9.2.1. Многоэтапная динамика на базе мультипликативной стохастической модели
Тогда объем привлеченных средств в период t + 1 можно представить как
, (9.16)
где коэффициенты приращения – случайные величины, распределенные по логарифмически нормальному закону с параметрами и , причем предполагается, что зависят от v .
Тогда уравнение (9.14) приобретает вид. (9.17)
Решение данного уравнения можно найти, используя метод Дюамеля для z-преобразования. С этой целью рассмотрим вспомогательное уравнение
, (9.18)
где
(9.19)
Пусть и z-преобразования функций и Тогда и изображающее уравнение для (4.3.7) примет вид
. (9.20)
Следовательно,
. (9.21)
Оригиналом для служит последовательность Поэтому по известным свойствам z-преобразования имеем
(9.22)
Чтобы привести уравнение (4.3.6) к нулевому начальному условию, введем новую переменную ht = qt – q0 . Если положить
, (9.23)
то уравнение для ht примет вид
(9.24)
Обозначим H(z) – z-преобразование ht и F(z) – z-преобразование Тогда изображающее уравнение для уравнения (4.3.13) примет вид
(9.25)
Рассматривая совместно уравнения (4.3.9) и (4.3.14), получим
(9.26)
Это означает, что последовательность ht, являющаяся оригиналом для H(z), может быть найдена как свертка оригиналов gt и , т. е.
. (9.27)
После элементарных преобразований выражение (9.27) принимает вид
. (9.28)
Таким образом, найдено решение разностного уравнения (4.3.6)
. (9.29)
В том случае, когда коэффициенты элементарного перехода имеют одинаковое распределение для всех моментов t , решение (9.29) принимает вид
.
(9.30)Используя результаты, полученные для стохастических мультипликативных моделей, прогноз величины привлеченных средств на момент t + 1 может быть выражен как
, , (9.31)
где x0 – объем привлеченных средств на начальный момент времени; – оценки значений параметров соответственно.
В силу предположения о взаимной независимости коэффициентов перехода , заменив их в формуле (9.30) соответствующими оценками, получим выражение для прогнозирования объема собственных средств на момент t
(9.32)
где значение может быть получено из (9.31).
В частном случае, если , после раскрытия неопределенности выражение (9.32) имеет более компактную форму
. (9.33)
Формулы (9.32) и (9.33) имеют прозрачную экономическую интерпретацию – объем собственных средств финансовой фирмы на момент времени t зависит, в рамках предложенной модели, от двух составляющих: *
– величины начального капитала с учетом проводимой политики накопления; *
– результатов деятельности по привлечению средств и получению доходов от их активного использования.
Еще по теме 9.2.1. Многоэтапная динамика на базе мультипликативной стохастической модели:
- 9.1.3. Простейшая мультипликативная стохастическая модель динамики финансового ресурса
- 9.1.2. Мультипликативные стохастические модели
- ТЕМА 9. МОДЕЛИ БАНКА КАК СОВОКУПНОСТИ СТОХАСТИЧЕСКИХ ФИНАНСОВЫХ ПРОЦЕССОВ
- § 22.2. АНАЛИЗ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ МОДЕЛИ
- 5.Макроэкономическое равновесие в модели “доходы—расходы” и мультипликативный эффект в экономике. Парадокс бережливости
- 7.2. Модели и задачи стохастического программирования в банковской деятельности
- ТЕМА 9. МОДЕЛИ БАНКА КАК СОВОКУПНОСТИ СТОХАСТИЧЕСКИХ ФИНАНСОВЫХ ПРОЦЕССОВ
- 1.2.3.3. Методы статистического оценивания динамических стохастических моделей общего равновесия.
- 4.4 Моделирование ограничений развития по использованию первичных ресурсов на базе модели RIM с встроенным блоком производственных функций.
- Многоэтапные инвестиции (сложный опцион)
- Лекиия 12. Модели макроравновесной динамики
- 5 лекция МОДЕЛИ ДИНАМИКИ РЕАЛЬНОГО СЕКТОРА
- Монетаристская модель равновесной динамики
- Классическая модель равновесной динамики
- Математические модели динамики экономических показателей