<<
>>

Сглаживание временных рядов с помощью скользящей средней

Важной задачей, возникающей при анализе рядов динамики, является определение основной тенденции в развитии исследуемого явления. В некоторых случаях общая тенденция ясно прослеживается в динамике показателя, в других ситуациях она может не просматриваться из-за ощутимых случайных колебаний.

Например, в отдельные моменты времени сильные колебания в курсах акций могут заслонить наличие тенденции к росту или снижению этого показателя.

На практике для обнаружения общей тенденции часто используют простой прием укрупнения интервалов. Например, ряд недельных данных можно преобразовать в ряд месячной динамики, ряд квартальных данных заменить годовыми уровнями. Уровни нового ряда могут быть получены суммированием уровней исходного ряда либо могут представлять средние значения. Распространенным приемом при выявлении тенденции развития является сглаживание временного ряда. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые в меньшей степени подвержены колебаниям. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития.

Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса. Они являются важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда.

Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующей последовательности шагов. Определяют длину интервала сглаживания g, включающего в себя g последовательных уровней ряда (g lt; и). При этом надо иметь в виду, что чем шире интервал сглаживания, тем в большей степени поглощаются колебания, и тенденция развития носит более плавный, сглаженный характер. Чем сильнее колебания, тем шире должен быть интервал сглаживания. Разбивают весь период наблюдений на участки, при этом интервал сглаживания как бы скользит по ряду с шагом, равным 1.

Рассчитывают средние арифметические из уровней ряда, образующих каждый участок. Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующие средние значения.

При этом удобно брать длину интервала сглаживания g в виде нечетного числа: _              _              . ибо в этом случае полученные значения

скользящей средней приходятся на средний член интервала. Наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения, называются активным участком сглаживания. При нечетном значении все уровни активного участка могут быть представлены в

виде:

гдеу,-центральный уровень активного участка; у,.,,, у,„р-ц, ...,yt.\ выражает р уровней активного участка, предшествующих центральному; yt+i,у,+р-1, у,+р выражаетр уровней активного участка, следующих за центральным.

Тогда скользящая средняя может быть определена по формуле:

(10.27)

где уi - фактическое значение f-го уровня; у, - значение скользящей средней в момент t; 2р + 1 - длина интервала сглаживания.

Процедура сглаживания приводит к устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной периоду колебаний.

Для устранения сезонных колебаний на практике часто требуется использовать скользящие средние с длиной интервала сглаживания равной 4 или 12, но при этом не будет выполняться условие нечетности. Поэтому при четном числе уровней принято первое и последнее наблюдение на активном участке брать с половинными весами:

Тогда для сглаживания сезонных колебаний при работе с временными рядами квартальной или месячной динамики можно использовать 4-членную (10.29) и 12-членную (10.30) скользящую среднюю:

(10.29)

(10.30)

В первом случае (10.29) каждый активный участок содержит 5 уровней, во втором (10.30)- 13, при этом крайние уровни имеют половинные весовые коэффициенты.

При использовании скользящей средней с длиной активного участка g = 2p + l первые и последние р уровней ряда сгладить нельзя, их значения теряются. Очевидно, что потеря значений последних точек является существенным недостатком, так как для исследователя «свежие» данные обладают наибольшей информационной ценностью.

Рассмотрим один из приемов, позволяющих восстановить потерянные значения временного ряда. Для этого необходимо: вычислить средний абсолютный прирост на последнем активном участке; получить р сглаженных значений в конце временного ряда путем последовательного прибавления среднего абсолютного прироста к последнему сглаженному значению. Аналогичную процедуру можно реализовать для оценивания первых уровней временного ряда.

Метод простой скользящей средней применим, если графическое изображение динамического ряда напоминает прямую. Если для процесса характерно нелинейное развитие, то простая скользящая средняя может привести к существенным искажениям. Когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы и для исследователя желательно сохранить мелкие волны, то целесообразно использовать взвешенную скользящую среднюю.

В этом случае на каждом активном участке значение центрального уровня заменяется на расчетное, определяемое по формуле средней арифметической взвешенной:

(10.31)

где wt- весовые коэффициенты.

Простая скользящая средняя учитывает все уровни ряда, входящие в активный участок сглаживания, с равными весами, а взвешенная средняя приписывает каждому уровню вес, зависящий от удаления данного уровня до уровня, стоящего в середине активного участка. Это вызвано тем, что при простой скользящей средней выравнивание на каждом активном участке производится по прямой (по полиному первого порядка). При сглаживании же по взвешенной скользящей средней используются полиномы чаще всего 2-го или 3-го порядков. Поэтому метод простой скользящей средней может рассматриваться как частный случай метода взвешенной скользящей средней.

Весовые коэффициенты определяются методом наименьших квадратов. При этом нет необходимости каждый раз заново вычислять весовые коэффициенты при уровнях ряда, входящих в активный участок сглаживания, поскольку они будут одинаковыми для каждого активного участка.

В табл. 10.11 представлены весовые коэффициенты в зависимости от длины интервала сглаживания (при сглаживании по полиному 2-го или 3-го порядка).

Таблица 10.11

Весовые коэффициенты для взвешенной скользящей средней


Так как веса симметричны относительно центрального уровня, то в таблице использована символическая запись: приведены веса для половины уровней активного участка; выделен (полужирным шрифтом) вес, относящийся к уровню, стоящему в центре участка

Урожайность пшеницы (ц/га)*

Текущий номер года t

1

2

3

4

5

6

7

8

У,

10,3

14,3

7,7

15,8

14,4

16,7

15,3

20,2

Текущий номер года t

9

10

11

12

13

14

15

16

У,

17,1

7,7

15,3

16,3

19,9

14,4

18,7

20,7

* Данные условного региона.

сглаживания. Для оставшихся уровней веса не приводятся, так как они могут быть симметрично отражены.

Отметим важные свойства весовых коэффициентов: 1) они симметричны относительно центрального уровня; 2) сумма весов с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице; 3) наличие как положительных, так и отрицательных весов, позволяет сглаженной кривой сохранять различные изгибы кривой тренда.

Проиллюстрируем использование табл. 10.11 на примере вычисления 5-членной взвешенной скользящей средней. В этом случае центральное значение на каждом активном участке у,_г, у,_ь у„ yt+i, у,+2, будет оцениваться по формуле:


где соответствующие весовые коэффициенты уровней - 3/35, 12/35, 17/35 взяты из первой строки табл. 10.11.

Существуют приемы, позволяющие с помощью дополнительных вычислений получить сглаженные значения для р потерянных начальных и конечных уровней ряда при длине интервала сглаживания g = 2p+ 1.

Пример 10.4. По данным об урожайности за 16 лет (см. табл. 10.12) рассчитать: а) трех-, семилетние скользящие средние и графически сравнить результаты; б) пятилетнюю взвешенную скользящую среднюю.

Решение. 1. Результаты расчетов представлены в табл. 10.13.

При трехлетней скользящей средней (гр. 3 табл. 10.13):


При семилетней скользящей средней (гр. 4 табл. 10.13):

alt="" />

Таблица 10.13

Расчет скользящих средних*

/

Уг

Скользящие средние

Взвешенная скользящая средняя g = 5

* = 3

g = 7

1

2

3

4

5

1

10,3

2

14,3

10,8

-

3

7,7

12,6

-

11,9

4

15,8

12,6

13,5

12,6

5

14,4

15,6

14,9

16,2

6

16,7

15,5

15,3

15,2

7

15,3

17,4

15,3

17,4

8

20,2

17,5

15,2

18,8

9

17,1

15,0

15,5

15,2

10

7,7

13,4

16,0

11,7

11

15,3

13,1

15,8

12,5

12

16,3

17,2

15,6

18,1

13

19,9

16,9

16,1

17,3

14

14,4

17,7

17,1

15

18,7

17,7

-

-

16

20,7

-

-

-

* На основе данных табл.

10.12.

Графический анализ (рис. 10.4) показывает, что ряд, сглаженный по семилетней скользящей средней, носит более гладкий характер. Это объясняется тем, что чем больше длина интервала сглаживания, тем более гладкий ряд на выходе модели.

2. Для вычисления значений пятилетней взвешенной скользящей средней воспользуемся табл. 10.12. Тогда:


0,00-i              1              1              1              1              1              1              1              1              1              1              1              1              1              1              1

1              2              3              4              5              6              7              8              9              10 11              12              13              14              15              16

t

Рис. 10.4. Сглаживание ряда урожайности с помощью скользящих средних:

              факту,;              g = 3;              g = 7

% = -^-(-314,3 + 12-7,7 + 17-15,8+12-14,4-3*16,7) = 12,6 ит.д. Графа 5 табл. 10.13 отражает результаты дальнейших расчетов. 

<< | >>
Источник: В. С. Мхитарян, Т. А. Дуброва, В. Г. Минашкин. Статистика: Учебник для студ. учреждений сред. проф. С  образования. 2004

Еще по теме Сглаживание временных рядов с помощью скользящей средней:

  1. 2.3.3.1. Алгоритмические методы сглаживания временных рядов
  2. 2.3.3. Моделирование и прогноз временных рядов методами сглаживания
  3. 2.3.3.2. Аналитические методы сглаживания временных рядов
  4. ТОРГОВЛЯ С ПОМОЩЬЮ СКОЛЬЗЯЩЕЙ СРЕДНЕЙ КАПИТАЛА
  5. ЗАЧЕМ НУЖНЫ СКОЛЬЗЯЩИЕ СРЕДНИЕ
  6. ЧТО ТАКОЕ СКОЛЬЗЯЩЕЕ СРЕДНЕЕ?
  7. 4.3.2.2. Пересечение скользящих средних
  8. ВИДЫ СКОЛЬЗЯЩИХ СРЕДНИХ
  9. 7.1. МОДЕЛИ СТАЦИОНАРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  10. Глава 25 Скользящие средние
  11. 7.1.2. Модели скользящего среднего
- Бюджетная система - Внешнеэкономическая деятельность - Государственное регулирование экономики - Инновационная экономика - Институциональная экономика - Институциональная экономическая теория - Информационные системы в экономике - Информационные технологии в экономике - История мировой экономики - История экономических учений - Кризисная экономика - Логистика - Макроэкономика (учебник) - Математические методы и моделирование в экономике - Международные экономические отношения - Микроэкономика - Мировая экономика - Налоги и налолгообложение - Основы коммерческой деятельности - Отраслевая экономика - Оценочная деятельность - Планирование и контроль на предприятии - Политэкономия - Региональная и национальная экономика - Российская экономика - Системы технологий - Страхование - Товароведение - Торговое дело - Философия экономики - Финансовое планирование и прогнозирование - Ценообразование - Экономика зарубежных стран - Экономика и управление народным хозяйством - Экономика машиностроения - Экономика общественного сектора - Экономика отраслевых рынков - Экономика полезных ископаемых - Экономика предприятий - Экономика природных ресурсов - Экономика природопользования - Экономика сельского хозяйства - Экономика таможенного дел - Экономика транспорта - Экономика труда - Экономика туризма - Экономическая история - Экономическая публицистика - Экономическая социология - Экономическая статистика - Экономическая теория - Экономический анализ - Эффективность производства -