутости эмпирического распределения по отношению к нормальному. Он определяется по формуле:

Е = Ц-~ 3,

5

( не*-*)4/!

где |д4 — центральный момент четвертого порядка ц4 = — •

Если распределение островершинное по отношению к нормальному, то эксцесс будет положительным, если плосковершинное — отрицательным. Для нормального распределения Е = 0.

<< | >>
Источник: Балииова B.C.. Статистика в вопросах и ответах: Учеб. пособие. — М.: ТК. Велби, Изд-во Проспект. — 344 с.. 2004

Еще по теме 1.5. Средние величины и показатели вариации Что подразумевается под средней величиной?:

  1. Расчет средних величин и показателей вариации
  2. З. Метод средних величин
  3. Виды средних величин
  4.              Средние величины процентов
  5. Виды средних величин
  6. 19.2. Расчет средних тарифных величин
  7. Глава 6. СРЕДНИЕ ПОКАЗАТЕЛИИ ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ
  8. 1.4. Абсолютные и относительные статистические величины Что такое абсолютные статистические величины?
  9. Что подразумевается под стратегией
  10. Что определяет величину ренты трудом?
  11. ЧТО ТАКОЕ СКОЛЬЗЯЩЕЕ СРЕДНЕЕ?
  12. Средние показатели
  13. Понятие среднего показателя
  14. Показатель эффективности, Средний показатель прибыли/ убытка, Соотношение Выигрышных и Убыточных дней
  15.  (b) Вероятность того, что капитал когда-либо уменьшится до доли x от начальной величины
  16. Приложение 1. Моделирование случайной величины. Использование Excel для моделирования случайной величины
  17. Другие виды средних показателей
- Бюджетная система - Внешнеэкономическая деятельность - Государственное регулирование экономики - Инновационная экономика - Институциональная экономика - Институциональная экономическая теория - Информационные системы в экономике - Информационные технологии в экономике - История мировой экономики - История экономических учений - Кризисная экономика - Логистика - Макроэкономика (учебник) - Математические методы и моделирование в экономике - Международные экономические отношения - Микроэкономика - Мировая экономика - Налоги и налолгообложение - Основы коммерческой деятельности - Отраслевая экономика - Оценочная деятельность - Планирование и контроль на предприятии - Политэкономия - Региональная и национальная экономика - Российская экономика - Системы технологий - Страхование - Товароведение - Торговое дело - Философия экономики - Финансовое планирование и прогнозирование - Ценообразование - Экономика зарубежных стран - Экономика и управление народным хозяйством - Экономика машиностроения - Экономика общественного сектора - Экономика отраслевых рынков - Экономика полезных ископаемых - Экономика предприятий - Экономика природных ресурсов - Экономика природопользования - Экономика сельского хозяйства - Экономика таможенного дел - Экономика транспорта - Экономика труда - Экономика туризма - Экономическая история - Экономическая публицистика - Экономическая социология - Экономическая статистика - Экономическая теория - Экономический анализ - Эффективность производства -