Нижняя граница премии европейского и американского опционов колл

Получим формулу для нижней границы премии европейского опциона. Вначале рассмотрим случай, когда дивиденд выплачивается на акцию в последний день действия контракта, т.е. в момент Т .

Рассмотрим два портфеля. Первый включает европейский опцион колл, сумму денег Хе~гТ 3 и сумму денег О , равную дисконтированной под ставку г стоимости будущего дивиденда к моменту заключения контракта, т.е.:

D = div -е гТ.              (7.15)

Суммы Хе~гТ и D инвестируются на время Т под ставку г. Второй портфель состоит из одной акции (5).

Если к моменту окончания срока действия контракта цена акции больше цены исполнения (ST gt; х), то опцион колл исполняется, и первый портфель стоит:

Sr + DerT

или с учетом (7.15):

ST + div.

Если ST lt; X, он стоит:

X + div.

Стоимость второго портфеля в обоих случаях равна:

Sr + div.

Следовательно, стоимость первого портфеля больше или равна стоимости второго портфеля. Данное соотношение должно выдерживаться и в начале периода Т, чтобы арбитраж был невозможен.

' Вместо суммы денег в портфель можно включить безрисковую облигацию, номинал которой равен X , погашаемую в конце периода Т.

Поэтому можно записать:

се + Хе~'Т + 0gt;Б ,

ИЛИ

с gt;Б-Хе гТ-Э.

Таким образом, премия европейского опциона колл должна быть не меньше, чем разность между ценой спот акции и суммой приведенных стоимостей цены исполнения и дивиденда, который планируется выплатить по акции.

Рассмотрим второй случай, когда дивиденд выплачивается в момент г в ходе действия контракта, ( lt;Т.

Сравним два портфеля. Первый включает европейский опцион колл, сумму денег Хе гТ и сумму денег О , равную дисконтированной под ставку г стоимости будущего дивиденда к моменту заключения контракта, т.е.:

О              = сИу¦ е ".              (7.16)

Суммы Хе~гТ и О инвестируются на время Т под ставку г.

Если к моменту окончания срока действия контракта цена акции больше цены исполнения (5Г gt; X), то опцион колл исполняется, и

первый портфель стоит:

Бт + ПегТ.

I

Если lt; X, он стоит:

Х + Ве,т.

Во втором портфеле на акцию в момент / был выплачен дивиденд сИу . Он инвестируется до окончания контракта под ставку г. Поэтому стоимость второго портфеля в обоих случаях равна:

8т+lt;Ич'е['т 'К              (7.17)

Из (7.16) следует, что:

с1ы = Вег!.              (7.18)

Подставим значение дивиденда из (7.18) в (7.17):

51, + ?gt;е" ¦ еАт 'gt; = 5, + БетТ.

Таким образом, стоимость первого портфеля больше или равна стоимости второго портфеля[56]. Данное соотношение должно выдерживаться и в начале периода Т, чтобы арбитраж был невозможен. Поэтому можно записать:

се + Хе~гТ +1) gt; 5 ,

или

сеgt;Б~Хе~гТ ~а              (7,19)

Если условие (7.19) нарушается, можно совершить арбитражную операцию.

Представим алгоритм действий арбитражера для случая, когда дивиденд выплачивается в момент Т . Запишем условие, допускающее арбитраж:

с lt;5 - Хе~гТ -?gt;

е

или

5-с, gt;Хе* + ?gt;.              (7.20)

Примем в неравенстве (7.20) левую часть за первый портфель, правую - за второй. Поскольку первый портфель стоит дороже второго, его следует продать, второй - купить. Чтобы определить действия арбитражера по продаже первого портфеля умножим левую часть неравенства (7.20) на минус единицу и раскроем скобки:

-(5-с,)=-5 + с. .              (7.21)

Следовательно, арбитражер осуществляет короткую продажу акции и покупает опцион колл. Полученные по операции средства (5-с,)

он размещает на депозите до момента окончания контракта. В этом

состоит суть операции по покупке второго портфеля. В конце периода Т по депозиту инвестор получает сумму (5-с)ргГ.

Если по истечению срока действия контракта 57 gt; X, арбитражер исполняет опцион, возвращает акцию и выплачивает дивиденд кредитору.

(5-с,Уг-ЛГ-^.              (7.22)

Прибыль возникает за счет того, что согласно (7.20) в начальный момент:

Б-сеgt;Хе '7'+Д поэтому на момент окончания контракта:

(5-е,У' gt; (Хе" +о)ег‘ = Х + сііу.

Отсюда следует результат (7,22).

Если на момент окончания контракта lt; X, арбитражер опцион не исполняет, а покупает акцию на спотовом рынке и получает еще большую прибыль.

Дивиденд может выплачиваться на акцию в ходе действия контракта во время (. В этом случае действия арбитражера аналогичны представленным выше, но с поправкой на дивиденд. Продав акцию и купив опцион, он должен разместить сумму равную дисконтированной стоимости дивиденда на депозите на время /, За счет полученных по депозиту денег он возвратит дивиденд. Оставшиеся средства инвестируются до истечения срока действия контракта.

Американский опцион предоставляет инвестору больший диапазон возможностей по сравнению с европейским, следовательно формула (7.19) верна и для него.