<<
>>

Приложение 1. Вывод уравнения SML9

Уравнение SML можно вывести на основе максимизации функции полезности инвесторов в условии равновесия на финансовом рынке при данном бюджетном ограничении. Условие равновесия означает, что спрос на ценные бумаги равен их предложению по существующим ценам с учетом риска бумаг, и инвесторы могут занимать и размещать средства под ставку без риска.
Сумма всех занимаемых и предоставляемых в кредит средств равна нулю, поскольку в условиях равновесия количество капиталов, которые хотят занять инвесторы и предоставить в кредит, одинаково.

В рамках САРМ функция полезности k -го инвестора зависит от ожидаемой доходности и риска его портфеля, т.е. ее можно записать как:20

Uk=Uk{rpk, а2рк), (П.3.1)

где ик - функция полезности к -го инвестора;

грк - ожидаемая доходность портфеля к -го инвестора;

а\к - риск портфеля к -го инвестора.

Бюджетное ограничение сводится к использованию им всех собственных и доступных средств с учетом заимствования и кредитования.

Стандартным методом решения оптимизационной задачи на максимизацию является метод множителей Лагранжа. Искусственно создается и максимизируется функция Лагранжа вида:

Lk=Uk+XkBk, (П.3.2)

где Lk - функция Лагранжа к -го инвестора;

Вк - бюджетное ограничение к -го инвестора; Лк - множитель Лагранжа к -го инвестора.

19 Вывод уравнения SML представлен в соответствии с подходом, изложенным в D.Blake "Financial Market Analysis", L.,1999, ch.13.2.

20 Вывод функции полезности см. в главе 8.

137

Глава 3. Модели оценки доходности активов

На рынке действует п инвесторов, обращается т рискованных ценных бумаг и безрисковый долг, обозначим его как /. Общая капитализация рынка равна Рт, стоимость портфеля к -го инвестора - Рк, стоимость / -й бумаги в портфеле к -го инвестора - Р.к, стоимость безрискового долга к -го инвестора в

форме заимствования или кредитования -

Обозначим уд.

вес / -й бумаги к -го инвестора в общей капитализации рынка через в1к, уд. вес безрискового долга к -го инвестора в форме заимствования

или кредитования в общей капитализации рынка через #д и уд. вес портфеля к -го инвестора в общей капитализации рынка через gk. Тогда:

Pik =&ikPm ? PJk ~ ^jkPm »

Pk=gkPm

Отсюда уд. веса / -й бумаги и безрискового долга в портфеле к -го инвестора равны:

Pik = OikPm = Qjk Рк ?кРт ?к

PJk = OjhPm = Ojk Рк ?кРт ?к

Ожидаемая доходность портфеля к -го инвестора составляет:

/=1 ёк ёк

где г{ - ожидаемая доходность / -й бумаги;

rf - ставка без риска; Риск портфеля к -го инвестора равен:

<=ТТ-—™У , (П.3.4)

Ы 7=1 ёк ёк

где cov/y - ковариация доходностей / -й и j -й бумаг.

Бюджетное ограничение инвестора состоит в использовании им всех доступных средств с учетом заимствования и кредитования, т.е. сумма всех уд. весов активов в портфеле должна быть равна единице:

V?k + ^L = 1 (П.3.5)

Составим функцию Лагранжа:

138

Глава 3. Модели оценки доходности активов

Lk=Uk(rpk, *2pk)+4t- + — -l

v<=i sk Sk

Найдем частные производные уравнения (П.3.6) по 0ik:

(U3.6)

dL^jjJ^ ^EL+duA_ <К+Л _L = 0 двл дг^ двл да* eik k gk

•pk

(П.3.7)

drPk dcrlk

На основании равенств (П.3.3) и (П.3.4) найдем производные -zrzr~ и

дг,

1

(П.3.8)

folk

(1Vт

- СОУ ДЛЯ i = h-,m21.

\SkJ j=i

Подставим значения производных из (П.3.8) и (П.3.9) в (П.3.7):

dLkJUk 1 _^dUk д Щк Srpk Sk ' да% т 1

^е]ксоуу+\—=о

для i = \,...,m.

Найдем частные производные уравнения (П.3.6) по :

.2

Ojk SFpk 'двА+д<г2рк' вА

+ Лк — = 0

(П.3.9)

(П.3.10)

(П.3.11)

21 Производную (П.3.9) удобно найти, представив равенство (П.3.4) следующим образом:

Глава 3. Модели оценки доходности активов

На основании равенств (П.3.3) и (П.3.4) найдем производные дг,

Подставим производные из (П.3.12) и (П.3.13) в (П.3.11):

(П.3.12)

(П.3.13)

(П.3.14)

Вычтем из уравнения (П.3.10) уравнение (П.3.14):

dU> 1 г.

+•

{1 V

2

рк

\SkJ y=i

IAcovSk vrPk Sk Sk

или

1 dUk(s dUk

•2

'P2

\skJ

Z^cov,=0

У=1

(П.3.15)

для i = l,...,m.

Уравнение (П.3.15) должно выдерживаться в условиях равновесия для всех бумаг и всех инвесторов, поскольку оно определено на основе максимизации их функции полезности.

Уравнение (П.3.15) можно записать как:

дг.

Рк

(г, ~rf)

dUk/

= -l

'Z°\kj

(П.3.16)

COV;,

7=1

ДЛЯ I = 1,...,/И .

Равенство (П.3.16) выполняется для каждой бумаги, поэтому для каждой пары бумаг / и с справедливо соотношение:

140

Глава 3. Модели оценки доходности активов

(П.3.17)

j=\ j=\

Просуммируем по всем инвесторам равенство (П.3.17), левую часть равенства относительно бумаги i , а правую - бумаги с. Поскольку оно выполняется для всех бумаг и инвесторов, то равенство сохранится и для суммы. Сумма в.

по всем инвесторам даст уд. вес j -й бумаги в капитализации рынка. Обозначим

п

его через coj, т.е. = CDj . После суммирования получим22:

к=\

22

Проиллюстрируем получение результата в знаменателе равенства (П.3.18). Для удобства пре-

образований перепишем равенство (П.3.17) как:

(г/ " rf \ IX C0Vcy = к ~ rf I Jfy cov

Суммирование равенства (а) по всем инвесторам запишем как:

У=1

=1

(а)

(б)

Поскольку для каждой бумаги выражения ^-rf) и (rc -rf) являются константами, то вынесем их за знаки суммы:

*=1 j=\

k=\ j=\

n m

Покажем результат суммирования выражения с, в левой части равенства (в). Для пра-

k=l j=\

вой части он будет аналогичен. Для простоты примера предположим, что имеется только две бумаги - 1 и 2 и три инвестора - q, s и z. Обозначим бумагу с как 1.

со\ =вц covn+0l5 covn+0lz covn+fl^ cov12+025 cov12+02z cov12 =

k=\ j=l

co\n(eiq +въ +6Xz)+co\x2{e2q +62s +02z) = covn щ +cov12 a>2 C0Vl7 =Y/°J C0Vcj

7=1

141

Глава 3. Модели оценки доходности активов

rt-rf rc-rf --— = -т-(П.3.18)

7=1 У=1

Умножим числитель и знаменатель правой части формулы (П.3.18) на а>с:

rc~rf = (оМ~Г/) = 7cCOc-rfCOc т т т

? COj COV • СОс ? COj COV • Ya ^ j ™V

j=\ j=\ j=\

Просуммируем правую часть равенства (П.3.19) по всем бумагам:

т , v т т

Z (Рс*>с - rf®c ) Z ?с<°с - Z rf(°c с=1_ _ с-\_c=J_

ТП ТП ТП ТП

Z Z VcMj covC7 Z Z McVj covcy

c=l 7=1 c=l 7=1

Значение дроби

m

Zw-Zw

_c=l_?=1_

m m

ZZ^c^covcy

c=l 7=1

после суммирования осталось таким же как и дроби23

(П.3.19)

(П.3.20)

(П.3.21)

23 Равенство значений дроби (П.3.21) и дробей (П.3.22) можно проиллюстрировать следующим образом.

Пусть на рынке имеется только три бумаги, и дроби (П.3.22) для них соответственно равны:

If 2 3 (а)

2 4 6

Знаменатели и числители дробей (П.3.22) для каждой бумаги / являются разными, однако сами

1

дроби равны, так как после сокращений получаем ^- Просуммируем отдельно числители и

1 + 2 + 3 _ 6 _1

знаменатели дробей (П.3.22), т.е.: 2 + 4 + 6 ~~\2~~2' ^ак видно из примера, суммирование дробей отдельно по числителям и знаменателям дало такое же отношение что и значение исходных дробей после сокращений. Данный результат можно представить и в общей форме. Если име-

1 1 1

ются три одинаковых дроби ~> ~, то отношение суммы их числителей и знаменателей даст 1 + 1 + 1 3-1 _ 1

такую же дробь: 2 + 2 + 2 ~ 3^2 ~ ~2 ' ДР°^И (а) можно аналогичным образом представить как сумму по числителю и знаменателю одинаковых значений:

1 + 2+3 _ l + (l + l)+(l + l + l) 61 _ 1

2+4 + 6 " 2 + (2 + 2)+(2 + 2 + 2)~6^2 " 2' ^аким °бразом> значение дроби (П.3.22) для каждой бумаги / равно дроби, у которой числитель и знаменатель представлены суммой числителей и знаменателей дробей (П.3.21) по всем бумагам на рынке.

142

Глава 3. Модели оценки доходности активов

rt-rf

111

(П.3.22)

. cov^.

7=1

Поэтому приравняем их друг к другу:

/' ^ =-?1Ь--- (П.3.23)

2>,cov.. ?2>c7=1 с=1 7=1

В выражении (П.3.23) ^^ссос = гт , т.е. равно ожидаемой доходности ры-

с=\

ночного портфеля, а величина ^Zjfcoc ~r/%J®c - rf 9 поскольку сумма всех уд.

весов ценных бумаг в экономике

с=\ с=\

f т \

равна единице. Величина

\с=\ J

^^j^c60] cowcj есть не 4X0 как дисперсия рыночного портфеля сг2т. Поэтому:

c=l j=\

т т

Zw-E^c у _г

---= ^ (П.3.24)

с=1 7=1

Подставим правую часть формулы (П.3.24) в формулу (П.3.23):

' =~^, (П.3.25)

Zu,/cov//

т

В формуле (П.3.25) coviy есть не что иное как ковариация доходности /-й

7=1

бумаги с доходностью рынка24, т.е. coviw. Подставим это значение в равенство (П.3.25):

24 Покажем, что выражение соуУ представляет собой ковариацию / -й бумаги с рынком. Пусть в экономике имеется только три бумаги. Будем считать, что i-я бумага имеет номер 1. Тогда: ^cOj со\0 = сох cov,,+со2 cov12+соъ cov13 = сох со\{г,, гх)+со2 СОУ(Г, , г2) + соъ со\{г,, гъ) =

cov(^, щгх) + соу{гхсо2г2 )+cov(r,, *У3Г3) = СОЛ^Г,, о)хгх + *У2Г2 + щгъ) = covfo, rm) где гда - доходность рыночного портфеля.

143

Глава 3. Модели оценки доходности активов

ri~rf _rm~rf

im m

Преобразуем его к виду:

cov / \ n=rf+—fH^-rJ (П.3.26)

covim

Отношение-— - это коэффициент бета / -й бумаги. Соответственно формует

ла (П.3.26) принимает вид:

rt=rf+fi,(rm-rf) (П.3.27)

Равенство (П.3.27) является уравнением SML модели САРМ.

<< | >>
Источник: А.Н. Буренин. Управление портфелем ценных бумаг. 2-е издание, исправленное и дополненное. Научно-техническое общество имени академика СИ. Вавилова . 2008

Еще по теме Приложение 1. Вывод уравнения SML9:

  1. Приложение 5. Вывод уравнения линии эффективной границы при возможности заимствования и кредитования
  2. Приложение И (обязательное) Формулы и уравнения
  3. Приложение 1. Решение системы линейных уравнений с помощью программы Excel
  4. ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Вывод формулы Блэка-Шоулза
  5. Приложение 15.1 Вывод правила оптимизации рекламного бюджета
  6. Приложение 1. Вывод формулы ожидаемой доходности портфеля
  7. Приложение 2. Вывод условий стохастического доминирования портфеля9
  8. Приложение 2. Вывод формулы дисперсии портфеля, состоящего из двух активов
  9. Приложение 1. Вывод формулы VaR портфеля с учетом вектора дельта-VaR3
  10. Формулы и уравнения
  11. Уравнение обмена
  12. §62. Система базисных уравнений
  13. §11. Уравнения производства