Приложение 1. Вывод уравнения SML9
В рамках САРМ функция полезности k -го инвестора зависит от ожидаемой доходности и риска его портфеля, т.е. ее можно записать как:20
Uk=Uk{rpk, а2рк), (П.3.1)
где ик - функция полезности к -го инвестора;
грк - ожидаемая доходность портфеля к -го инвестора;
а\к - риск портфеля к -го инвестора.
Бюджетное ограничение сводится к использованию им всех собственных и доступных средств с учетом заимствования и кредитования.
Стандартным методом решения оптимизационной задачи на максимизацию является метод множителей Лагранжа. Искусственно создается и максимизируется функция Лагранжа вида:
Lk=Uk+XkBk, (П.3.2)
где Lk - функция Лагранжа к -го инвестора;
Вк - бюджетное ограничение к -го инвестора; Лк - множитель Лагранжа к -го инвестора.
19 Вывод уравнения SML представлен в соответствии с подходом, изложенным в D.Blake "Financial Market Analysis", L.,1999, ch.13.2.
20 Вывод функции полезности см. в главе 8.
137
Глава 3. Модели оценки доходности активов
На рынке действует п инвесторов, обращается т рискованных ценных бумаг и безрисковый долг, обозначим его как /. Общая капитализация рынка равна Рт, стоимость портфеля к -го инвестора - Рк, стоимость / -й бумаги в портфеле к -го инвестора - Р.к, стоимость безрискового долга к -го инвестора в
форме заимствования или кредитования -
Обозначим уд.
вес / -й бумаги к -го инвестора в общей капитализации рынка через в1к, уд. вес безрискового долга к -го инвестора в форме заимствованияили кредитования в общей капитализации рынка через #д и уд. вес портфеля к -го инвестора в общей капитализации рынка через gk. Тогда:
Pik =&ikPm ? PJk ~ ^jkPm »
Pk=gkPm
Отсюда уд. веса / -й бумаги и безрискового долга в портфеле к -го инвестора равны:
Pik = OikPm = Qjk Рк ?кРт ?к
PJk = OjhPm = Ojk Рк ?кРт ?к
Ожидаемая доходность портфеля к -го инвестора составляет:
/=1 ёк ёк
где г{ - ожидаемая доходность / -й бумаги;
rf - ставка без риска; Риск портфеля к -го инвестора равен:
<=ТТ-—™У , (П.3.4)
Ы 7=1 ёк ёк
где cov/y - ковариация доходностей / -й и j -й бумаг.
Бюджетное ограничение инвестора состоит в использовании им всех доступных средств с учетом заимствования и кредитования, т.е. сумма всех уд. весов активов в портфеле должна быть равна единице:
V?k + ^L = 1 (П.3.5)
Составим функцию Лагранжа:
138
Глава 3. Модели оценки доходности активов
Lk=Uk(rpk, *2pk)+4t- + — -l
v<=i sk Sk
Найдем частные производные уравнения (П.3.6) по 0ik:
(U3.6)
dL^jjJ^ ^EL+duA_ <К+Л _L = 0 двл дг^ двл да* eik k gk
•pk
(П.3.7)
drPk dcrlk
На основании равенств (П.3.3) и (П.3.4) найдем производные -zrzr~ и
дг,
1
(П.3.8)
folk
(1Vт
- СОУ > ДЛЯ i = h-,m21.
\SkJ j=i
Подставим значения производных из (П.3.8) и (П.3.9) в (П.3.7):
dLkJUk 1 _^dUk д Щк Srpk Sk ' да% т 1
^е]ксоуу+\—=о
для i = \,...,m.
Найдем частные производные уравнения (П.3.6) по :
.2
Ojk SFpk 'двА+д<г2рк' вА
+ Лк — = 0
(П.3.9)
(П.3.10)
(П.3.11)
21 Производную (П.3.9) удобно найти, представив равенство (П.3.4) следующим образом:
Глава 3. Модели оценки доходности активов
На основании равенств (П.3.3) и (П.3.4) найдем производные дг,
Подставим производные из (П.3.12) и (П.3.13) в (П.3.11):
(П.3.12)
(П.3.13)
(П.3.14)
Вычтем из уравнения (П.3.10) уравнение (П.3.14):
dU> 1 г.
+•{1 V
2
рк
\SkJ y=i
IAcov +
Sk vrPk Sk Sk
или
1 dUk(s dUk
•2
'P2
\skJ
Z^cov,=0
У=1
(П.3.15)
для i = l,...,m.
Уравнение (П.3.15) должно выдерживаться в условиях равновесия для всех бумаг и всех инвесторов, поскольку оно определено на основе максимизации их функции полезности.
Уравнение (П.3.15) можно записать как:
дг.
Рк
(г, ~rf)
dUk/
= -l
'Z°\kj
(П.3.16)
COV;,
7=1
ДЛЯ I = 1,...,/И .
Равенство (П.3.16) выполняется для каждой бумаги, поэтому для каждой пары бумаг / и с справедливо соотношение:
140
Глава 3. Модели оценки доходности активов
(П.3.17)
j=\ j=\
Просуммируем по всем инвесторам равенство (П.3.17), левую часть равенства относительно бумаги i , а правую - бумаги с. Поскольку оно выполняется для всех бумаг и инвесторов, то равенство сохранится и для суммы. Сумма в.
по всем инвесторам даст уд. вес j -й бумаги в капитализации рынка. Обозначим
п
его через coj, т.е. = CDj . После суммирования получим22:
к=\
22
Проиллюстрируем получение результата в знаменателе равенства (П.3.18). Для удобства пре-
образований перепишем равенство (П.3.17) как:
(г/ " rf \ IX C0Vcy = к ~ rf I Jfy cov
Суммирование равенства (а) по всем инвесторам запишем как:
У=1
=1
(а)
(б)
Поскольку для каждой бумаги выражения ^-rf) и (rc -rf) являются константами, то вынесем их за знаки суммы:
*=1 j=\
k=\ j=\
n m
Покажем результат суммирования выражения с, в левой части равенства (в). Для пра-
k=l j=\
вой части он будет аналогичен. Для простоты примера предположим, что имеется только две бумаги - 1 и 2 и три инвестора - q, s и z. Обозначим бумагу с как 1.
со\ =вц covn+0l5 covn+0lz covn+fl^ cov12+025 cov12+02z cov12 =
k=\ j=l
co\n(eiq +въ +6Xz)+co\x2{e2q +62s +02z) = covn щ +cov12 a>2 C0Vl7 =Y/°J C0Vcj
7=1
141
Глава 3. Модели оценки доходности активов
rt-rf rc-rf --— = -т-(П.3.18)
7=1 У=1
Умножим числитель и знаменатель правой части формулы (П.3.18) на а>с:
rc~rf = (оМ~Г/) = 7cCOc-rfCOc т т т
? COj COV • СОс ? COj COV • Ya ^ j ™V
j=\ j=\ j=\
Просуммируем правую часть равенства (П.3.19) по всем бумагам:
т , v т т
Z (Рс*>с - rf®c ) Z ?с<°с - Z rf(°c с=1_ _ с-\_c=J_
ТП ТП ТП ТП
Z Z VcMj covC7 Z Z McVj covcy
c=l 7=1 c=l 7=1
Значение дроби
m
Zw-Zw
_c=l_?=1_
m m
ZZ^c^covcy
c=l 7=1
после суммирования осталось таким же как и дроби23
(П.3.19)
(П.3.20)
(П.3.21)
23 Равенство значений дроби (П.3.21) и дробей (П.3.22) можно проиллюстрировать следующим образом.
Пусть на рынке имеется только три бумаги, и дроби (П.3.22) для них соответственно равны:If 2 3 (а)
2 4 6
Знаменатели и числители дробей (П.3.22) для каждой бумаги / являются разными, однако сами
1
дроби равны, так как после сокращений получаем ^- Просуммируем отдельно числители и
1 + 2 + 3 _ 6 _1
знаменатели дробей (П.3.22), т.е.: 2 + 4 + 6 ~~\2~~2' ^ак видно из примера, суммирование дробей отдельно по числителям и знаменателям дало такое же отношение что и значение исходных дробей после сокращений. Данный результат можно представить и в общей форме. Если име-
1 1 1
ются три одинаковых дроби ~> ~, то отношение суммы их числителей и знаменателей даст 1 + 1 + 1 3-1 _ 1
такую же дробь: 2 + 2 + 2 ~ 3^2 ~ ~2 ' ДР°^И (а) можно аналогичным образом представить как сумму по числителю и знаменателю одинаковых значений:
1 + 2+3 _ l + (l + l)+(l + l + l) 61 _ 1
2+4 + 6 " 2 + (2 + 2)+(2 + 2 + 2)~6^2 " 2' ^аким °бразом> значение дроби (П.3.22) для каждой бумаги / равно дроби, у которой числитель и знаменатель представлены суммой числителей и знаменателей дробей (П.3.21) по всем бумагам на рынке.
142
Глава 3. Модели оценки доходности активов
rt-rf
111
2л
(П.3.22)
. cov^.
7=1
Поэтому приравняем их друг к другу:
/' ^ =-?1Ь--- (П.3.23)
2>,cov.. ?2>c В выражении (П.3.23) ^^ссос = гт , т.е. равно ожидаемой доходности ры-
с=\
ночного портфеля, а величина ^Zjfcoc ~r/%J®c - rf 9 поскольку сумма всех уд.
весов ценных бумаг в экономике
с=\ с=\
f т \
равна единице. Величина
\с=\ J
^^j^c60] cowcj есть не 4X0 как дисперсия рыночного портфеля сг2т. Поэтому:
c=l j=\
т т
Zw-E^c у _г
---= ^ (П.3.24)
с=1 7=1
Подставим правую часть формулы (П.3.24) в формулу (П.3.23):
' =~^, (П.3.25)
Zu,/cov//
т
В формуле (П.3.25) coviy есть не что иное как ковариация доходности /-й
7=1
бумаги с доходностью рынка24, т.е. coviw. Подставим это значение в равенство (П.3.25):
24 Покажем, что выражение соуУ представляет собой ковариацию / -й бумаги с рынком. Пусть в экономике имеется только три бумаги. Будем считать, что i-я бумага имеет номер 1. Тогда: ^cOj со\0 = сох cov,,+со2 cov12+соъ cov13 = сох со\{г,, гх)+со2 СОУ(Г, , г2) + соъ со\{г,, гъ) =
cov(^, щгх) + соу{гхсо2г2 )+cov(r,, *У3Г3) = СОЛ^Г,, о)хгх + *У2Г2 + щгъ) = covfo, rm) где гда - доходность рыночного портфеля.
143
Глава 3. Модели оценки доходности активов
ri~rf _rm~rf
im m
Преобразуем его к виду:
cov / \ n=rf+—fH^-rJ (П.3.26)
covim
Отношение-— - это коэффициент бета / -й бумаги. Соответственно формует
ла (П.3.26) принимает вид:
rt=rf+fi,(rm-rf) (П.3.27)
Равенство (П.3.27) является уравнением SML модели САРМ.
Еще по теме Приложение 1. Вывод уравнения SML9:
- Приложение 5. Вывод уравнения линии эффективной границы при возможности заимствования и кредитования
- Приложение И (обязательное) Формулы и уравнения
- Приложение 1. Решение системы линейных уравнений с помощью программы Excel
- ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Вывод формулы Блэка-Шоулза
- Приложение 15.1 Вывод правила оптимизации рекламного бюджета
- Приложение 1. Вывод формулы ожидаемой доходности портфеля
- Приложение 2. Вывод условий стохастического доминирования портфеля9
- Приложение 2. Вывод формулы дисперсии портфеля, состоящего из двух активов
- Приложение 1. Вывод формулы VaR портфеля с учетом вектора дельта-VaR3
- Формулы и уравнения
- Уравнение обмена
- §62. Система базисных уравнений
- §11. Уравнения производства